第4章弹性力学有限元资料课件

第四章弹性力学有限元概述§4-1引言§4-2连续体的离散化§4-3单元位移函数§4-4单元分析与单刚§4-5单元等效结点荷载§4-6有限元法分析步骤§4-1引言一、弹性力学的研究对象：二维、三维结构。如板壳结构、水坝等。

解析法（精确法）二、弹性力学的分析方法数值法（近似法）

解析法只能解少数形状规则、边界条件简单、荷载简单的结构。

数值近似（如差分法）近似法物理近似（如反弯点法等）:抓住问题的主要力学特征作某些近似假设。

将数值近似与物理近似结合，并使用计算机作为计算工具，便产生了有限单元法。三、有限单元法（有限元法）

——是一种运用计算机求解工程和科学问题的近似数值方法。有限元法的分析思路（步骤）：1、单元划分将连续体划分为有限个有限大小的单元。单元之间通过结点相连。

悬臂深梁：

jk

j

单元与单元间k

通过结点相连：

每个单元的尺寸为有限大（不是无限小）——称为有限单元，即有限元。

假设单元内部分布的位移场、应力场或应力—位移混合场。

以后仅讨论假设位移场的情况——称有限元位移法，简称有限元法。

2、单元分析将单元内各种量（如任一点的位移、应力、应变等）均表示为单元结点位移的函数。然后求单元刚度矩阵。3、将各单元集合成整体即形成结点平衡方程[K]｛D｝=｛F｝。[K]、｛F｝的形成方式同矩阵位移法。4、解方程组[K]｛D｝=｛F｝，求｛D｝。5、计算单元内各点的应力、应变等。并对计算结果进行整理分析。可见，有限元法的步骤与矩阵位移法基本相同。不同处：矩阵位移法得精确解，而有限元法得近似解。§4-2连续体的离散化

将连续体离散为有限个单元的集合。一、单元形状

二维单元（用于平面问题）

三维单元（用于空间问题）

平面问题等参数单元（模拟曲线边界）二、单元的大小

将实际结构划分为若干单元的分割线称为网格。一般，网格越密（即单元数越多），计算结果越精确，但计算量增大。计算结果

精确值

单元数

可见，当网格加密到一定程度，对计算结果的精度提高已有限。故不应盲目加密网格。对较规则的问题，可均匀划分网格。应力较大（如应力集中）处，应加密网格。如下图结构，可取四分之一计算：三、划分单元时应注意的问题1、任意一个单元的结点，必须同时也是相邻单元的结点，而不能是相邻单元边界上的内点。下图中，应在虚线处增加一根杆件。2、避免病态单元（如下图所示）

会造成总刚[K]中主元不占优。3、可将集中力的作用点或分布荷载的突变点设置为结点。4、在结构的厚度或材料性质有突变处，应把突变线作为单元的分界线。四、单元编号、结点编号

结点编号时，应使每个结点与相邻结点的编号之差尽可能小，以便使[K]的带宽尽可能小。五、结点与单元的自由度

结点自由度：平面（2个）、空间（3个）

单元自由度=结点自由度×单元结点数§4-3单元位移函数假定一种连续函数来描述单元内任一点的位移——称单元位移函数（模式）。位移函数选取的好坏直接影响计算的收敛性与精度。通常选取多项式作为位移函数。一、选取位移函数的方法1、广义坐标法——利用帕斯卡(Pascal)三角形。

1常数项

xy线性项

x2xyy2二次项

x3x2yxy2y3三次项

x4x3yx2y2xy3y4

四次项

……………（1）对于一维单元（2）对于二维单元

应依次选取常数项、线性项、二次项、……。并应注意坐标轴方向的对称性。【例4-1】选取图示二结点轴力元的位移函数。ujuiu(x)xE,A,I,l解：因有2个结点位移，可取u(x)=a1+a2x

