冀教版八年级数学上册 第十六章 总复习 练习题教学课件PPT初二公开课

第十六章轴对称和中心对称16.1轴对称数学·冀教版·八年级上册1.[2021河北唐山路北区期末]下列手机屏幕解锁图案是轴对称图形的是(

)知识点1轴对称图形答案1.C

【解析】

平面内一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形.故选C.2.[2020江苏扬州中考]“致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称图形的是(

)知识点1轴对称图形答案2.C

【解析】

在C选项的图形中,无法找到一条直线,使得沿着这条直线对折之后,直线两旁的部分完全重合,故不是轴对称图形.故选C.3.原创题下列图形中,有两条对称轴的是(

)知识点1轴对称图形答案3.D

【解析】

选项A中的图形不是轴对称图形,选项B,C,D中的图形分别有1条、3条、2条对称轴.故选D.4.图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置,使组成的图形是轴对称图形,这个位置是(

)

A.① B.② C.③ D.④知识点1轴对称图形答案4.C5.画出下列图形的对称轴.知识点1轴对称图形答案5.【解析】

所作对称轴如下图所示:

解答此题的主要依据是轴对称图形的定义,对于一个轴对称图形来讲,对称轴的条数可以是一条也可以是多条.名师点睛6.观察下图中各组图形,其中成轴对称的为

.(只填写序号)

知识点2成轴对称答案6.①②④

【解析】

在折叠过程中,③中的伞把不能重合,故不对称,因此成轴对称的图形有①②④.知识点2成轴对称答案归纳总结轴对称图形和成轴对称图形的区别与联系

轴对称图形成轴对称图形图形

区别对象不同.一个图形.两个图形.意义不同.一个形状特殊的图形.两个图形之间的特殊位置关系.对应点的位置不同.对应点在同一个图形上.对应点分别在两个图形上.对称轴位置不同.对称轴一定经过这个图形的内部.对称轴可能在两个图形的外部,也可能经过两个图形的内部,或经过两个图形的公共边(点).对称轴的条数不同.有一条或多条.只有一条.联系①都能沿某条直线对折后完全重合;②若把成轴对称的两个图形看成一个整体,则它是一个轴对称图形;若把轴对称图形沿对称轴分成两部分,则这两部分各自组成的图形关于这条直线成轴对称.7.以虚线为对称轴,画出下列图形的轴对称图形.知识点2成轴对称答案7.【解析】

画图如下:8.如图,将长方形ABCD沿对角线BD折叠,使点C恰好落在C'的位置,若∠DBC=15°,则∠ABC'=(

)A.30° B.45° C.60° D.75°知识点3成轴对称的性质答案8.C

【解析】

由题意知∠DBC'=∠DBC=15°,∵四边形ABCD是长方形,∴∠ABC=90°,∴∠ABC'=∠ABC-∠DBC'-∠DBC=90°-15°-15°=60°.故选C.9.[2021河北邢台月考]如图,△ABC和△ADE关于直线l对称,给出下列结论:①△ABC≌△ADE;②l垂直平分DB;③∠C=∠E;④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上.其中错误的有(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.3个知识点3成轴对称的性质答案9.A

【解析】

如果两个图形关于某条直线成轴对称,那么这两个图形一定全等,且对应角相等,故①③正确;对应点所连线段被对称轴垂直平分,故②正确;BC与DE是对应线段,其所在直线的交点一定在对称轴上,故④正确.所以错误的有0个.故选A.10.[2021陕西西安碑林区期末]如图,直线AD和CE是△ABC的两条对称轴,AD和CE相交于点O,OD与OE有什么数量关系?请说明理由.知识点3成轴对称的性质答案

1.给出下列图形:①任意两个大小相等的圆;②正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形;③长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形;④两个全等的三角形.其中,一定成轴对称的图形有(

)A.1组

B.2组

C.3组

D.4组答案1.B

【解析】

画出图形或根据实物亲手操作、验证,发现①②中的图形一定成轴对称.故选B.2.如图,将矩形纸片先沿AB向右对折,然后将对折后的纸片沿CD向下对折,最后剪下一个小三角形,将纸片打开,则打开后的图形是(

)答案2.A3.原创题将一条直的等宽纸带,按如图所示的方式折叠,则∠α的度数为(

)A.80° B.65° C.60° D.45°答案

4.如图,在3×2的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使被涂黑的部分构成一个轴对称图形的涂法有(

)A.1种

B.2种

C.3种

D.4种答案4.C

【解析】

如图所示,将图中标号分别为1,2,3的小正方形任意涂黑一个,能使整个图案(涂黑部分)构成一个轴对称图形.故选C.5.[2021天津和平区期中]如图,在∠MON内有一点P,点P关于OM的对称点是点G,关于ON的对称点是点H,连接GH分别交OM,ON于点A,B.若GH的长为12,则△PAB的周长为(

)A.12

B.13

C.14

D.15答案5.A

【解析】

∵点P关于OM的对称点是点G,关于ON的对称点是点H,∴PA=AG,PB=BH,∴PA+AB+PB=AG+AB+BH=GH=12,即△PAB的周长为12.故选A.6.如图是汽车牌照在水中的倒影,则该汽车牌照上的数字是

.

