第3章 测量误差与数据处理

第3章测量误差与数据处理3.1误差的基本概念13.2误差的基本性质与处理3.3测量不确定度323.4最小二乘法与回归分析3第3章测量误差与数据处理(1)概述在科学技术高度发达的现代社会中，人类已进入瞬息万变的信息时代。◆人们在从事工业生产和科学实验等活动中，主要依靠对信息资源的开发、获取、传输和处理。◆传感器处于研究对象与测控系统的接口位置，是感知、获取与检测信息的窗口，一切科学实验和生产过程，特别是自动检测和自动控制系统要获取的信息，都要通过传感器将其转换为容易传输与处理的电信号。第3章测量误差与数据处理(1)概述◆在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确及时地掌握各种信息，大多数情况下是要获取被测对象信息的大小，即被测量的大小。◆这样，信息采集的主要含义就是测量，取得测量数据。第3章测量误差与数据处理(1)◆测量是为了确定被测对象的量值而进行的实验过程，其目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种与检测系统的组成和各组成环节相关原因，例如，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，都会造成被测参数的测量值与真实值不一致，两者不一致程度用测量误差表示。测量值必须包括:数值和单位，如测量课桌的长度为1.2534m。◆测量误差就是测量值与真实值之间的差值，它反映了测量质量的好坏。

概述第3章测量误差与数据处理(1)◆测量的可靠性至关重要，不同场合对测量结果可靠性的要求也不同。例如，在量值传递、经济核算、产品检验等场合应保证测量结果有足够的准确度。当测量值用作控制信号时，则要注意测量的稳定性和可靠性。◆测量结果的准确程度应与测量的目的与要求相联系、相适应，那种不惜工本、不顾场合，一味追求越准越好的作法是不可取的，要有技术与经济兼顾的意识。概述第3章测量误差与数据处理(1)测量的分类：按测量方式通常可分为：直接测量——由仪器直接读出测量结果的叫做直接测量如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等间接测量——由直接测量结果经过公式计算才能得出结果的叫做间接测量．如：测量单摆的振动周期T，用公式按测量精度通常可分为：等精度测量——对某一物理量进行多次重复测量，而且每次测量的条件都相同(同一测量者，同一组仪器，同一种实验方法，温度和湿度等环境也相同)。不等精度测量——在诸测量条件中，只要有一个发生了变化，所进行的测量。

第3章测量误差与数据处理(1)1.测量误差的表示方法◆测量误差的表示方法有多种，含义各异。下面介绍几种常用的方法。①绝对误差◆绝对误差可用下式定义：

Δ=

X

-X0

式中：Δ——绝对误差；X——测量结果（由测量所得到的被测量值）；

X0——被测量的真实值。它是一个理想的概念，一般说的真值是指理论真值、规定真值和相对真值。3.1误差的基本概念第3章测量误差与数据处理(1)◆对测量值进行修正时，要用到绝对误差。修正值是与绝对误差大小相等、符号相反的值，实际值等于测量值加上修正值。◆采用绝对误差表示测量误差，不能很好说明测量质量的好坏。◆例如，在温度测量时，绝对误差Δ=1℃，对体温测量来说是不允许的，而对测量钢水温度来说却是一个极好的测量结果。3.1误差的基本概念第3章测量误差与数据处理(1)3.1误差的基本概念②相对误差相对误差的定义由下式给出：

式中：γ0——相对误差，一般用百分数给出；

Δ——绝对误差；X0——真实值。◆由于被测量的真实值X0无法知道，实际测量时用测量值X代替真实值X0进行计算，这个相对误差称为标称相对误差.

