二项分布与泊松分布

二项分布与泊松分布第1页，课件共74页，创作于2023年2月目录

第二节Poisson分布及其应用

第一节二项分布及其应用第2页，课件共74页，创作于2023年2月第一节二项分布及其应用

一、二项分布的概念及应用条件

二项分布（binominaldistribution）是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。第3页，课件共74页，创作于2023年2月二项分布也称为贝努里分布（Bernoullidistribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。第4页，课件共74页，创作于2023年2月如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为（1-π），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X(X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二项分布。第5页，课件共74页，创作于2023年2月贝努里模型应具备下列三个基本条件

试验结果只出现对立事件A或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。每次试验中，出现事件A的概率为π，而出现对立事件的概率为１-π

。则有总概率π

+（1-π

）=1。第6页，课件共74页，创作于2023年2月二、二项分布的概率函数

根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n

次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。则X的概率函数为：X=0,1,2,…,n式中：0<π<1，为组合数，上述公式称随机变量X服从参数为n，π的二项分布，则记为X～B(n,π)。第7页，课件共74页，创作于2023年2月三、二项分布的性质

1.二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1第8页，课件共74页，创作于2023年2月二项展开式有以下特点：（1）展开式的项数为n+1。（2）展开式每项π和（1-π

）指数之和为n。（3）展开式每项π的指数从0到n；（1-π

）的指数从n到0。2.二项分布的累积概率设m1≤X≤m2

（m1＜m2）,则X在m1至m2区间的累积概率有：

第9页，课件共74页，创作于2023年2月

至多有x例阳性的概率为：

至少有x例阳性的概率为：X=0,1,2，…，x(7.4)

X=x，x+1，…，n分别为下侧累计概率，和上侧累计概率。第10页，课件共74页，创作于2023年2月3.二项分布的概率分布图形

以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形,由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。一般地，如果nπ之积大于5时，分布接近正态分布；当nπ<5时，图形呈偏态分布。当π=0.5时，图形分布对称，近似正态。如果π≠0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。第11页，课件共74页，创作于2023年2月图

二项分布示意图第12页，课件共74页，创作于2023年2月4.二项分布的数字特征

(这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数）

（1）随机变量X的数学期望E（X）＝μ，即指总体均数：

μ＝nπ（2）随机变量X的方差D（X）＝σ2

为：

（3）随机变量X的标准差为:第13页，课件共74页，创作于2023年2月四、二项分布展开式各项的系数

二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为：

第14页，课件共74页，创作于2023年2月该系数也可用杨辉三角来表示，国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。

当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。第15页，课件共74页，创作于2023年2月图杨辉三角模式图

第16页，课件共74页，创作于2023年2月杨辉三角的意义：①杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为n时，有n+1项。②杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。③杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字１，以后每下一行的首项及末项均为１，中间各项为上一行相邻两项数字之和。第17页，课件共74页，创作于2023年2月五、二项分布的应用

二项分布在医学领域中，主要应用在下列几个方面：①总体率的可信区间估计，②率的u检验，③样本率与总体率比较的直接计算概率法。

第18页，课件共74页，创作于2023年2月（一）应用二项分布计算概率

例如出生男孩的概率π=0.5，出生女孩的概率为（1-π）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式计算的结果列于表7-1的第（3）栏中。分析：根据题意，已知生育男孩为事件A，其概率P(A)=0.5（即π=0.5）；生育女孩为事件A-，其概率为P(A-)=1-P(A)=1-0.5＝0.5（即1-π=0.5）。第19页，课件共74页，创作于2023年2月第20页，课件共74页，创作于2023年2月

三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为：

三个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为：余类推第21页，课件共74页，创作于2023年2月(二)样本率与总体率的比较的直接概率法

此法适用nπ和n(1-π)均小于5的情形。应注意：

①当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。②当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。第22页，课件共74页，创作于2023年2月

例A药治疗某病的有效率为80％。对A药进行改进后，用改进型A药继续治疗病人，观察疗效。①如果用改进型A药治疗20例病人，19例有效。②如果用改进型A药治疗30例病人，29例有效。试分析上述二种情形下，改进型A药是否疗效更好。

分析:

A药有效率为80％，可以作为总体率，即π0＝0.8。治疗20例病人的样本有效率为（19／20）×100％＝95％；治疗30例病人的样本有效率为（29／30）×100％＝96.67％。两个样本率均大于总体率80％，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率。第23页，课件共74页，创作于2023年2月情形一：治疗20例病人的疗效分析