将a1、a2代入，并整理得：由得：

其中，Ni

、Nj

称为形函数，[N]称为形函数矩阵。形函数的性质：本结点上取值1、其它结点上取值0。写成矩阵形式，为

ui

i

j

uj

1Ni

Nj

1

形函数Ni表示:当第i个结点位移分量发生单位位移,而其它结点位移分量为零时整个单元的变形形状,故称为“形状函数”,简称形函数。2、插值函数法一维单元：

u(x)=N1u1+N2u2+…+Nnun=SNiui=[N]｛d｝(e)

形函数矩阵：[N]=[N1N2…

Nn]

｛d｝(e)=｛u1u2…

un

｝T

二维单元：

u(x,y)=N1u1+N2u2+…+Nnun=SNiui

v(x,y)=N1v1+N2v2+…+Nnvn=S

Nivi写成矩阵形式为｛u｝=[N]｛d｝(e)其中二维单元：

u(x,y)=N1u1+N2u2+…+Nnun=S

Niui

v(x,y)=N1v1+N2v2+…+Nnvn=SNivi写成矩阵形式为｛u｝=[N]｛d｝(e)二、有限元解答的收敛性为了保证解答的收敛性，须使假设的位移函数满足：（1）包含常数项——反映单元的刚体位移。（2）包含线性项——反映单元常应变。（3）除在单元内连续外，还应在相邻单元的公共边界上连续。

分

C0连续（位移连续）等。

C1连续（位移的一阶导数连续）

一般要求C0连续。上述条件（1）、（2）是收敛的必要条件，加上条件（3）就是收敛的充分条件。把满足条件（1）、（2）的单元称为完备单元，满足条件（3）的单元称为协调单元。对于完备且协调的单元，具有单调收敛性。§4-4单元分析与单刚

yFyi

iFxi

sy

txy

Fyj

sxFym

FxmFxjmjx

对三结点三角形单元：｛d｝(e)

=｛uiviujvjumvm

｝T

｛F｝(e)=｛FxiFyiFxjFyjFxmFym

｝T

单元分析：A、确定单元内任一点的位移｛u｝、应力｛e｝、应变｛s｝，并建立它们与｛d｝(e)间的关系。

B、求[k](e)

，即｛F｝(e)与｛d｝(e)之间的变换矩阵。对于平面问题：｛u｝=｛uv｝T

｛e｝=｛exeygxy

｝T

｛s｝=｛sxsytxy

｝T对于空间问题：｛u｝=｛uvw｝T

｛e｝=｛exeyezgxy

gyz

gzx

｝T

｛s｝=｛sxsysztxy

tyz

tzx｝T一、单元位移函数

｛u｝=[N]｛d｝(e)如对于三结点三角形单元：

u=Niui+Njuj+Nmum

v=Nivi+Njvj+Nmvm[N]=

Ni0Nj0Nm00Ni

0Nj

0Nm二、单元应变｛e｝=[L]｛u｝,[L]—微分算子矩阵。对于平面问题：写成矩阵形式：

0

e

x

u

｛e｝=ey=0

gxy

v

0

e

x

u

｛e｝=ey=0

gxy

v即｛e｝=[L]｛u｝对于空间问题：｛e｝=[L]｛u｝:000000000[L]=｛u｝=uvw

将｛u｝=[N]｛d｝(e)代入｛e｝=[L]｛u｝，得：｛e｝=[L][N]｛d｝(e)=[B]｛d｝(e)

其中[B]=[L][N]——称为应变矩阵或几何矩阵。∴｛e｝=[B]｛d｝(e)三、单元应力以平面应力为例：（m为泊松比）

E

sx=(ex+mey)1－m2

E

sy=(ey+mex)1－m2

E

1-m

txy=·

gxy

1－m22写成矩阵形式｛s｝=[D]｛e｝，则

1m0

E

m10[D]=1－m21－m

002若为平面应变问题，将E

、m

分别替换为：

E

1－m

1－m22

[D]——弹性矩阵。将｛e｝=[B]｛d｝(e)代入｛s｝=[D]｛e｝得：｛s｝=[S]｛d｝(e)其中[S]=[D][B]=[D][L][N]——称为应力转换矩阵。四、单元刚度方程与单刚[k](e)