第3章测量误差与数据处理(1)③引用误差引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法。它是相对仪表满量程的一种误差，一般也用百分数表示，即:

式中：γ——引用误差；Δ——绝对误差。◆仪表精度等级是根据引用误差来确定的。例如，0.5级表的引用误差的最大值不超过±0.5%，1.0级表的引用误差的最大值不超过±1%。3.1误差的基本概念第3章测量误差与数据处理(1)国家标准GB776-76《测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量仪表的精度等级分为7级：0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5及5.0。它们指的是最大引用误差不能超过仪表精度等级指数的百分数。第3章测量误差与数据处理(1)例1

某电压表的精度等级S为1.5级，试算出它在0V～100V量程的最大绝对误差。解：电压表的量程是：xm=100V－0V=100V∵精度等级S=1.5

即引用误差为：γ＝±1.5％∴可求得最大绝对误差：Δm=γxm=100V×(±1.5％)=±1.5V

故：该电压表在0V～100V量程的最大绝对误差是±1.5V。第3章测量误差与数据处理(1)例2

某1.0级电流表，满度值xm=100uA，求测量值分别为x1=100uA，x2=80uA，x3=20uA时的绝对误差和示值相对误差。解：∵精度等级S=1.0

即引用误差为：γ＝±1.0％∴可求得最大绝对误差：Δm=γxm=100uA×(±1.0％)=±1.0uA

依据误差的整量化原则：认为仪器在同一量程各示值处的绝对误差是常数，且等于Δm。（注意：1.通常，测量仪器在同一量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可以利用的情况下，只能按最坏情况处理，于是就有了误差的整量化处理原则。2.因此，为减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般示值不小于满度值的2/3。）故：三个测量值处的绝对误差分别为：Δx1=Δx2=Δx3=Δm=±1.0uA三个测量值处的示值（标称）相对误差分别为：

第3章测量误差与数据处理(1)④基本误差基本误差是指仪表在规定的标准条件下所具有的误差。例如，仪表是在电源电压（220±5）V、电网频率（50±2）Hz、环境温度（20±5）℃、湿度65%±5%的条件下标定的。如果这台仪表在这个条件下工作，则仪表所具有的误差为基本误差。测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的。⑤附加误差附加误差是指当仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。3.1误差的基本概念第3章测量误差与数据处理(1)3.1.2误差的来源装置误差人员误差环境误差方法误差第3章测量误差与数据处理(1)

根据测量数据中的误差所呈现的规律，将误差分为三种，即系统误差随机误差粗大误差这种分类方法便于测量数据的处理。

1.系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时，如果误差按照一定的规律出现，则把这种误差称为系统误差。3.1.3误差的分类第3章测量误差与数据处理(1)1系统误差：在重复测量条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去真值来源：仪器、装置误差；测量环境误差；测量理论或方法误差；人员误差---生理或心理特点所造成的误差。标准器误差；仪器安装调整不妥,不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂,分光计读数装置的偏心；附件如导线

理论公式为近似或实验条件达不到理论公式所规定的要求

温度、湿度、光照，电磁场等

特点：同一被测量多次测量中，保持恒定或以可预知的方式变化（一经查明就应设法消除其影响）3.1.3误差的分类第3章测量误差与数据处理(1)随机误差：测量结果减去同一条件下对被测量进行无限多次测量结果的平均值来源：仪器性能和测量者感官分辨力的统计涨落，环境条件的微小波动，测量对象本身的不确定性(如气压小球直径或金属丝直径…)等．特点：个体而言是不确定的;但其总体服从一定的统计规律。处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准差），不可修正，但可减小之。（下面讲）2.随机误差:在相同的条件下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的无规则的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，这类误差称为偶然误差．3.1.3误差的分类第3章测量误差与数据处理(1)3.粗大误差:明显偏离测量结果的误差称为粗大误差，又称疏忽误差。◆这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的。◆对于粗大误差，首先应设法判断是否存在，然后将其剔除。3.1.3误差的分类第3章测量误差与数据处理(1)常用正确度、准确度、精密度和不确定度等来描述测量结果的好坏3．精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结果之间符合的程度，简称为精度。1.正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。系统误差越小，测量结果越准确。它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合。2.准确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一致程度。它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。又称精确度。3.1.4表证测量结果质量的指标第3章测量误差与数据处理(1)4不确定度：不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。

