从圆周角定理的证明体会化归思想在初中数学教学中的渗透

精品文档-下载后可编辑从圆周角定理的证明体会化归思想在初中数学教学中的渗透初中数学人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册有关于圆周角定理证明的内容，它是先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明的。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：在O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC（如图一），求证：∠BAC=∠BOC。

分析：圆周角∠BAC与圆心O的位置关系有三种：（1）圆心O在∠BAC的一条边AB（或AC）上（如图二）；（2）圆心O在∠BAC的内部（如图三）；（3）圆心O在∠BAC的外部（如图四）。

在第一种位置关系中，圆心角∠BOC恰为AOC的外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，均可作出过点A的直径，将问题转化为第一种情况，同样可以证得结论。这充分体现了一种重要的数学思想——化归思想。

数学问题的解决几乎都离不开化归，只是体现的形式有所不同。计算题是利用规定的运算法则进行化归，证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归，应用题利用数学模型化归，因此，离开了化归，数学问题将无法解决。通过一定的转化过程，把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题或这类问题的某种组合，这种思想被称之为化归思想。从化归的途径上来看，大致可以分为下面两种：

一、新知识向已有知识的转化

在初中阶段，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的，也就是将新知识向已有知识进行转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例来进行分析。

解一元二次方程时有以下四种基本解法：

（一）如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负数，则根据平方根的意义将形如（x+m）2=n（n≥0）的方程转化为两个一次方程而得解，此为直接开平方法。

（二）如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。

（三）如果方程一边能分解成两个一次因式之积，另一边为零，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。

（四）如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

纵观以上四种方法，不难发现，方法一是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程，通过配方，转化为开平方求得一般结论，即求根公式。公式法实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。纵观整个初中教材，不难发现除了解方程问题，还有许多知识的转化都属于新知识向已有知识的转化。

二、一般情况向特殊情况的转化

本文开头圆周角定理的证明就是先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归途径，特别是在中考题的最后一题中，往往也有许多时候是需要先解决特殊条件下的问题，然后再通过化归把一般情况下的问题转化为特殊条件下的情形来解决。

三、化归思想方法的教学策略

从上面的分析中，我们不难发现化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？

（一）夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础。教学过程中，可从以下几个方面做起：

1、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。从某种意义上说，中学数学教学实际上是数学模型的教学，建立数学模型是实现问题的规范化和程序化，运用模型的过程即是转化与化归的过程。

2、养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。差生之所以拿到基本题没有思路，其根本原因是其知识结构残缺不全。

3、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。在平时教学中帮助学生完善知识结构，例如做好单元小结，其中画知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图，知识之间的相互联系、依存关系一目了然，为问题的转化提供了准确的方向。

（二）培养化归意识，提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

（三）掌握化归的一般方法，是实现数学化归思想方法教学的基本手段

化归的实质是不断变更问题，因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。在实际运用中，这两个方面又是互相渗透、互相补充的。初中阶段常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法、待定系数法等：其次是映射反演法，具体包括换元法、坐标法等。

（四）深入教材，反复提炼与总结是实现化归思想方法教学的基本途径

在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理、提炼蕴含其中的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及