（1）建立检验假设H0：改进型A药的疗效与原A药相同，π＝π0＝0.80

H1:改进型A药的疗效高于原A药，π＞π0＝0.80单侧α＝0.05（2）计算概率值根据二项分布有：

=0.0548+0.0115=0.0663第24页，课件共74页，创作于2023年2月情形二：治疗30例病人的疗效分析

（1）检验假设同情形一。

（2）计算单侧累积概率有：

（3）推断结论本例P＝0.0663＞0.05,在0.05检验水准上,不拒绝H0。尚不能认为改进型A药的疗效优于原A药。=0.008975+0.001238=0.0102

第25页，课件共74页，创作于2023年2月（3）推断结论

本例P＝0.0102,在＝0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药。

注意：治疗20例病人的有效率为95％，治疗30例病人的有效率为96.67％，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。一般地，临床上观察疗效，样本含量不能太小。随着观察例数的增加，疗效的稳定性及可靠性也相应增加，受到偶然因素影响的机会也变得较小。第26页，课件共74页，创作于2023年2月分析:本例总体率＝1％。调查人群样本反应率为（1／300）×100％＝0.33％。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。

例一般人群对B药的副作用反应率为1％。调查使用B药者300人，其中只有1人出现副作用。问该调查人群对B药的副作用反应率是否低于一般人群。第27页，课件共74页，创作于2023年2月（1）建立检验假设H0：调查人群反应率与一般人群相同，π＝π0＝0.01

H1:调查人群反应率低于一般人群，π<π0＝0.01单侧α＝0.05（2）计算单侧累积概率:（3）推断结论本例P＝0.1976,在α＝0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为调查人群的B药副作用反应率低于一般人群。

第28页，课件共74页，创作于2023年2月第二节Poisson分布及其应用一、Poisson分布的概念及应用条件(一)Poisson分布的概念Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837年提出。该分布也称为稀有事件模型，或空间散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为稀有事件或罕见事件。稀有事件出现的概率分布服从Poisson分布。第29页，课件共74页，创作于2023年2月Poisson分布的直观描述：如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现λ次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。Poisson分布属于离散型分布。在Poisson分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。如每天8小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，1升或1毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元。第30页，课件共74页，创作于2023年2月(二)常见Poisson分布的资料在实际工作及科研中，判定一个变量是否服从Poisson分布仍然主要依靠经验以及以往累积的资料。以下是常见的Poisson分布的资料：1.产品抽样中极坏品出现的次数；2.枪打飞机击中的次数；3.患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布；4.奶中或饮料中的病菌个数；5.自来水中的细菌个数；6.空气中的细菌个数及真菌饱子数；7.自然环境下放射的粒子个数；第31页，课件共74页，创作于2023年2月8.布朗颗粒数；9.三胞胎出生次数；10.正式印刷品中错误符号的个数；11.通讯中错误符号的个数；12.人的自然死亡数；13.环境污染中畸形生物的出现情况；14.连体婴儿的出现次数；15.野外单位面积某些昆虫的随机分布；16.单位容积内细胞的个数；17.单位空气中的灰尘个数；18.平皿中培养的细菌菌落数等。第32页，课件共74页，创作于2023年2月二、Poison分布的概率函数及性质

㈠定义其中λ＞0，则称X服从参数λ为的Poisson分布。记为X～P(λ)。式中：λ为总体均数，λ＝nπ或λ=np；X为稀有事件发生次数；e为自然底数，即e=2.71828

。（X=0,1,2,…）如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现λ次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。

第33页，课件共74页，创作于2023年2月亦可用下列公式计算P（0）=e－λ

第34页，课件共74页，创作于2023年2月(二)性质1.所有概率函数值（无穷多个）之和等于1，即2.分布函数（X=0,1,2,…x）

第35页，课件共74页，创作于2023年2月（0≤x1＜x2）

3.累积概率

4.其它性质总体均数:方差：标准差：μ＝λ＝nπ(或np)σ2＝λ第36页，课件共74页，创作于2023年2月（三）Poisson分布的图形一般地，Poisson分布的图形取决于λ值的大小。λ值愈小，分布愈偏；λ值愈大，分布愈趋于对称。当λ＝20时，分布接近正态分布。此时可按正态分布处理资料。当λ＝50时，分布呈正态分布。。这里通过计算一个具体实例来观察Poisson分布的概率分布趋势。第37页，课件共74页，创作于2023年2月图Poisson分布的概率分布图

