中考复习-二次函数课件

二次函数命题解读考纲解读通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图象,通过图象理解二次函数的性质;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,解决实际问题;会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解;掌握方程、不等式与函数的联系.命题解读考纲解读命题解读考纲解读备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点1

二次函数的概念及表达式1.二次函数形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的函数,叫做y关于x的二次函数.二次函数中的自变量的取值范围是全体实数,但需注意如果二次函数表示的是实际问题,还需使实际问题有意义.备课资料考点扫描考点1考点2考点32.二次函数的表达式①一般式:

y=ax2+bx+c(a≠0)

;

②顶点式:y=a(x+h)2+k(a≠0),其图象的顶点坐标是

(-h,k)

;

③交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中的x1,x2是抛物线与x轴交点的

横坐标

.

在用待定系数法求二次函数的表达式时,可根据所给的已知条件,灵活设定表达式,以使计算简便.备课资料考点扫描考点1考点2考点3典例1

(2016·山东淄博)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.【解析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式.(1)利用抛物线与x轴有1个交点得到Δ=4a2-4a=0,然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线的解析式;(2)利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数,则可以利用抛物线解析式确定B点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式.备课资料考点扫描考点1考点2考点3【答案】(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,∴Δ=4a2-4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1.∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1.(2)∵y=x2+2x+1=(x+1)2,∴顶点A的坐标为(-1,0).∵点C是线段AB的中点,即点A与点B关于C点对称,∴B点的横坐标为1.当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则点B的坐标为(1,4).设直线AB的解析式为y=kx+b,∴直线AB的解析式为y=2x+2.备课资料考点扫描考点1考点2考点3【变式训练】已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-2,-1),B(0,7)两点.(1)求该抛物线的解析式及对称轴;(2)当x为何值时,y>0?【答案】(1)把A(-2,-1),B(0,7)两点的坐标代入y=-x2+bx+c,得所以该抛物线的解析式为y=-x2+2x+7.又因为y=-x2+2x+7=-(x-1)2+8,所以对称轴为直线x=1.(2)当函数值y=0时,备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点2

二次函数的图象和性质1.二次函数的图象和性质

备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点32.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数由b2-4ac(Δ)决定,当

b2-4ac>0

时,y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;

当

b2-4ac=0

时,y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点;

当

b2-4ac<0

时,y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点.

3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数的几何意义①a决定了抛物线的

开口方向

和

开口大小

;

备课资料考点扫描考点1考点2考点34.抛物线的平移实质是顶点的平移,故可以先把二次函数用配方法化为y=a,再研究它的平移;即先把所给的二次函数的解析式写成顶点式,弄清其顶点,再弄清移动后的抛物线的顶点,然后写出移动后的抛物线的顶点式即可.备课资料考点扫描考点1考点2考点3典例2

(2016·广州)对于二次函数y=-x2+x-4,下列说法正确的是

(

)A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值-3C.图象的顶点坐标为(-2,-7)D.图象与x轴有两个交点

备课资料考点扫描考点1考点2考点3【答案】

B备课资料考点扫描考点1考点2考点3【变式训练】(2016·长沙)已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;③a-b+c≥0;④

的最小值为3.其中,正确结论的个数为

(D)A.1个 B.2个C.3个 D.4个

备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点3

二次函数的应用1.二次函数与一元二次方程和不等式的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当函数值

y=0

时,变为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解,就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的

横坐标

;y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的x轴上方的点都满足ax2+bx+c(a≠0)>0,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的x轴

下方

的点都满足ax2+bx+c<0(a≠0).

2.用二次函数的图象求一元二次方程的近似解根据二次函数与一元二次方程的关系,我们可以作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,它与x轴交点的

横坐标

就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.

