2022-2023学年湖南省常德市陈家嘴中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省常德市陈家嘴中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为．∴所求的概率为P=．故选：B．【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.2.已知幂函数的图像过点，令，，记数列的前项和为，则=10时，的值是(

)A.110

B.120

C.130

D.140参考答案：120

3.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.18π B. C.21π D.42π参考答案：C【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．4.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（） C．（] D．（）参考答案：D【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s=132，则判断框中可以填（

）A. B.C. D.参考答案：B第一次循环第二次循环结束循环，输出，所以判断框中应填选B.6.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：

偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（

）A．90%

B．95%

C．99%

D．99.9%附：参考公式和临界值表：

K2.7063.8416.63610.8280.100.050.0100.001参考答案：C7.集合，则

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.设已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(

)

A．(－3，0)

B．(－4，0)

C．(－10，0)

D．(－5，0)

参考答案：D9.函数的图象是（

）参考答案：A10.定义域为上的奇函数满足，且，则（

）A．2

B．1

C.-1

D．-2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆的极坐标方程为ρ=3cosθ，直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，则圆上的点到直线的距离的最大值为_________．参考答案：12.设的反函数为，若函数的图像过点，且，则

．参考答案：13.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为

．参考答案：7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．【解答】解：执行一次循环，y=3，x=2，不满足|y﹣x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y=7，x=3，满足|y﹣x|≥4，退出循环故输出的y值为7，故答案为：7【点评】本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．14.设复数，若为实数，则为

.参考答案：4.∴。15.如图，圆的直径，为圆周上一点，

，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，则线段的长为

．参考答案：无略16.人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有

种.

(用数字作答)

参考答案：答案：7217.抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为

，若点在抛物线上运动，点在直线上运动，则的最小值等于

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

已知函数．（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的

取值范围；（II）若，设，求证：当时，

不等式成立．参考答案：【知识点】数列与不等式的综合；利用导数研究函数的单调性．B11

【答案解析】（I）或；（II）见解析。解析：（I），

∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当时，恒成立，

即恒成立，∴在时恒成立，或在时恒成立，∵，∴或

……6（II），∵定义域是，，即∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数∴当时，取极大值，当时，取极小值，

∵，∴

设，则，∴，∵，∴∴在是增函数，∴∴在也是增函数

∴，即，而，∴∴当时，不等式成立．

……………12【思路点拨】（Ⅰ）由题意得f′（x）?g′（x）=（x+）（a+1）=?（a+1）≥0，当x∈[1，3]时，或恒成立，求得﹣x2的最值，即可得出结论；（Ⅱ）由题意得F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，利用导数研究函数的单调性及极值、最值，即可得出结论．19.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn.求证：．参考答案：解析：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；

……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，

则有而故，解得，

………………7分再将代入得成立，所以．

………………8分（III）证明：由（Ⅱ）知，所以，

…………………9分由得所以，

……12分从而．即．

…………14分20.（本小题满分12分）

已知函数

（I）若函数

（II）设的充分条件，求实数m的取值范围。参考答案：解：（1）而，(2)

21.（12分）已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：是上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．参考答案：不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0即p是真命题，m<1

f(x)=(5－2m)x是上的增函数，须5－2m>1即q是真命题，m<2

由于p或q为真命题，p且q为假命题

故p、q中一个真，另一个为假命题

因此，1≤m<222.已知函数，其中（1）当时，求在