《机械工程测试技术》第五章课件

1重点：数字信号处理的初步概念。相关分析及其应用、功率谱分析及其应用。难点：信号数字化中出现的问题：采样、混叠、截断、泄漏和窗函数等概念。24七月2023机械工程测试技术基础2测试的目的是获取反映被测对象状态和特征的信息。实际中有用的信息总是和各种噪声混杂在一起，难于直接识别和利用。只有分离信号和噪声并经过必要处理和分析，消除和修正系统误差之后，才能准确提取信息中有用信息。信号处理目的:（1）分离信号和噪声，提高信噪比。（2）从信号中提取有用的特征信号。（3）修正测试系统的某些误差（如非线性误差，温度影响）。24七月2023机械工程测试技术基础24七月2023机械工程测试技术基础3

信号分析（Signalanalysis）：研究信号的构成和特征值（对信号结构无影响）。信号处理（Signalprocess）：把信号经过必要的变换，以获得所需信息的过程（有可能改变信号本身结构）。二者密切相关，没明确的界限，有时作同义语。信号处理类型模拟信号处理系统：由模拟滤波器、乘法器、微分放大器等实现模拟运算功能的电路组成。作为数字信号处理的前奏。数字信号处理系统：用数学方法处理信号，通常在计算机上实现，也可用专用信号处理机完成。优点：稳定，灵活，快速，高效，应用广，设备轻。41）电压幅值调理，以适宜采样。2）滤波，以提高信噪比。3）隔离信号中的直流分量。4）调制信号的解调。模拟信号经采样、量化并转化为二进制。数字信号处理器或计算机预处理预处理A/D转换x(t)y(t)A/D转换结果显示第一节

数字信号处理的基本步骤

图5-1数字信号处理系统的简图对采集到的数字信号进行分析、计算。24七月2023机械工程测试技术基础24七月2023机械工程测试技术基础5x(t)xq(nTS)量化计算机x(n)编码x(n)n001011100010010011tx(t)xq(nTS)tq2q3q4qTS2TS3TS…测试信号的数字化过程xS(nTS)采样/保持txS(nTS)TS2TS3TS…TsｑHowLong时间离散化幅值离散化24七月2023机械工程测试技术基础6模—数转换（A／D）

指模拟信号经采样、量化并转换为二进制的过程。（1）采样：是将连续信号变为离散时间序列信号的过程。（2）截断：将采样得到的离散时间序列乘以窗函数，使之成为有限时间序列的过程。（3）量化：是把采样信号经过舍入变为有限个有效数字的数的过程。（4）编码：将经过量化的值变为二进制数字的过程。24七月2023机械工程测试技术基础7第二节

信号数字化出现的问题

一概述（以计算一个模拟信号的频谱为例）采样图5-2

原模拟信号及其幅频谱图5-3采样函数及其幅频谱Ts采样间隔1/Ts=fs采样频率图5-4采样后信号及其幅频谱若fm>1/2Tsfm-fm

采样：就是用一个等时距的周期脉冲序列s(t)去乘x(t)，Ts

采样间隔；1/Ts=fs采样频率；24七月2023机械工程测试技术基础8图5-5时窗函数及其幅频谱T：窗宽图5-6有限长离散信号及其幅频谱N=T/Ts

：序列长度截断截断：就是再乘一个窗口函数（矩形），T为窗宽；N=T/Ts

所截取的时间序列数据点数（序列长度）；24七月2023机械工程测试技术基础9离散频率序列△f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T图5-8DFT后的频谱及其时域函数图5-7

频域采样函数及其时域函数N点的离散频率序列离散频率序列：就是离散傅立叶变换；24七月2023机械工程测试技术基础10计算机按照一定算法—离散傅立叶变换(DiscreteFourieTransform)将N点长的离散时间序列x(t)s(t)w(t)变换为N点的离散频率序列，并输出。输出离散频率序列的频率间距△f=1/T。频域采样函数是计算机实际输出是：