测量结果写成如下形式：y＝N±△N

其中y代表待测物理量，N为该物理量的测量值，△

N是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值N不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，是对待测真值可能存在的范围的估计．不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值与真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是未知的．不确定度的大小可以按一定的方法计算(或估计)出来．第3章测量误差与数据处理(1)a)精密度低,正确度高(b)精密度高，正确度低(c)精密度、正确度和准确度皆高第3章测量误差与数据处理(1)①逐项分析法：◆对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限。◆这种方法反映出了各种误差成分在总误差中所占的比重，我们可以得知产生误差的主要原因，从而分析减小误差应主要采取的措施。◆逐项分析法适用于拟定测量方案；研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统。确定测量误差的方法第3章测量误差与数据处理(1)②实验统计法◆应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限。◆本方法利用实际测量数据对测量误差进行估计，反映出各种因素的实际综合作用。◆实验统计法适用于一般测量和对测量方法和测量仪器的实际精度进行估算和校验。◆综合使用以上两种方法，可以互相补充、相互验证。确定测量误差的方法第3章测量误差与数据处理(1)测量数据中含有系统误差和随机误差，有时还会含有粗大误差。它们的性质不同，对测量结果的影响及处理方法也不同。◆在测量中，对测量数据进行处理时，首先判断测量数据中是否含有粗大误差，如有则必须加以剔除。◆再看数据中是否存在系统误差，对系统误差可设法消除或加以修正。◆对排除了系统误差和粗大误差的测量数据，则利用随机误差性质进行处理。确定测量误差的方法第3章测量误差与数据处理(1)◆在测量中，当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时，如果测量数据仍有不稳定的现象，说明存在随机误差。◆在等精度测量情况下，得n个测量值x1，x2，…，xn，设只含有随机误差δ1，δ2，…，δn。这组测量值或随机误差都是随机事件，可以用概率数理统计的方法来研究。◆随机误差的处理任务是从随机数据中求出最接近真值的值（或称真值的最佳估计值），对数据精密度的高低（或称可信赖的程度）进行评定并给出测量结果。

3.2误差的基本性质和处理3.2.1随机误差的统计处理对同一被测量进行多次重复测量时，绝对值和符号不可预知地随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。第3章测量误差与数据处理(1)1.随机误差的正态分布曲线测量实践表明，多数测量的随机误差具有以下特征：①绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的。②随机误差的绝对值不会超出一定界限。③测量次数n很大时，绝对值相等，符号相反的随机误差出现的概率相等。◆由特征③不难推出，当n→∞时，随机误差代数和趋近于零。◆随机误差的上述三个特征，说明其分布实际上是单一峰值的和有界限的，且当测量次数无穷增加时，这类误差还具有对称性（即抵偿性）。一随机误差的分布规律第3章测量误差与数据处理(1)◆在大多数情况下，当测量次数足够多时，测量过程中产生的误差服从正态分布规律。分布密度函数为:

◆由随机误差定义得：

式中：y-概率密度；x-测量值（随机变量）；σ2均方根偏差（标准误差）；L-真值（随机变量x的数学期望）；δ-随机误差（随机变量），δ=x-L。一随机误差的分布规律第3章测量误差与数据处理(1)一随机误差的分布规律

正态分布方程式的关系曲线为一条钟形的曲线（如图3-1所示），说明随机变量在x=L或δ=0处的附近区域内具有最大概率。随机误差具有以下特征:①绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等——对称性。②在一定测量条件下的有限测量值中，其随机误差的绝对值不会超过一定的界限——有界性。③绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多——单峰性④对同一量值进行多次测量，其误差的算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零——抵偿性。（凡是具有抵偿性的误差原则上可以按随机误差来处理）这种误差的特征符合正态分布

