2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案6

2023年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（共5小题,每小题6分，满分30分。）

1、如图，有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边

上,折痕为AE,再将4AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F,则4CEF的面积为（）

A、2B、4C、6D、8

E

答:A

解：由折叠过程知,DE=AD=6,NDAE=NCEF=45°,所以4CEF是等腰直角三角形，且E

C=8—6=2,所以,SACEF=2

2、若M=3_?-8旬+9y2-4x+6y+13（x,y是实数），则M的值一定是（）

A、正数B、负数C、零D、整数

解：由于M=31-Sxy+9y2-4x+6y+13=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2^0

且x-2y,x—2,y+3这三个数不能同时为0,所以M20

3、已知点I是锐角三角形ABC的内心,Ai,Bi，5分别是

点I关于边BC,CA,AB的对称点。若点B在△AiBiG的外接

圆上，则NABC等于（）

A、30°B、45°C、60°D、90°

答:C

解：由于IAi=IBi=ICi=2r（r为aABC的内切圆半径），所以

点I同时是△AIBICI的外接圆的圆心，设IAI与BC的交点为D,则IB=IAi=2ID,

所以NIBD=30°,同理/IBA=30°,于是，ZABC=60°

4、设A=48x(-^—+——+•••+

—；—)则与A最接近的正整数为（)

32-442-41002-4

A、18B、20C、24D、25

答：D

解：对于正整数m

n23,有——=-(-------)，所以A=

n2-44n-2〃+2

48x1s八11111

)=12x(1+-+-+--------------)

42985610223499loo101102

，1111、

—25-12x(---1-----1-----1----)

99100101102

由于12x(---1-----1-----1----)<12x—<—,所以与A最接近的正整数为25。

99100101102992

5、设a、b是正整数,且满足56Wa+bW59,0.9<W<0.91,则^一标等于（）

b

A、171B、177C、180D、182

答：B

解：由题设得0.9b+b<59,0.91b+b>56,所以29<b<32。因此b=30,31。

当b=30时，由0.9b<a<0.91b,得27Va<28,这样的正整数a不存在。

当b=3I时，由0.9b<a<0,91b,得27<a<29,所以a=28。

2

所以/-a=177

二、填空题：（共5小题，每小题6分，满分30分。）

6、在一个圆形时钟的表面,0A表达秒针，OB表达分针，（O为两针的旋转中心），若现在

时间恰好是12点整，则通过秒钟后,ZXOAB的面积第一次达成最大。

答：15竺

59

解：设0A边上的高为h,则hWOB,所以SAOAB=』OAxhW’OAxOB

22

当OA_LOB时，等号成立。此时AOAB的面积最大。

设通过t秒时,OA与OB第一次垂直。又由于秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，

于是（6-0.1）t=90,解得t=15”

59

7、在直角坐标系中，抛物线y+〃比一］m2（m>0）与x轴交于A、B两点，若A、B

112

两点到原点的距离分别为OA、OB,且满足」——-=则m的值等于

OBOA3

答：2

4

解：设方程x2+mx--m2^O的两根分别为王,而且对<超，则有

4

八3

X]+工2=—/%<0，X]X2=——机~<0

11?

所以有修<0,12>°，由--------=一，可知OA>OB,又m>0,所以，抛物线的对称轴

OBOA3

11O

在y轴的左侧，于是OA=k|=-%,,OB=%2,所以由一+—=—得m=2

再x23

8、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是:第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、

方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A、2、3、…J、Q、K的顺序排列.某人把按

上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层,

再把第三张丢掉，把第四张放在最底层,……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这

张牌是_______

答：第二副牌中的方块6

解：根据题意，假如扑克牌的张数为2,22,23,-2n,那么依照上述操作方法，只剩下的

一张牌就是这些牌的最后一张。例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64

张牌。

现在,手中有108张牌，多余108-64=44（张），假如依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那

么此时手中恰好有64张牌，而本来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继

续进行丢、留的操作，最后剩下的就是本来顺序的第88张牌。按照两副扑克牌的花色排列

顺序,88-54-2-26=6,所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块6。

9、已知D、E分别是AABC的边BC、CA上的点，且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连

结AD和BE,它们相交于点P,过点P分别作PQ〃CA,PR〃CB,它们分别与边AB交于点

Q、R,则aPQR的面积与AABC的面积之比为

攵400

1089

解：过点E作EF〃AD,且交边BC于点F,

CFCE255

则上二二匕=』所以FD=」-XCD=?