答案6.216387.[2021宁夏石嘴山大武口区期末]如图,P是∠AOB外一点,M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为

.

答案7.4.5cm

【解析】

由轴对称的性质,可知MQ=PM=2.5cm,PN=RN=3cm,所以QN=MN-MQ=4-2.5=1.5(cm),所以QR=QN+NR=1.5+3=4.5(cm).8.如图,已知AD所在直线是△ABC的对称轴,点E,F是AD上的两点,若BC=4,AD=3,则图中阴影部分的面积是

.

答案

9.[2021河北张家口崇礼区月考]如图,△AOC和△AOB关于直线AO对称,△DOB和△AOB关于直线BO对称,OC与BD交于点E,若∠C=15°,∠D=25°,则∠BEC的度数为

.

答案9.95°

【解析】

∵△AOC和△AOB关于直线AO对称,△DOB和△AOB关于直线BO对称,∴∠C=∠ABO=∠DBO=15°,∠D=∠BAO=∠OAC=25°,∴∠CAB=50°,由外角的性质易知∠BOC=∠BAC+∠C+∠ABO=80°,∴∠BEC=∠BOC+∠OBD=80°+15°=95°.10.如图,光线照射到平面镜Ⅱ上,然后在平面镜Ⅰ,Ⅱ之间来回反射,已知∠α=50°,∠θ=35°,求∠β的度数.答案10.【解析】

如图,分别过入射点作平面镜的垂线,根据反射角等于入射角可知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∴∠α+∠1=∠2+∠7.∵∠α=50°,∴∠7=50°,∠1=∠2=40°.∵∠θ=35°,∴∠5=∠6=55°,∴∠7+∠3+∠4=∠5+∠6+∠θ=55°+55°+35°=145°,∴∠3+∠4=95°,∴∠3=∠4=47.5°,∴∠β=90°-47.5°=42.5°.11.如图,直线l1,l2交于点O,点P关于l1,l2的对称点分别为P1,P2.(1)若l1,l2相交所成的锐角∠AOB=60°,则∠P1OP2=

;

(2)若OP=3,P1P2=5,求△P1OP2的周长.答案11.【解析】

(1)120°∵点P关于l1,l2的对称点分别为P1,P2,∴∠P1OA=∠AOP,∠P2OB=∠POB,∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB=2×60°=120°.(2)∵点P关于l1,l2的对称点分别为P1,P2,∴OP1=OP=OP2=3.∵P1P2=5,∴△P1OP2的周长=OP1+OP2+P1P2=3+3+5=11.课时1线段垂直平分线的性质定理16.2线段的垂直平分线1.如图,已知直线l垂直平分线段AB,P是l上一点,若PA=1,则PB(

)A.等于1 B.小于1C.大于1 D.不能确定知识点线段垂直平分线的性质定理答案1.A

【解析】

∵P是线段AB垂直平分线上的一点,∴PB=PA=1.故选A.2.[2021河北邯郸丛台区期末]如图,点A,C在BD的垂直平分线上,若AB=3cm,CD=7cm,则四边形ABCD的周长是(

)A.22cm

B.20cm

C.18cm

D.16cm知识点线段垂直平分线的性质定理答案2.B

【解析】

∵点A,C在BD的垂直平分线上,∴AD=AB=3cm,CB=CD=7cm,∴四边形ABCD的周长为20cm.故选B.3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,若DE为AB的垂直平分线,△ACD的周长为50cm,则AC+BC=(

)A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm知识点线段垂直平分线的性质定理答案3.C

【解析】

∵DE为AB的垂直平分线,∴AD=BD,又∵△ACD的周长为50cm,∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm.故选C.4.如图,在△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BCE的周长为

.

知识点线段垂直平分线的性质定理答案4.13

【解析】

∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13.

利用线段垂直平分线的性质定理把相等的线段进行等价代换是线段转化的一种重要手段.名师点睛5.如图,在△ABC中,∠C=35°,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD=

度.

知识点线段垂直平分线的性质定理答案5.35

【解析】

在△ABC中,∠C=35°,∠ABC=110°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=35°.∵AB的垂直平分线DE交AC于点D,∴AD=BD,AE=BE,又∵DE=DE,∴△AED≌△BED,∴∠ABD=∠A=35°.6.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E.若∠CAB=∠B+30°,则∠AEB=

°.