(5-1)频域采样形成的频域函数离散化，把其时域函数周期化了。上述处理过程的每一个步骤：采样、截断、DFT计算都会引起失真或误差。24七月2023机械工程测试技术基础11二时域采样、混叠和采样定理长度为

T

的连续信号x(t)，采样得到的离散时间序列为x(n)=x(nTs)=x(n/fs)

n=0,1,2,…N-1(5-2)Ts—采样间隔；N—序列长度，N=T/Ts；fs—采样频率采样间隔太小，其数字序列就长，效率低；采样间隔太大，可能丢掉有用的数据，出现混叠现象。图5-9混叠现象24七月2023机械工程测试技术基础12图5-4采样后信号及其幅频谱f1f2f1混叠必定出现在f=fs/2左右两侧的频率处，称为折叠频率，高于折叠频率的高频成分f1和低于折叠频率的低频成分f2，它们之间的关系是(f1+f2)/2=fs/2。24七月2023机械工程测试技术基础13抗混叠滤波预处理后，若采样频率fs大于带限信号最高频率

fh

的2倍，即(5-5)就不会发生混叠。实际上考虑高于截止频率fc有过渡带，采样频率fs常选用(3~4)fc。hfsTsf21>=图5-10

不产生混叠的条件采样定理，也称香农（Shannon）定理24七月2023机械工程测试技术基础14三量化和量化误差(Quantizationerror)

若采样点的电平落在两相邻量化之间，就必须含入到相近的一个量化电平上。一般认为，量化误差ε(n)为()()()量化电平实际nxnxn-=eΔx/2-Δx/2-Δx/2<ε(n)<Δx/224七月2023机械工程测试技术基础15可认为ε(n)在±Δx/2之间等概率分布。则ïïïïîïïïïíì»=-=Δx.ΔxΔx方差标准差Δx均方值均值Δx概率密度29032012212201设A/D转换器位数为b，允许的动态工作范围D(±5V，0~10V)，相邻量化电平之间差为

(5-6)-Δx/2<ε(n)<Δx/224七月2023机械工程测试技术基础16A/D转换器位数应视信号和量化精度而定，要适当。位数增加后，成本显著增加，转换速率下降。0024v.04096)(104096212»=V设有余弦信号x(t),用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号：y(t)=x(t)w(t)将截断信号谱XT(ω)与原始信号谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱.原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。24七月202317机械工程测试技术基础24七月2023机械工程测试技术基础18图5-5时窗函数及其幅频谱T：窗宽图5-6有限长离散信号及其幅频谱N=T/Ts

：序列长度截断24七月2023机械工程测试技术基础19四截断、泄漏和窗函数截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。实际是取有限长的信号，从数学处理上看，就是乘以时域的有限宽矩形窗函数。x(t)是带限信号，截断后成为无限带宽信号，信号能量在频率轴分布扩展的现象称为泄漏。窗函数优劣评价：1、最大旁瓣峰值与主瓣峰值之比；

2、最大旁瓣10倍频程衰减率；

3、主瓣宽度；常见窗函数：矩形窗；三角窗；汉宁窗；指数窗；24七月2023机械工程测试技术基础20选择窗函数应使频谱的主瓣宽度窄、旁瓣幅度小。窄的主瓣可提高频率的分辨力，小的旁瓣可以减小泄漏。（一）、矩形窗特点：主瓣最窄2/T，旁瓣较高T，泄漏较大。应用：适合于要获得精确主峰的频率，而对幅值精度要求不高的场合。图5-5时窗函数及其幅频谱24七月2023机械工程测试技术基础21（二）、三角窗

特点：主瓣宽度约为矩形窗的2倍，但旁瓣低且不会出现负值。24七月2023机械工程测试技术基础22（三）、汉宁窗（余弦窗)

特点：旁瓣明显降低，有抑制泄漏的作用，但主瓣较宽，致使频率分辨能力较差。应用：在截断随机信号或非整周期截断周期函数时，为了平滑或削弱截取信号的两端，减小泄漏，宜加汉宁窗。24七月2023机械工程测试技术基础23（四）、指数窗