第38页，课件共74页，创作于2023年2月例计算Poisson分布X~P(3.5)的概率。

第39页，课件共74页，创作于2023年2月余类推。经计算得到一系列数据，见表。

表X～P（3.5）的Poisson分布第40页，课件共74页，创作于2023年2月（四）Poisson分布的可加性从同一个服从Poisson分布的总体中抽取若干个样本或观察单元，分别取得样本计数值X1，X2，X3，…，Xn，则∑Xi仍然服从Poisson分布。根据此性质，若抽样时的样本计数X值较小时，可以多抽取几个观察单元，取得计数Xi,将其合并以增大X计数值。第41页，课件共74页，创作于2023年2月三、Poisson分布与二项分布的比较

Poisson分布也是以贝努里模型为基础的。实际上，Poisson分布是二项分布的一种特殊情形，即稀有事例A出现的概率很小，而试验次数n很大，也可将试验次数n看作是一个单元。此时，n或np=λ为一个常数，二项分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。设λ＝1。当n=100,=0.01时，及n=1000,=0.001时，按照二项分布及Poisson分布计算概率P（X）。第42页，课件共74页，创作于2023年2月表二项分布与Poisson分布计算的概率值比较

第43页，课件共74页，创作于2023年2月余类推。1.按二项分布计算已知：n=100,π=0.01,1－π=0.99，代入公式有：第44页，课件共74页，创作于2023年2月2.按Poisson分布计算代入公式有：

余类推。第45页，课件共74页，创作于2023年2月（四）Poisson分布的应用

Poisson分布有多种用途。主要包括总体均数可信区间的估计，样本均数与总体均数的比较，两样本均数的比较等。应用Poisson分布处理医学资料时，一定要注意所处理资料的特点和性质，资料是否服从Poisson分布。第46页，课件共74页，创作于2023年2月（一）总体均数的估计

总体均数的估计包括点估计和区间估计。

点估计是指由样本获得的稀有事件A出现的次数X值，作为总体均数的估计值。该法的优点是计算简便，但缺点是无法得知样本代表总体均数的可信程度。

区间估计可以确切获知总体均数落入一个区域的可信度，一般可信度取95％或99％。第47页，课件共74页，创作于2023年2月估计总体均数可信区间一般分为小样本法和大样本法。

1.小样本法当样本均数或样本计数值X≤50时，可直接查“Poisson分布的可信区间”表，得到可信区间（略）。第48页，课件共74页，创作于2023年2月2.正态近似法当样本均数或计数X＞50时，可按正态分布法处理。总体均数λ95％的可信区间为总体均数λ99％的可信区间为

第49页，课件共74页，创作于2023年2月例某防疫站检测某天然水库中的细菌总数。平均每毫升288个细菌菌落。求该水体每毫升95％和99％的可信区间。

应用公式有：λ95％的可信区间=（255.74，320.26）

λ99％的可信区间=（244.22，331.78）

第50页，课件共74页，创作于2023年2月(1)发病人数的95％可信区间为：

例调查1985年某市某区30万人，流行性出血热发病人数为204人。求该市发病人数及发病率（1／10万）95％的可信区间。分析：已知样本均数X为204人，观察单元n＝30万人。先计算出发病人数的可信区间，再按照发病率的要求以10万人作为观察单元，计算发病率可信区间的上下限值。=（176，232）第51页，课件共74页，创作于2023年2月(2)发病率的95％可信区间为：

上限值：下限值：

第52页，课件共74页，创作于2023年2月（二）样本均数与总体均数的比较

常用的方法有两种。①直接计算概率法：与二项分布的计算思路基本相同。即当λ＜20时，按Poisson分布直接计算概率值。②正态近似法：当λ≥20时，Poisson分布接近正态分布。按正态分布使用u检验处理资料。第53页，课件共74页，创作于2023年2月1.直接计算概率法

例某地区以往胃癌发病率为1／万。现在调查10万人，发现3例胃癌病人。试分析该地区现在的胃癌发病率是否低于以往的发病率。H0:现在胃癌发病率与以往相同，π＝π0

=0.0001H1：现在胃癌发病率低于以往，π<π0单侧α＝0.05第54页，课件共74页，创作于2023年2月（2）计算概率值

已知：n=100000，π=0.0001，λ＝nπ=100000×0.0001=10。根据题意，应计算小于等于3人发病的概率P（X≤3），即：P（X≤3）＝P(0)＋P(1)+P(2)+P(3)

