2021-2022学年福建省福州市长乐第七中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省福州市长乐第七中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．2.复数=A．2

B．-2

C．-2

D．2参考答案：C略3.已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）参考答案：考点： 函数单调性的性质；其他不等式的解法．分析： 由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．解答： 解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C点评： 此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．4.函数（其中＞0，＜）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（

）A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：C5.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M，若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则=(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：D6.已知△ABC中，tanA＝－，则cosA＝()A.

B.

C．－

D．－参考答案：D7.关于函数，有下列命题:①其表达式可写成；

②直线是图象的一条对称轴；③的图象可由的图象向右平移个单位得到；

④存在，使恒成立．

其中，真命题的序号是（

）A．②③

B．①②

C．②④

D．③④参考答案：C对于①，，故错误．对于②，，故正确．对于③，，故错误．对于④，，，故正确．8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.3 B.—6 C.10 D.参考答案：C第一次循环为：，第二次循环为：，第三次循环为：，第四次循环为：，第五次循环条件不成立，输出,答案选C.9.设函数,则在处的切线斜率为（

）A.0

B.-1

C.3

D.-6参考答案：D10.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D

【知识点】复数的代数表示法及其几何意义L4解析：∵==1﹣i，∴数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．【思路点拨】利用复数的代数运算将转化为1﹣i，即可判断它在复平面内的位置．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当x≠1且x≠0时，数列{nxn﹣1}的前n项和Sn=1+2x+3x2+…nxn﹣1（n∈N*）可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x+x2+x3+…+xn（n∈N*）按等比数列的求和公式，先求得x+x2+x3+…+xn=，两边都是关于x的函数，两边同时求导，（x+x2+x3+…+xn）′=（）′，从而得到：Sn=1+2x+3x2+…+nxn﹣1=，按照同样的方法，请从二项展开式（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn出发，可以求得，Sn=1×2×C+2×3×C+3×4×C+…+n×（n+1）×C（n≥4）的和为（请填写最简结果）参考答案：n（n+3）2n﹣2【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据类比推理的思想，由二项式的展开式的两边同乘以x，再分别求两次导，再令x=1时，即可求出答案．【解答】解：∵（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn，∴x（1+x）n=x+x2+Cx3+…+Cxn+1，两边求导可得（1+x）n+nx（1+x）n﹣1=1+2x+3Cx2+4Cn3x3+…+（n+1）Cxn，两边继续求导可得n（1+x）n﹣1+n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2=1×2+2×3Cx+3×4Cn3x2+…+n（n+1）Cxn﹣1，令x=1，可得n?2n﹣1+n?2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2=1×2+2×3C+3×4Cn3+…+n（n+1）C=Sn，∴Sn=n（n+3）2n﹣2．故答案为：n（n+3）2n﹣2．【点评】本题考查了类比推理的问题，掌握求导的法则，关键是两边同乘以x，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题12.在中，若,，，则=

参考答案：由余弦定理可得，即，整理得，解得。13.已知命题：“，，使”.若命题为真命题，则实数的取值范围是

．参考答案：m≤－2

14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是

．参考答案：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：

15.若复数满足其中为虚数单位，则________________．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【试题分析】因为，所以，所以，故答案为.16.已知抛物线，焦点为F，过F点的直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为

．参考答案：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣），（k≠0）．联立，化为k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．x1x2=．∴|AF|+2|BF|=x1++2（x2+）=x1+2x2+≥2+=，当且仅当x1=2x2=时取等号．当直线AB的斜率不存在时，|AF|+2|BF|=3p=3．综上可得：|AF|+2|BF|的最小值为：．故答案为：．

17.，计算，推测当时，有_____________．参考答案：因为，所以当时，有三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上.（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设,表示数列的前项和,若恒成立，求及实数的取值范围.参考答案：解：（1）因为点在曲线上，所以.分别取和，得到，由解得，.…………………4分（2）由得.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列所以，

即…………6分由公式，得所以…………………………8分（3）因为，所以，……………………10分显然是关于的增函数，所以有最小值，…………………12分由于恒成立，所以，…………………13分于是的取值范围为.……………14分

略19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；（Ⅱ）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．参考答案：（Ⅰ）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．

①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，∴AD⊥BB1． ②由①，②得AD⊥平面BB1C1C．由点E在棱BB1上运动，得C1E?平面BB1C1C，∴AD⊥C1E．………………………6分（Ⅱ）∵AC∥A1C1，∴∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°．∵∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E．故C1E＝＝2，又B1C1＝＝2，∴B1E＝＝2．从而V三棱锥C1-A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝．…13分20.在△ABC中，，（1）若.求；（2）若△ABC的面积为1，求BC.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及大边对大角可得解；（2）由面积公式可得，再由余弦定理求解即可.【详解】（1）由题设知，，

所以.

.由大边对大角，所以．（2），容易得出，在△ABC中，由余弦定理得所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理解三角形，属于基础题.21.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．

患心肺疾病不患心肺疾病合计男

5

女10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下

患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（2）因为K2=，即K2==，所以K2≈8.333又P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则ξ的分布列：ξ0123P则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49【点评】本题考查