特点：无旁瓣，主瓣很宽，其频率分辨力低。应用：对脉冲响应类信号宜加指数窗，若适当选择衰减函数，可起到抑制噪声的作用。

24七月2023机械工程测试技术基础24常用窗函数24七月2023机械工程测试技术基础25五频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域采样—频率离散化，无疑是将时域信号“改造”成周期信号。相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓。采样就是“摘取”采样点上对应的函数值，如透过栅栏的缝隙看景，不全面，此现象称之为栅栏效应（picket-fenceeffect）。挡住或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以至于整个处理失去意义。24七月2023机械工程测试技术基础26六频率分辨率、整周期截断

从DFT的原理看，谱线落在某频率f0处的条件是：考虑到△f=1/T，简谐信号的周期T0=1/f0，因此即，只有截取的信号长度T正好等于信号周期的整数倍时，才能使分析谱线落在简谐信号的频率上。整数=Dff0整数=T0T

频率采样间隔△f也是频率分辨率的指标。此间隔越小，频率分辨率越高。利用DFT变换时：24七月2023机械工程测试技术基础27离散傅立叶变换的图解推演a)模拟信号及其傅立叶变换b)采样信号及其傅立叶变换c)离散信号及其傅立叶变换d)矩形窗函数及其傅立叶变换e)矩形窗函数采样信号及其傅立叶变换f)频域采样函数及其傅立叶逆变换g)离散信号傅立叶变换离散傅立叶变换步骤：1）时域采样2）时域截断3）频域采样时域采样引起频域周期化频域采样引起时域周期化当窗函数的宽度T→∞时，sinc函数就变成δ函数。由于T不够宽带来误差从而产生波纹和泄漏信号时域、频域的离散化导致时域、频域的周期化24七月2023机械工程测试技术基础28待变换时域信号时域采样：Ts

采样间隔；1/Ts=fs采样频率；T为窗宽；N=T/Ts

所截取的时间序列数据点数（序列长度）△f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T输出离散频率序列的频率间距△f=1/T折叠频率，高于折叠频率的高频成分f1和低于折叠频率的低频成分f2，它们之间的关系是(f1+f2)/2=fs/2hfsTsf21>=24七月2023机械工程测试技术基础29第三节

随机信号

一概述随机信号—不能用确定数学公式描述，不能预测其未来瞬时值，任何一次观察结果不能代表全部，其值变动服从统计规律。样本函数—对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记为xi(t)。样本记录—样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。（1-61）

随机过程—全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记为{x(t)}，即

将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均称为（ti时刻的）集合平均。（随机过程的平均）按单个样本的时间历程进行平均的计算称为（该样本的）时间平均。24七月2023机械工程测试技术基础30{x(t)}={x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t),…}图5-1

随机过程与样本函数任意时刻ti的统计特征参数都相同的随机过程。在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程集合平均统计特征24七月2023机械工程测试技术基础31随机过程分类:

（1）平稳随机过程—其统计特征参数不随时间而变化的随机过程。（2）非平稳随机过程—与上述相反则为非平稳随机过程。

（3）各态历经随机过程—在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经随机过程。

24七月2023机械工程测试技术基础32

工程中很多随机信号具有各态历经性，即使不严格遵守各态历经性，也按各态历经随机过程处理。也就是说在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程。以时间平均来估计集合平均。在测试中确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了信号的随机性部分，实际中测试信号总是受到环境噪声污染的，故研究随机信号具有普遍意义。

