2022年上海市南中学高三数学理期末试卷含解析

2022年上海市南中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则曲线在点处的切线在轴上的截距为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像(

)A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位参考答案：A3.已知向量∥，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A4.正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是(

)A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．5.已知平面向量，，若与共线，则A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若复数为纯虚数，则（）A. B.13 C.10 D.参考答案：A【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可。【详解】由复数的运算法则有：,复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.7.直线与曲线相切于点A（1，3），则2a+b的值为（

）A.2 B.-1 C.1 D.-2参考答案：B略8.如图所示为函数的部分图像，其中A,B两点之间的距离为5，那么A. B. C. D.1参考答案：D略9.已知椭圆的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），离心率e=，若点P在椭圆上，且?=，则∠F1PF2的大小为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设题意的标准方程为：=1（a＞b＞0），可得：c=，e==，a2=b2+c2，联立解出可得：椭圆的标准方程为：+x2=1．设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆定义可得m+n=4，由?=，可得mncos∠F1PF2=，利用余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，联立即可得出．【解答】解：由题意可设题意的标准方程为：=1（a＞b＞0），则c=，离心率e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为：+x2=1．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=4，∵?=，∴mncos∠F1PF2=，又（2c）2==m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴12=42﹣2mn﹣2×，解得mn=．∴cos∠F1PF2=，∴cos∠F1PF2=，∴∠F1PF2=．故选：D．10.若函数则实数（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于问题：“已知两个正数满足，求的最小值”，给出如下一种解法：，，，，当且仅当，即时，取最小值．参考上述解法，已知是的三个内角，则的最小值为

．参考答案：12.若集合，，则

.参考答案：13.若，且为纯虚数，则实数

参考答案：14.函数的定义域,它的零点组成的集合是,的定义域,它的零点组成的集合是，则函数零点组成的集合是

（答案用、、的集合运算来表示）参考答案：15.已知某几何体的三视图如上，则该几何体的表面是

。参考答案：略16.过点P（1，﹣2）的直线l将圆x2+y2﹣4x+6y﹣3=0截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l的方程为．参考答案：x﹣y﹣3=0考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：过P的直线l将圆分成两条弧中，劣弧最短时，直线l与过P的直径垂直，即斜率的乘积为﹣1，将圆方程化为标准方程，找出圆心Q坐标，由P与Q的坐标求出直径PQ的斜率，进而求出直线l的斜率，由P坐标与求出的斜率，即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=16，∴圆心Q坐标为（2，﹣3），又P坐标为（1，﹣2），∴直线QP的斜率为=﹣1，则所求直线l的方程为y+2=x﹣1，即x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=0点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线斜率的求法，以及直线的点斜式方程，解题的关键是明白过P的直线l将圆分成两条弧中，劣弧最短时，直线l与过P的直径垂直．17.根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a的值为．参考答案：105【考点】伪代码．【专题】计算题；分类讨论；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=9时不满足条件i≤7，退出循环，输出a的值为105．【解答】解：模拟执行程序可得：a=1，i=3满足条件i≤7，a=3，i=5满足条件i≤7，a=15，i=7满足条件i≤7，a=105，i=9不满足条件i≤7，退出循环，输出a的值为105．故答案为：105．【点评】本题主要考查了循环结构的程序，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）若由数列生成的数列满足对任意的其中，则称数列为“Z数列”。

（I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；

（II）若数列是“Z数列”，

（III）若数列是“Z数列”，设求证参考答案：解：（I）因为所以

………………2分所以所以是“Z数列”。

………………4分

（II）因为，

………………6分所以，

又

………………8分

（III）因为，

………………10分又，所以

………………12分所以

………………13分

略19.2019年1月4日，据“央视财经”微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图：将上述调查所得到的频率视为概率.（1）求a的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；（2）若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元.（i）记X为外卖员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？参考答案：（1），2.7千米；（2）（i）详见解析；（ii）81千米.【分析】（1）由频数分布表及频率之和为1可求a；（2）结合频率分布表、直方图计算（i）外卖员送一份外卖的收入（单位：元）X的所有可能取值为3，5，9；计算期望，（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，可进行估算，因为150÷5＝30，则估计外卖员一天至少要送30份外卖可计算．【详解】（1）因为，解得.点外卖用户的平均送餐距离为千米.（2）（i）由题意知所有可能取值为3，5，9.；；.所有的分布列为3590.300.550.15

的数学期望为（元）.（ii）因为，则估计外卖员一天至少要送30份外卖，所以该外卖员一天的送餐距离至少为千米.【点睛】本题考查由频率分布表、直方图进行计算，估算，考查频数、频率，考查频率公式，期望公式的应用，属于中档题．20.（本题12分）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求k值；（2）若，试判断函