清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三课件-002

第二十三讲常微分方程（三）二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程逐次积分一、

高阶可降阶微分方程积分一次再积分一次2023/7/242变量替换原方程变形成为一阶2023/7/243特点是：不显含y[解]积分,得通解2023/7/244[解2]注意到方程的特殊性积分,得通解2023/7/245一阶变量替换原方程变形成为2023/7/246特点是：不显含x[解]方程化为分离变量积分2023/7/247分离变量解得2023/7/248列方程的常用方法(1)利用物理定律列方程(2)利用导数的几何意义列方程(3)利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例2023/7/249[解]

取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.由牛顿冷却定律知初始条件2023/7/2410另外还有一个条件:可用来确定比例常数k分离变量，得两边积分，得代入上式，得代入，得2023/7/2411将T=30代入，解出即，还需再经过物体的温度即可降为2023/7/2412[例2]已知曲线上任一点P(x,y)处的切线在

x轴上的截距等于点P的横坐标的一半,

且过定点(2,1),求此曲线的方程.[解]2023/7/2413由题意得

又已知曲线过点(2,1),于是得到定解问题分离变量求得通解2023/7/2414[例3]试设计一反光镜,使它能将点光源发出的光反射成为平行光[解]点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光由光的反射定律2023/7/2415于是有根据导数的几何意义得到微分方程一阶齐次变形为2023/7/2416分离变量代入(1)式，得2023/7/2417积分，得取指数2023/7/24182023/7/2419[解]列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量=流进盐量–流出盐量若溶液的浓度不变，则流出盐量=浓度流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?考虑微小时间间隔dt内的变化情况设时刻t时溶液的含盐量为2023/7/2420

当时间从t变到t+dt时，容器内的含盐量由Q变到Q+dQ，因而容器内含盐改变量为dQ从容器内流出的溶液量为2dt

在时间dt内盐水的浓度近似看作不变，看作是t时刻的盐水浓度所以流出的盐量为2023/7/2421于是有初始条件分离变量通解特解282023/7/2422[解]此问题涉及水面高度随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度2023/7/2423

考虑任意时刻t，任取时间区间[t,t+dt]在dt时间内，水面高度的改变为dh

取时间t为自变量，水面高度h(t)为未知函数，并取坐标系如图漏斗内水的体积改变量为2023/7/2424下落水的体积=流出水的体积于是列出微分方程初始条件

另方面,时间dt

内从小孔流出水的体积等于以S为底，以(vdt)为高的小圆柱体积2023/7/2425经整理得解得当水流完时，h=02023/7/2426正交轨线问题2023/7/2427思路：2023/7/24282023/7/2429这就是正交曲线族！通解2023/7/2430392023/7/2431[解]2023/7/24322023/7/2433写在最后成功的基础在于好的学习习惯Thefoundationofsuccessliesingoodhabi