第55页，课件共74页，创作于2023年2月（3）推断结论本例P＝0.0103，小于P＝0.05。在α＝0.05水准上拒绝H0，接受H1。可以认为现在该地区胃癌发病率低于以往发病率。第56页，课件共74页，创作于2023年2月2．正态近似法当λ≥20时，用u检验法例根据医院消毒卫生标准，细菌总数按每立方米菌落形成单位（CFU／m3）表示。无菌间的卫生标准为细菌菌落数应不大于200（CFU／m3）。某医院引进三氧消毒机，每天自动对无菌间进行2小时消毒。对无菌间抽样调查显示，细菌总数为121CFU／m3。试问该医院无菌间的细菌总数是否低于国家卫生标准。第57页，课件共74页，创作于2023年2月

(1)建立检验假设H0:无菌间的细菌总数符合国家卫生标准，λ=λ0=200H1:无菌间的细菌总数低于国家卫生标准，λ<λ0单侧α＝0.05（2）计算u值：已知：λ0＝200CFU／m3,X＝121CFU／m3，代入公式有：第58页，课件共74页，创作于2023年2月(3)确定P值查u界值表,单侧u0.05=1.64,现u>u0.05,故P<0.05。

⑷推断结论因P<0.05，拒绝H0,接受H1,差异有统计学意义。

可以认为该医院无菌间的细菌总数低于国家卫生标准。第59页，课件共74页，创作于2023年2月例某地区以往恶性肿瘤发病率为126.98／10万人。今调查发现，该地区恶性肿瘤发病率上升为148.62/10万人。试分析现在的发病率是否高于以往的发病率。第60页，课件共74页，创作于2023年2月（3）确定P值本例u=1.92，大于单侧u0.05=1.64,则P＜0.05。

（4）推断结论在＝0.05水准上拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。可以认为该地区恶性肿瘤发病率高于以往的发病率。

（1）建立检验假设H0:现在的发病率与以往的发病率相同，λ＝λ0＝126.98H1:现在的发病率高于以往的发病率，λ＞λ0单侧＝0.05（2）计算u值：第61页，课件共74页，创作于2023年2月（三）两样本均数的比较应用条件要求资料服从Poisson分布，两个样本均数X1及X2均大于20。1．两样本观察单元相同观察单元可以指单位面积、容积、体积、时间等。注意：Poisson分布中的观察单元具有可加性，如∑X1和∑X2。检验公式为：第62页，课件共74页，创作于2023年2月

例空气中负离子状况可以反映空气的新鲜感及污染状况。现调查某风景名胜区不同地点的负离子状况。海拔较高的山上风景点负离子数为240个／cm3。该景区商业区的百货大楼内的负离子数为146个／cm3。试分析该风景区两个不同地点负离子状况有无差异。(1)建立检验假设H0:两地点负离子状况相同，λ1＝λ2H1:两地点负离子状况不同，λ1≠λ2双侧0.001（2）计算u值:第63页，课件共74页，创作于2023年2月(3)确定P值

u0.001=3.2905，现u>u0.001,故P<0.001。

⑷推断结论因P<0.001，拒绝H0,接受H1,差异有统计学意义。

可以认为该风景区两个不同地点的空气负离子状况有差异。第64页，课件共74页，创作于2023年2月例调查某地区人群死亡状况。结果显示，男性及女性的意外死亡率分别为62人／10万人和72人／10万人。试分析男女意外死亡率有无差异。分析：该资料服从Poisson分布，每10万人可以作为一个观察单元。（1）建立检验假设

H0：男女意外死亡率相等，H1：男女意外死亡率不相等，α=0.05第65页，课件共74页，创作于2023年2月(3）确定P值，推断结论本例u=0.86,小于u0.05=1.96,则P＞0.05。在α＝0.05水准上，不拒绝H0，无统计学意义。可以认为男女性意外死亡率无差异。（2）计算u值：第66页，课件共74页，创作于2023年2月例某医院使用一定方法对住院病房进行消毒，并检测某一病房消毒前后的细菌菌落数（CFU／m3）。消毒前后均检测9次。消毒前的菌落数为18,10,9,15,5,2,6,5,2。消毒后的菌落数为5，4，5，6，7，2，3，2，1。试分析该病房消毒前后的卫生状况有无差异。分析：该资料服从Poisson分布。根据Poisson分布的可加性，将9次取样的菌落数相加为一个观察单元。消毒前为∑X1＝72；消毒后为∑X2＝35。第67页，课件共74页，创作于2023年2月（1