24七月2023机械工程测试技术基础33二．随机信号的主要特征参数各态历经随机信号主要特征参数：（1）均值、方差和均方值（2）概率密度函数

（3）自相关函数（4）功率谱密度函数（一）均值μx、方差σ2x和均方值ψ2x

1．均值μx

（1-62）T—观测时间;x(t)—样本函数;均值μx表示信号的常值分量2．方差σ2x

（1-63）描述随机信号的波动分量，它是

x(t)偏离均值

μx的平方的均值，方差的正平方根叫标准偏差

σx。

24七月2023机械工程测试技术基础343．均方值ψ2x

描述随机信号的强度，它是x(t)平方的均值，即

（1-64）均方值的正平方根称为均方根值χrms4．均值μx、方差σ2x和均方值ψ2x的关系

（1-65）（当μx=0时，）5．集合平均，

t1时刻的均值μx,t1和均方值ψ2x,t1为（1-66）

（1-67）M—样本记录总数;

i—样本记录序号;

t1—观察时刻24七月2023机械工程测试技术基础35（二）概率密度函数概率密度函数—表示信号幅值落在指定区间内的概率。见图1-22所示，图1-22

概率密度函数的计算24七月2023机械工程测试技术基础36x(t)值落在(x,x+Δx)区间内的时间为

Tx

（1-68）当样本函数的记录时间T→∞时，Tx/T的比值就是x(t)的幅值落在(x,x+Δx)区间内的概率，即（1-69）幅值概率密度函数p(x)为（1-70）概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，不同的随机信号有不同的概率密度图形。图1-23是四种常见的随机信号（假设μx=0）的概率密度函数图形。当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可用统计概率分布图来估计概率密度函数。24七月2023机械工程测试技术基础37图1-23四种随机信号a)正弦函数（初始相角为随机量）b)正弦函数加随机信号c)窄带随机信号d)宽带随机信号通过概率密度函数的图形特征可以定性的判断原信号中是否含有周期成分，若原信号中周期成分越多，则p(x)-x曲线的“马鞍形”现象就越明显。24七月2023机械工程测试技术基础38第四节

相关分析及应用

通常两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者之间存在着函数关系。而当两个随机变量之间具有某种关系，随着一个变量数值的确定

，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。

一．两个随机变量的相关系数图5-14表示由两个随机变量x和y组成的数据点分布情况。0xy0xya)x与y无关b)线性关系图5-14两随机变量的相关性24七月2023机械工程测试技术基础39变量x和y之间的相关程度常用相关系数

ρxy

表示：（5-16）

离散:连续:

式中E—数学期望μx—随机变量x的均值μx=E[x]μy—随机变量y的均值μy=E[y]σx—随机变量x的标准差σ2x=E[(x–μx)2]σy—随机变量y的标准差σ2y=E[(y–μy)2]òT¥®=0)(1lim][dttxTxET各态历经随机过程用柯西—许瓦兹不等式

E[(x-μx)(y-μy)]2≦E[(x-μx)

2]

E[(y-μy)2]（5-17）故知:┃ρxy┃≦124七月2023机械工程测试技术基础40xyxyxyxy当数据点分布越接近于一条直线时，ρxy

的绝对值越接近1，x和y的线性相关性程度越好，将这样的数据回归成直线才越有意义。ρxy的正付号表示一变量随另一变量增加而增加或减少。当ρxy接近零时，则认为x和y之间完全无关。但仍可能存在某种非线性的相关关系甚至函数关系。24七月2023机械工程测试技术基础41在任何t=ti

时刻，从两个样本上分别得到两个量值x(ti)和x(ti+τ)，而且x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和标准差。假如把

简写成

，那么有

假如x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录。x(t+τ)是x(t)时移τ后的样本记录，见图5-15。二．信号的自相关函数0tx(t)0tx(t+τ)τtiti图5-15自相关24七月2023机械工程测试技术基础42将分子展开并注意到

从而

（5-18）

定义各态历经随机信号自相关函数为

（5-19）

则

（5-20）

24七月2023机械工程测试技术基础43显然，和均随τ而变化，且两者成线性关系。如果随机过程均值，则自相关函数性质：（1）由式（5-20）有（5-21）因为，所以（5-22）（2）自相关函数在τ=0时为最大值，并等于该随机信号的均方值