备课资料考点扫描考点1考点2考点3用二次函数图象求一元二次方程的近似解,是从直观的“形”的角度,研究抽象的“数”的问题,是数形结合思想的重要体现;因为这样不仅麻烦,而且求的只能是近似解,所以更多是反过来应用,即通过解一元二次方程求二次函数与x轴交点的坐标.3.用二次函数解决实际问题(1)在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题,我们要善于通过分析实际问题中的数量关系,尤其是两个变量之间的函数关系,建立二次函数的模型,从而用二次函数解决有关的实际问题.(2)建立起实际问题中的二次函数关系后,要注意根据实际问题确定其自变量的取值范围.备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点3(2)由(1)可知,BD=8,令x=0得y=3,∴A(0,3),C(8,3).由题意可设抛物线F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8.将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3.∴抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8.当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1,∴MN的长度为2.1米.(3)∵MN=CD=3,∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点3【变式训练】如图,篮球运动员小明站在距端线4米的O处长传球,球从离地面1米的A处扔出,划出一条漂亮的抛物线,篮球在距O点6米的B处达到最高点,最高点C距地面4米,篮球在D处落地后,又一次弹起,据试验,篮球在场地上第二次弹起后划出的抛物线与第一次划出的抛物线形状相同,但最大高度减少到原来最大高度的一半.以小明站立处O为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.(1)求抛物线ACD的函数表达式;备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描考点1考点2考点3备课资料考点扫描1.构造二次函数模型解决实际问题典例1

(2016·湖北鄂州)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.(2)设宾馆每天的利润为W元,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少?(3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息:①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人.问:这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?备课资料考点扫描【解析】(1)通过总房间50个可直接写出房间数量y与x的函数关系式;(2)设出每间房的定价,从而利用租房利润减去维护费,可得利润函数,利用配方法,即可求得结论;(3)由①当日所获利润不低于5000元,结合(2)知-10(x-20)2+9000≥5000;由②可知20(-x+50)≤600;由③每个房间刚好住满2人可知:y个房间住满2y人,即2y=2(-x+50),即可得出结果.【答案】(1)y=-x+50.(2)设该宾馆房间的定价为(120+10x)元(x为整数),那么宾馆内有(50-x)个房间被游客居住,依题意,得W=(-x+50)(120+10x-20)=(-x+50)(10x+100)=-10(x-20)2+9000.所以当x=20,即每间房价定价为10×20+120=320元时,每天利润最大,最大利润为9000元.备课资料考点扫描解得20≤x≤40.当x=40时,这天宾馆入住的游客人数最少有2y=2(-x+50)=2(-40+50)=20(人).备课资料考点扫描2.二次函数与几何图形的综合典例2

(2016·新疆建设兵团)如图,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=-x+1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式.(2)证明:△DBO∽△EBC.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.备课资料考点扫描【解析】本题综合考查二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、等腰三角形的存在性等知识,解题的关键是熟悉基本图形,利用数形结合和分类讨论思想进行解答.(1)由抛物线解析式可求得点C的坐标,从而求出OC的长度,则可求出OA和OB,从而求得A,B两点坐标,代入函数关系式求得a,b的值即可求得解析式;(2)考虑到△DBO为直角三角形,故可先求出∠BCE=90°,然后分别求出BC,CE的长度,利用两边对应成比例并且夹角相等来证明;(3)分三种情况讨论,分别为PC=PB,PC=BC,PB=BC,运用两点距离公式进行解答.【答案】(1)由抛物线y=ax2+bx-3(a≠0),令x=0,得y=-3.∴C(0,-3),∴OC=3.∵BO=OC=3AO,∴OB=3,AO=1.∴A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3(a≠0),∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.备课资料考点扫描备课资料考点扫描设点P的坐标为(1,m),又B(3,0),C(0,-3),分三种情况讨论:①若PC=PB,则PC2=PB2,即(3-1)2+m2=12+(m+3)2,解得m=-1.∴P1(1,-1).备课资料考点扫描命题点2命题点1命题点3命题点1:二次函数的图象及性质(必考)1.(2016·安徽第22题)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.命题点2命题点1命题点3则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x.∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.命题点2命题点1命题点32.(2014·安徽第22题)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.解:(1)本题是开放题,答案不唯一,符合题意即可,如:y1=2x2,y2=x2.命题点2命题点1命题点3(2)∵函数y1的图象经过点A(1,1),则2-4m+2m2+1=1,解得m=1,∴y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,∴可设y1+y2=k(x-1)2+1(k>0),则y2=k(x-1)2+1-y1=(k-2)(x-1)2.由题可知函数y2的图象经过点(0,5),则(k-2)×12=5,∴k-2=5,∴y2=5(x-1)2=5x2-10x+5.当0≤x≤3时,根据函数y2的图象可知,y2的最大值为5×(3-1)2=20.命题点2命题点1命题点3命题点2:确定二次函数图象的位置(