第7课时一元二次方程及其应用

第7课时一元二次方程及其应用中考考点清单考点一一元二次方程及其解法1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_____的整式方程叫做一元二次方程.2.一般形式为:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.23.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有一个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2.4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法形如（x±m）2=n（n≥0）的方程，可直接开方求解（2）因式分解法可化为（ax+m）（bx+n）=0的方程，用因式分解法求解（3）公式法求根公式：x=②____________（b2-4ac≥0）（4）配方法若ax2+bx+c=0不易于分解因式，可考虑配方为a（x+h）2=k，再直接开方求解考点二一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（2011版新课标新增内容）如何利用判别式确定实根的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式b2-4acb2-4ac③___0时，方程有两个不相等实数根；b2-4ac④___0时，方程有两个相等实数根；b2-4ac⑤___0时，方程无实数根>=<根与系数关系若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1,x2x1+x2=x1x2=【温馨提示】利用根的判别式可以判别一元二次方程根的情况，也可以由方程根的情况确定方程中字母系数的符号；进行根的情况的判别时方程必须化为一般形式.考点三一元二次方程的应用（高频考点）

1.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤一样，分审、设、列、解、验、答六步.2.列一元二次方程解应用题中，经济类和利润类问题是常考内容：(1)增长率等量关系：A.增长率＝×100％；B.设a为原来量，当m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量时，则有a(1+m)n＝b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n＝b.增长量基础量(2)利润等量关系：A.利润＝售价-成本；B.利润率＝×100％.成本利润常考类型剖析典例精讲类型一解一元二次方程例1解方程:x2-4x+2=0.解法一（公式法）：∵a=1，b=-4，c=2，b2-4ac=(-4)2-8=8>0，∴x∴x1=2+，x2=.解法二（配方法）：x2-4x=-2，x2-4x+4=2.(x-2)2=2，∴x-2=或x-2=-.∴x1=2+,x2=2-.用配方法解一元二次方程【归纳总结】1.解一元二次方程需仔细审题，针对题目特点选择适当的方法简便解出.选择解法的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法.2.本考点主要的思想方法是：降次转化法、换元法以及配方法等数学思想.针对演练1.一元二次方程x2=4x+5的解是（）A.5B.5或-1C.-1D.此方程无实数解B【解析】原方程变形为：x2-4x-5=0,即（x-5）（x+1）＝0，解得：x＝5或x＝-1，故本题选B一题多解本题还可以利用公式法来解.∵x2-4x-5＝0，∴x＝∴

＝5，

＝-1.2.解方程：x2-6=-2（x+1）.解：方程整理得：x2+2x=4,配方得：x2+2x+1=5，即（x+1）2=5,开方得：x+1=±，解得：x1=-1+，x2=-1-.类型二一元二次方程根的判别式及根与系数的关系例2（’14江西）若α，β是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则α2+β2＝_______.运用韦达定理求代数式或参数的值10【解析】本题考查一元二次方程中根与系数的关系.由根与系数的关系可得α+β=2，αβ=-3，α2+β2＝（α+β）2-2αβ=4-2×(-3)=10.【方法指导】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则根与系数的关系为：x1+x2=-

，x1·x2=

.在利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值时，除熟记两个式子外，还要熟练运用等式x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，，将所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2

的式子，再运用根与系数的关系求解.针对演练1.若x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是()A.2B.-2C.3D.-3D【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3.2.（’14广东）关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()A.m>B.m<C.m=D.m<-利用判别式求参数的取值范围B【解析】先根据判别式的意义得到b2-4ac=（-3）2-4m＞0，然后解不等式即可.根据题意得b2-4ac=（-3）2-4m＞0，解得m＜类型三一元二次方程的应用一元二次方程的应用——利润问题例3（’14桂林）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具.据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆.（1）求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元?（1）【思路分析】设该品牌电动自行车2、3月份的月平均增长率为x.等量关系为：1月份的销售量×(1+增长率)2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可；解：设该品牌电动自行车2、3月份的月平均增长率为x，根据题意列方程：150(1+x)2=216，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2=-220%（不合题意，舍去）.答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为20%.（2）【思路分析】用售价减去进价即可求得每辆电动自行车的利润，再乘以1至3月总的销售量即可求得总的利润.解：（2800-2300）×［150+150×（1+20%）+216］=273000(元)，答：该经销商1至3月共盈利273000元.【方法指导】一元二次方程的实际应用主要是根据题意列出方程，备考时要注意以下几个方面：（1）认真审题，弄清题中数量之间的关系，如关于变化率的问题，弄清哪个量是“基准量a”，变化后的量等于这个量加上变化的量，通常用a(1+x)m来表示，其中x表示变化率，m表示变化次数；（2）找出题中的等量关系是列方程的关键，关于连续两次变化的变化率问题有两种类型，一是直接给出两次变化后的量b，我们用“a(1±x)2=b”这一等量关系可以列出方程求解；还有一类是已知变化前的量、变化一次的量与变化两次的量的和，列方程时就要把三者加在一起得出方程求解.针对演练1.（’14广元）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013年投入5000万元，预计2015年投入8000万元.设教育经费连续两年的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.5000（1+x）2=8000B.5000x2=8000C.5000(1+x%)2=8000D.5000(1+x)+5000(1+x)2=8000A【解析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据2013年投入教育经费5000万元，2014年投入5000（1+x）万元，2015年投入5000（1+x）（1+x）万元即可得出方程.2.（’15原创）国家一直在设法控制大城市房价的增长速度，某城市的房均价2012年为6000元/平方米，今年（2014年）房均价为7260元/平方米，则这个城市的房均价这两年增长率是_____.10%【解析】设个城市的房均价这两年增长率是x，根据题意，得：6000（1+x）2=7260化简，得（1+x）2＝1.21，解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去），故答案为：10%．3.（’14新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？第3题图

解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米．根据题意得（100-4x）x=400，解得

x1=20，x2=5．则100-4x=20（米）或100-4x=80（米）.∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20（米），BC=20（米）.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.失分警示

失分点5忽略一元二次方程的二次项系数不为0的条件关于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足()A.a≥1B.a＞1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠5

解：∵关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，第一步∴16+4(a-5)≥0,第二步∴a≥1，故选A.第三步

上述解题过程从第____步开始出错，错误的原因为_____________________________，请给出正确的解题过程.二方程为一元二次方程时，a-5≠0解：关于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，∴16+4(a-5)≥0a-5≠0，∴a≥1且a≠5，故选C.【名师提醒】在解一元二次方程的过程中，应考虑到二