北京仕尚中学高三数学理下学期期末试卷含解析

北京仕尚中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数

参考答案：A 2.已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是(

) A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]参考答案：A考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围．解答： 解：M={x|x＜2}；∵M?N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选A．点评：考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3.如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30 B．10 C．15 D．21参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5当S=15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．4.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

参考答案：B略5.

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝(

)A．

B．1＋

C．

D．2＋参考答案：B6.已知非零向量、，满足，则函数是

A.既是奇函数又是偶函数

B.非奇非偶函数

C.奇函数

D.偶函数参考答案：D因为，所以，所以，所以为偶函数，选D.7.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选B8.已知i为虚数单位，复数的模（）A．1

B．

C．

D．3参考答案：A9.已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C10.函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：因为,故,故应选C.考点：函数的周期性和奇偶性及运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为

参考答案：12.设函数．若对任意实数，不等式恒成立，则_________．参考答案：13.已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为

．参考答案：14.在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：．已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是▲

．参考答案：15.若点在函数的图像上，则的值为________。参考答案：16.已知cos（﹣α）=，则sin（﹣2α）=．参考答案：

【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，求得sin（﹣2α）=sin[2（﹣α）+]的值．【解答】解：∵已知，则sin（﹣2α）=sin[2（﹣α）+]=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2?﹣1=﹣，故答案为：．17.把一个函数图像按向量平移后，得到的图象的表达式为，则原函数的解析式为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．(Ⅰ)求证：BC1∥平面CA1D；(Ⅱ)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1-A1DC的体积．参考答案：【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G5G6【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ)1(Ⅰ)连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点，又D是AB的中点，DE∥BC1，又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B(Ⅱ)解：,可证CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,

,【思路点拨】利用线线平行证明线面平行，利用等体积法求出高再求体积。19.（本题13分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝的单调性，并给出证明；(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．参考答案：(1)∵f(1)＝f(3)，∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，即－＝2，故a＝－4.(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，根据指数函数性质及x1<x2，得2x1－2x2<0，由上式得Δy<0，所以F(x)在R上是减函数．(3)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－，x∈[－2,2]，又a(－4,4)，故－(－2,2)．①当－≥2，即a≤－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋2a，故7＋2a≥a，即a≥－7.所以－7≤a≤－4.②当－≤－2，即a≥4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－2a，故7－2a≥a，即a≤，这与a≥4矛盾，故此情形不存在．因此，实数a的最小值为－7.20.当前，网购已成为现代大学生的时尚．某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与期望E（X）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai，由P（Ai）=??，（i=0，1，2，3，4），求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）由X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），则P（Ai）=??，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率P（A1）=??=；（2）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，则P（X=0）=P（A0）+P（A4）=?+?=，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=??+??=，P（X=4）=P（A2）=??=，∴X的分布列为：X034P∴X的数学期望值为EX=0×+3×+4×=．21.(本小题满分12分)已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．(1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．参考答案：解析](1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∴圆心是(2,1)，半径是，∴圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)设直线l的方程是：y＝x＋b.∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是，即＝.解之得，b＝－1±.∴直线l的方程是：y＝x－1±.略22.一班现有9名学生去学校组织的高中数学竞赛选拔考试，该活动有A，B，C是哪个等级，分别对应5分，4分，3分，恰有3名学生进入三个级别，从中任意抽取n名学生（每个人被抽到的可能性是相同的，1≤n≤9），再将抽取的学生的成绩求和．（1）当n=3时，记事件A={抽取的3人中恰有2人级别相等}，求P（A）．（2）当n=2时，若用ξ表示n个人的成绩和，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其