图3-1随机误差的概率分布第3章测量误差与数据处理(1)①算术平均值◆在实际测量时，真值L不可能得到。但如果随机误差服从正态分布，则算术平均值处随机误差的概率密度最大。对被测量进行等精度的n次测量，得n个测量值x1，x2，…，xn，它们的算术平均值为◆算术平均值是诸测量值中最可信赖的，它可以作为等精度多次测量的结果。

2算术平均值和标准差第3章测量误差与数据处理(1)②均方根偏差◆上述的算术平均值是反映随机误差的分布中心，而均方根偏差则反映随机误差的分布范围，它又称为标准偏差或标准差。均方根偏差愈大，测量数据的分散范围也愈大，所以均方根偏差σ可以描述测量数据和测量结果的精度。◆均方根偏差σ可由下式求取：式中：-第i次测量值。2算术平均值和标准差第3章测量误差与数据处理(1)图3-2为不同σ下正态分布曲线。由图可见：σ愈小，分布曲线愈陡峭，说明随机变量的分散性小，测量精度高；反之，σ愈大，分布曲线愈平坦，随机变量的分散性也大，则精度也低。图3–2不同σ下正态分布曲线2算术平均值和标准差第3章测量误差与数据处理(1)◆在实际测量时，由于真值L是无法确切知道的，用测量值的算术平均值可代替它，各测量值与算术平均值之差值称为残余误差，即◆用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差的估计值σs，即:

2算术平均值和标准差第3章测量误差与数据处理(1)◆通常在有限次测量时，算术平均值不可能等于被测量的真值L，它也是随机变动的。◆设对被测量进行m组的“多次测量”，各组所得的算术平均值，，…，，围绕真值L有一定的分散性，也是随机变量。算术平均值的精度可由算术平均值的均方根偏差来评定。它与的关系如下：2算术平均值和标准差第3章测量误差与数据处理(1)◆由上式可见，在测量条件一定的情况下，算术平均值的均方根偏差随着测量次数ｎ的增加而减小，算术平均值愈接近期望值。◆但仅靠增大ｎ值是不够的，实际上测量次数越多，越难保证测量条件的稳定，所以在一般精密测量中，重复性条件下测量的次数ｎ大多少于10，此时要提高测量精度，需采用其它措施（如提高仪器精度、改进测量方法等）。2算术平均值和标准差第3章测量误差与数据处理(1)（1）正态分布随机误差的概率计算◆因随机变量符合正态分布，它出现的概率就是正态分布曲线下所包围的面积。因为全部随机变量出现的总的概率是１，所以曲线所包围的面积应等于１，即：

◆随机变量在任意误差区间（a，b）出现的概率为

式中，Pa为置信概率。

3测量值的置信区间与置信概率第3章测量误差与数据处理(1)3测量值的置信区间与置信概率◆σ是正态分布的特征参数，误差区间通常表示成σ的倍数，如kσ。由于随机误差分布对称性的特点，常取对称的区间，即:式中：k——置信系数；±kσ——置信区间（误差限）。第3章测量误差与数据处理(1)◆表3-1给出几个典型的k值及置信概率表3–1k值及其相应的概率3测量值的置信区间与置信概率第3章测量误差与数据处理(1)◆随机变量在±kσ范围内出现的概率为Pα，则超出的概率称为置信度（也称显著性水平），用α表示：

Pa与α关系见图11-3。图11–3Pa与α关系3测量值的置信区间与置信概率第3章测量误差与数据处理(1)◆从表3-1可知，当k=1时，Pa=0.6827，即测量结果中随机误差出现在-σ～+σ范围内的概率为68.27%，而|v|>σ的概率为31.73%。出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%，因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为极限误差δlim。按照上面分析，测量结果可表示为：