FDEA55+27

A

QRB

PQBPBD428

又由于PQ〃CA,所以

~EA~~BE~~BF33

4+-

7

丁曰140

于是PQ=——

33

故包处=（型）2=（型）2=幽

由△QPRS/^ACB,

SACABCA331089

10>已知修，82,…，》40都是正整数，且匹+工2+…+%)=58,若X：+X；+…+X：o的最

大值为A,最小值为B,则A+B的值等于

答：494

解:由于把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故…+就)的最小值和最

大值是存在的。

不妨设修这工2.,若X]>1,则X]+X2=(X]-1)+(々+D，且

(X|-1)~+(X2+!),*—X；+X-7+2(%2—X])+2>X[+Xj

所以当匹>1时,可以把看逐步调整到1,这时，寸+年+…+x；o将增大；同样地，可以把

》2,与，…与9逐步调整到1，这时X：+x]+…+将增大。于是，当X],82,…均9均为

1,440=19时,X：+云+…+谥取得最大值,即

A=l2+12+---+12+192=400。

"------Y------'

39个

若存在两个数占，勺，使得勺一天》2(IWiVjW40),则

(Xj+1)2+(Xj-I)2=x?+xj-2(Xj-Xj-1)<x?+x；

这说明在修，与，…，/)中，假如有两个数的差大于1,则把较小的数加1，较大的数减1,

这时,X12+%2T----将减小。

所以，当R+X；+…+4取到最小时，修，超，…，*40中任意两个数的差都不大于1。于

是，当无]=巧=***~超2=1，*23=电4='"="40=2时,X|+X,+•••+取得取小值,即

B=J+『+…+]2+22+22+…+22=94,故A+B=494

_„____V___J\V?

22个18个

三、解答题(共4题,每小题15分，满分60分)

11、某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。假如原队列中增长

120人,就能组成一个正方形队列；假如原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。

问原长方形队列有同学多少人？

解：设原长方形队列有同学8x人,由已知条件知8x+l20和8x-l20均为守全平方数。

8x+120=m2

于是可设4

8x-120=n2

其中m、n均为正整数，且m>n。

①-②得m2-n2=240即(zn+n)(m-n)=240=24x3x5

由①、②可知，〃/、M都是8的倍数，所以m、n均能被4整除。于是m+n,m-n均能被4

整除。所以『+"=6。+〃=20m=32,、[m=16

解得:或，

［加一〃=4m—n=T2〃=28〃=4

所以,8X=，"2-120=322-120=904或8%=帆2—120=16z—120=136。

故原长方形队列有同学136人或904人.

12、已知p,q都是质数，且使得关于x的二次方程

X2—(8p—10q)x+5pq=0

至少有一个正整数根，求所有的质数对(p,q)。

解:由方程两根的和为8p-l0q可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数。由方

程两根的积为5pq，知方程的另一个根也是正整数。

设方程的两个正整数根分别为回，巧(当<*2)，由根与系数的关系得

X|+x2=8p—10q①

$x2=5pq②

由②得，匹，X2有如下几种也许的情况:

X]=i,5,p,q,5p,5q

x2=5pq,pq,5q,5p,q,p

所以X]+x2-5pq+1,pq+5,p+5q,q+5p,代入①

当X1+A：2=5pq+1时,5pq+1=8pT0q,而5pq+l>10p>8p-10q,故此时无解。

当Xi+X2=pq+5时，pq+5=8pT0q,所以(p+10)(q—8)=—85

由于p、q都是质数，只也许H一’所以(p,q)=(7,3)

[p+10=17,85

当X1+々=p+5q时，p+5q=8p-10q,所以7p=15q,不也许。

当*+X2=5p+q时,5p+q=8p—10q,所以3P=1Iq,于是(p,q)=(11,3)

综上所述，满足条件的质数对（p,q）=（7,3）或（11,3）

13、如图,分别以AABC（Z^ABC为锐角三角形）的边AB,BC,CA为斜边向外作等腰

直角三角形DAB,EBC,FAC«求证：(1)AE=DF；(2)AE_LDF。

证明：（1）延长BD至点P,使DP=BD,连结AP、CP。

由于AB是等腰直角三角形,

所以NADB=90°,AD=BD,—=—

BD2

在等腰直角三角形EBC中,

BE_

NBEC=90,BE=CE,

所以翁BE

~BC

由于NPBC=NPBA+NABC=45°+ZABC,

ZABE=ZCBE+ZABC=45°+ZABC

所以NPBC=NABE。于是△ABES/\PBC,

处="=立即AE=^PC

PCBP22

同理，在4ADF和AAPC中，有把=处=交,ND