第6章点集拓扑学练习题参考答案_第1页
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14#使得xe瓦产B.证明：X是T空间，必为T的正规空间，对任意xeX,｛x｝为闭集.41对于BeB且xeB,B就是｛x｝的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在｛x｝的一个开邻域U,使得UuB・U也是x的开邻域，一定存在一个BeB，使得xeBuU,且有BuU，当1ii然就有xeBuB・i6、设X是Hausdorff空间，f:XtX是连续映射•证明A二｛xeXIf(x)二x｝是X的闭子集.证明：对于VxeA，则f(x)主x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设W=f-1(U)nV，则W是x的开邻域，并且xeWuA‘，故A‘是开集，从而A是闭集.7、设X和Y是两个拓扑空间，并且Y是Hausdorff空间，如果f,g:XtY是两个连续映射.证明A二｛xeXIf(x)二g(x)｝是X中的闭集.证明：A二｛xeXIf(x)二g(x)｝是X中的闭集当且仅当X-A是开集.VxeX-A，则f(x)丰g(x).由于Y是Hausdorff空间，则f(x),g(x)在Y存在不相交的开邻域U,V・再由的连续性，可知f-i(U),g-i(V)都是x的开邻域，从而f-i(U)g-i(V)也是x的开邻域.°但是(f-i(U)g-i(V))A=0，即(f-i(U)g-i(V))uX—A，因此X—A是开集.8、设x为Hausdorff空间,f:xtX是一个连续映射，且ff=f・证明：f(x)是X的闭集.证明：对VxgX一f(X),则f(x)丰x,由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域UV，使得UcV二①・又因为f连续，故存在x的邻域U，使得112f(U)uV，令U=UcU，则U是x的邻域，且UuX一f(X)・212事实上，若存在zgU使得zgf(X),即3ygX使得z=f(y)・于是f(z)=ff(y)=f(y)=z,而f(z)gf(U)uV,这样，zgUcVuUcV二①，矛盾•所以UuX一f(X)，即f(X)是闭集.TOC\o"1-5"\h\zo19.设X是一个T空间，xgX。证明：如果X中由异于x的点构成的一个序列i｛x｝收敛于x，则序列｛x｝有一个由两两不同的点构成的一个子序列收敛于x。ii证明：设A=｛x,x,｝，由于｛x｝uA-｛x｝,且｛x｝收敛于x,从而xgd(A).12ii令N]=l,假设取得N],N2,…，Nk満足叫<比<・・・<7,且x^，xN2，…,xNk两两不同，由于X为T1空间，从而｛xN1,xN2，…，xNk｝为闭集，故X—｛xN1,xN2，…，xNJ是x的一个开领域，由xgd(A)且X为T]空间知X—｛xN1,xN2，…，xNJ中含有A的无限多个点，令Nk+]=min｛m|m>

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