——利用虚功原理推导设单元结点力与结点位移列阵为：｛F｝(e)=｛F1F2F3…

Fn｝T

｛d｝(e)=｛d1

d2

d3…

dn｝T

给一虚位移｛d*｝(e)，则单元内任一点的虚位移｛u

*｝=[N]｛d*｝(e)

，虚应变｛e*｝=[B]｛d*｝(e)

。由虚功原理：（外力虚功）W=U

（虚变形能）

W=d1*F1+d2*F2+…+dn*Fn

=(｛d*｝(e))T

｛F｝(e)

U=∫V(ex*

sx+ey*

sy+…+

gzx*tzx)dxdydz=∫V｛e*｝T｛s｝dxdydz=(｛d*｝(e))T∫V

[B]T｛s｝dxdydz

由W=U，得：｛F｝(e)=∫V

[B]T｛s｝dxdydz

将｛s｝=[S]｛d｝(e)=[D][B]｛d｝(e)代入，得

｛F｝(e)=[k](e)｛d｝(e)

其中，[k](e)=∫V

[B]T[D][B]dxdydz

§4-5单元等效结点荷载

单元上非结点荷载（静力等效）单元等效结点荷载｛FE｝(e)静力等效：原荷载与｛FE｝(e)在任何虚位移上作的虚功都相等。1、集中荷载

设有｛F｝=｛Fx

Fy

Fz

｝T作用在单元内(含单元边界上)某点C｛x，y，z｝。设有虚位移｛u

*｝=[N]｛d*｝(e)

，则C点虚位移为｛uC*｝=[NC]｛d*｝(e)

。其中[NC]为[N]在C点的取值。∵｛FE｝(e)作虚功：(｛d*｝(e))T

｛FE｝(e)；｛F｝作虚功：｛uC*｝T

｛F｝=(｛d*｝(e))T[NC]T

｛F｝∴｛FE｝(e)=[NC]T

｛F｝2、分布面荷载

设有分布面荷载｛f｝=｛fx

fy

fz

｝T作用在单元某一边界面积A上。

取一微元dA上的分布力作为集中力，即d{F}=｛f｝dA

，代入上式得：｛FE｝(e)=∫A[N]Td{F}∴｛FE｝(e)=∫A[N]T

｛f｝dA

3、分布体力

设单元内有一分布体力｛f｝=｛fxfyfz

｝T

将一微元dV上的体力d{F}=｛f｝dV作为一集中力，则有：｛FE｝(e)=∫V[N]Td{F}∴｛FE｝(e)=∫V[N]T

｛f｝dV

§4-6有限元法分析步骤一、结构离散化二、单元分析：

1、确定位移模式｛u｝=[N]｛d｝(e)

2、分析应变和应力｛e｝=[B]｛d｝(e)

｛s｝=[D][B]｛d｝(e)3、计算单刚

[k](e)=∫V

[B]T[D][B]dxdydz

4、计算单元等效结点荷载｛FE｝(e)=∫A[N]T

｛f｝dA(分布面力)｛FE｝(e)=∫V[N]T

｛f｝dV(分布体力)三、整体分析结点平衡方程组

[K]｛D｝=｛F｝=｛FJ｝+｛FE｝

[k](e)

｛FE｝(e)

由直接刚度法集成“对号入座，同号累加”四、引入支承条件

—主1副0法或乘大数法。五、解方程组[K]｛D｝=｛F｝，求｛D｝六、计算单元应力｛s｝=[D][B]｛d｝(e)

｛d｝(e)由｛D｝中取出。对计算结果进行分析整理。[例]平面梁单元的有限元分析

qi(Mi)qj(Mj)

E,I,l

x

vi(FQi)i

v(x)j

vj(FQj)

y

x

图示平面梁单元的结点位移和结点力为：｛d｝(e)=｛vi

qi

vj

qj

｝T

｛F｝(e)=｛FQi

Mi

FQj

Mj｝T1、单元位移

v(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3a1、a2、a3

、a4由边界条件：

x=0，v=vi；

x=0，q=dv/dx=qi；

x=l

，v=vj；

x=l

，q=dv/dx=qj。求得。

a1=via2=qi

a3=

3(－vi

＋vj)/l2

－(2qi＋qj)/l

a4=2(vi