ψ2x

（5-23）

24七月2023机械工程测试技术基础44（3）当τ足够大或τ→∞时，x(t)和x(t+τ)不存在内在联系，彼此无关。

（4）自相关函数为偶函数，即（5-24）

（5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。

2)(xxmtRt®¥®24七月2023机械工程测试技术基础45τRx(τ)0μ2xμ2x+σ2xμ2x-σ2x图5-16自相关函数的性质24七月2023机械工程测试技术基础46例5-1求正弦函数

x(t)=x0sin(ωt+φ)的自相关函数。初相角φ为一随机变量。式中为正弦函数周期令

则

，于是

解：此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其平均值可用一个周期内平均值表示。该函数的自相关函数为:24七月2023机械工程测试技术基础47由

可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在τ=0时具有最大值，它不随τ的增加而衰减至零。保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了相位信息。

上式为24七月2023机械工程测试技术基础48（1）由于μx=0；

（2）

（4）

（5）

丢失相位信息。

性质讨论：24七月2023机械工程测试技术基础490tRx(τ)0tx(t)0tRx(τ)0tx(t)0tx(t)0tRx(τ)0tx(t)0tRx(τ)图5-17四种典型信号的自相关函数正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声信号中含有周期成分，其自相关函数在τ很大时都不会衰减，并具有明显周期性。不包含周期成分，当τ稍大时Rx(τ)→0。窄带随机噪声的Rx

(τ)有较慢衰减特性。宽带随机噪声的Rx(τ)很快衰减为零。自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段24七月2023机械工程测试技术基础50例：自相关分析测量转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数提取周期性转速成分自相关分析的主要应用：用来检测混淆在干扰信号中的确定性周期信号成分。24七月2023机械工程测试技术基础51三．信号的互相关函数

两个各态历经随机过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数Rxy(τ)定义为（5-25）

由式（5-16）

24七月2023机械工程测试技术基础52当时移τ足够大或τ→∞时，x(t)和

y(t)互不相关，

Rxy(τ)最大变动量范围在之间，即（5-26）

如果x(t)和y(t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成分，那么，即使τ→∞，互相关函数也不收敛并出现该频率的周期成分。如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。结论：

同频相关，异频无关。24七月2023机械工程测试技术基础53例

5-2设有两个周期信号

式中：θ--

x(t)相对t=0的相位角

j--x(t)与y(t)的相位差试求其互相关函数

Rxy(τ)

解：因为信号是周期信号,可用一个周期T0代替整个历程T24七月2023机械工程测试技术基础54令

由此可见，两个均值为零，且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率ω，对应的幅值

x0和y0以及相位差j的信息。

24七月2023机械工程测试技术基础55例5-3若两个周期

信号圆频率不等,

试求其互相关函数

根据正（余）弦函数的正交性，可知

可见，两个非同频周期信号是不相关的。

解：24七月2023机械工程测试技术基础56第五章作业教科书175页，思考题与习题5-15-25-3下次课交作业24七月2023机械工程测试技术基础57互相关函数性质：（1）互相关函数不是偶函数

证明：

令令

可见

24七月2023机械工程测试技术基础58τRxy(τ)0μxμyμxμy

+σxσyμxμy

-σxσy图5-19互相关函数的性质τ0

（2）图中表明τ=τ0时呈现最大值，时移τ0反映

x(t)和y(t)之间的滞后时间。互相关函数的性质，使它在工程应用中有重要价值。它是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段。24七月2023机械工程测试技术基础59相关滤波：例如在线性系统中测振。根据频率保持性，只有和激振频率相同的成分才能是由激振而引起的响应，而其它成分是干扰。因此将激振信号与所测得的响应信号进行互相关（τ=0不用时移），就可得到由激振引起的响应的幅值和相位差，消除了噪声干扰的影响

。这种处理方法叫相关滤波。互相关技术广泛应用于各种测试中。24七月2023机械工程测试技术基础60