或：

3测量值的置信区间与置信概率第3章测量误差与数据处理(1)◆例1：有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求测量结果。●解：将测量值列于下表：序号测量值xi残余误差vi1237.4-0.120.0142237.2-0.320.103237.90.380.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014测量结果为：

x=237.52±0.09（Pa=0.6827）或：x=237.52±3×0.09=237.52±0.27（Pa=0.9973）3测量值的置信区间与置信概率第3章测量误差与数据处理(1)1.从误差根源上消除系统误差◆系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。系统误差不具有抵偿性，重复测量也难以发现，在工程测量中应特别注意该项误差。◆由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同。3.2.2系统误差对同一被测量进行多次重复测量时，如果误差按照一定的规律出现，则把这种误差称为系统误差。第3章测量误差与数据处理(1)◆有效地找出系统误差的根源并减小或消除它的关键是如何查找误差根源，这就需要对测量设备、测量对象和测量系统作全面分析，明确其中有无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修正或消除。◆由于具体条件不同，在分析查找误差根源时并无一成不变的方法，这与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)我们可以从以下几个方面进行分析考虑。●所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。比如传感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准确，变换器、放大器等性能不太优良，由这些引起的误差是常见的误差。●测量方法是否完善。如用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)●传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如：没有调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起误差。●传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。●测量者的操作是否正确。例如读数时的视差、视力疲劳等都会引起系统误差。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)2.系统误差的发现与判别◆发现系统误差一般比较困难，下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。①实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现固定的系统误差。例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多次测量也不能发现，只有用精度更高一级的测量仪表测量，才能发现这台测量仪表的系统误差。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)②残余误差观察法

这种方法是根据1

测量值的残余误

差的大小和符号

的变化规律，直

接由误差数据或

图

残余误差变化规律误差曲线图形判断有无变化的系统误差。图中把残余误差按测量值先后顺序排列，图（a）的残余误差排列后有递减的变值系统误差；图（b）则可能有周期性系统误差。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)③准则检查法◆目前已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差，不过这些准则都有一定的适用范围。◆如马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组，若“Σvi前”与“Σvi后”之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)◆阿贝检验法则检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排列，且设:◆若，则可能含有变化的系统误差。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)3.系统误差的消除①在测量结果中进行修正◆对于已知的系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知系统误差，则按随机误差进行处理。②消除系统误差的根源◆在测量之前，仔细检查仪表，正确调整和安装，使用前一定要调零；防止外界干扰影响；选好观测3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)位置，消除视差；选择环境条件比较稳定时进行读数等。③检测方法上消除或减小◆在实际测量中，采用有效的测量方法对于消除系统误差也是非常重要的。在现有仪器设备的前提下，改进测量方法可提高测量的精确度。常用的几种可消除系统误差的测量方法有：替换法、对照法等。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)◆替换法是用可调的标准器具代替被测量接入检测系统，然后调整标准器具，使检测系统的指示与被测量接入时相同，则此时标准器具的数值等于被测量值。◆替换法在两次测量过程中，测量电路及指示器的工作状态均保持不变，因此检测系统的精确度对测量结果基本上没有影响，从而消除了测量结果中的系统误差；测量的精确度主要取决于标准已知量，对指示器只要求有足够高的灵敏度即可。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)◆替换法不仅适用于精密测量，也常用于一般的技术测量。◆对照法也称交换法，是在一个测量系统中改变一下测量安排，测出两个结果，将这两个测量结果相互对照，并通过适当的数据处理，可对测量结果进行修正。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)例2：在一个等臂天平称重实验中，天平左右两臂的长度存在微小差别，如何测量能保证足够高的精确度？解：分析此称重实验，由于两臂长度微小差值的存在，使测量存在恒值系统误差。我们可采用对照法改进测量。设被测物为X、砝码为P，改变砝码重量直到两臂平衡，记录测量值p1；将X与P左右交换，改变砝码重量值使天平再次平衡，记录测量值p2，取两次测量的平均值，即得到精确测量值，消除了系统误差。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1)④在测量系统中采用补偿措施◆找出系统误差的规律，在测量过程中自动消除系统误差。如用热电偶测量温度时，热电偶参考端温度变化会引起系统误差，消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器，从而实现自动补偿。3.2.2系统误差第3章测量误差与数据处理(1