知识点线段垂直平分线的性质定理答案6.120

【解析】

∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,AD=BD,又∵DE=DE,∴△ADE≌△BDE,∴∠EAB=∠B.∵∠CAB=∠B+30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,∴∠CAE=30°.∵∠C=90°,∴∠AEC=60°,∴∠AEB=120°.7.[2021河北唐山月考]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC=1,直线MN为线段AD的垂直平分线,P为MN上的一个动点,求PC+PD的最小值.知识点线段垂直平分线的性质定理答案7.【解析】

如图,连接PA,∵直线MN为线段AD的垂直平分线,∴PD=PA,∴PC+PD=PC+PA≥AC.当点P在AC上时,PC+PD的值最小,等于AC的长,∴PC+PD的最小值为1.8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC

的平分线,AD的垂直平分线交AB于点F,交BC的延长线于点E.求证:(1)∠EAD=∠EDA;(2)DF∥AC.知识点线段垂直平分线的性质定理知识点线段垂直平分线的性质定理答案8.【解析】

(1)设AD与EF交于点M.∵EF是AD的垂直平分线,∴DE=AE,DM=AM,又∵ME=ME,∴△MED≌△MEA,∴∠EAD=∠EDA.(2)∵EF是AD的垂直平分线,∴DF=AF,又∵DM=AM,MF=MF,∴△MFD≌△MFA,∴∠FDA=∠FAD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠CAD,∴∠FDA=∠CAD,∴DF∥AC.9.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=80°,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数;(2)若AB=9,BC=12,求△ABD的周长.知识点线段垂直平分线的性质定理答案9.【解析】

(1)在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=80°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°.∵DE垂直平分AC,∴DA=DC,AE=EC,又∵DE=DE,∴△AED≌△CED,∴∠DAC=∠C=40°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°.(2)由(1)知DA=DC,∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=9+12=21.知识点线段垂直平分线的性质定理答案

本题考查的是线段垂直平分线的性质定理.掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等以及三角形全等的证明是解题的关键.名师点睛1.如图,MN是线段AB的垂直平分线,点C在MN外,且与点A在MN的同一侧,BC交MN于点P,连接AP,则(

)A.BC>PC+PA

B.BC<PC+PAC.BC=PC+PA

D.BC≥PC+PA答案1.C

【解析】

因为点P在线段AB的垂直平分线上,所以PA=PB.因为BC=PC+PB,所以BC=PC+PA.故选C.2.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠BAE与∠EAC的比为4∶1,则∠C的度数为(

)A.20° B.22.5° C.25° D.30°答案2.B

【解析】

因为ED是AC的垂直平分线,所以AE=CE,所以∠C=∠EAC.因为∠B=45°,所以∠BAC+∠C=135°.因为∠BAE与∠EAC的比为4∶1,所以∠C+∠BAC=∠C+∠C+4∠C=135°,所以∠C=22.5°.故选B.3.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为(

)A.5 B.6

C.7

D.8答案3.B

【解析】

∵DE是BC边上的垂直平分线,∴BE=EC,BD=CD.∵△EDC的周长为24,∴DE+EC+CD=24,∴DE+BE+BD=24

①.∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,∴(AE+BE+BD+CD+AC)-(AE+DE+CD+AC)=12,∴BE+BD-DE=12

②,∴①-②,得2DE=12,∴DE=6.故选B.4.如图,在△ABE中,∠A=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB+BC=BE,则∠B的度数是(

)A.45° B.50° C.55° D.60°答案

5.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在BC上也在AB的垂直平分线上,求∠DAE的度数.答案

6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD,BC相交于点E,F,连接AF.求证:AE=AF.答案

7.[2021河北邯郸邯山区期末]在△ABC中,AB的垂直平分线l1交BC于点D,AC的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为6.(1)AD与BD的数量关系为

;

(2)求BC的长;(3)连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16,求OA的长.答案7.【解析】

(1)AD=BD(2)∵l2是线段AC的垂直平分线,∴EA=EC.∵△ADE的周长为6,∴AD+DE+AE=6,∴BD+DE+EC=6,即BC=6.(3)如图,∵l1是线段AB的垂直平分线,∴OA=OB.∵l2是线段AC的垂直平分线,∴OA=OC,∴OB=OC.∵△OBC的周长为16,BC=6,∴OB+OC=10,∴OA=OB=OC=5.8.如图,在△ABC中,∠A=60°,点D是边BC的中点,DE⊥BC,∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P,连接PC.(1)若∠ACP=24°,求∠ABP的度数;(2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,请直接写出m,n满足的关系式:

.

答案

答案∵BP平分∠ABC,∴∠PBC=∠ABP,∴∠PBC=∠PCB=∠ABP.∵∠A=60°,∠ACP=24°,∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-60°-24°=96°,∴3∠ABP=96°,∴∠ABP=32°.(2)m+3n=120

本题主要考查了三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质定理的运用,解题时注意:线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等;三角形的内角和等于180°.名师点睛课时2线段垂直平分线性质定理的逆定理16.2线段的垂直平分线1.如图,AC=AD,BC=BD,则有(

)A.AB垂直平分CD

B.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分

D.CD平分∠ACB知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案1.A

【解析】

∵AC=AD,BC=BD,∴点A,B在线段CD的垂直平分线上,∴AB垂直平分CD.故选A.证明一个点在一条线段的垂直平分线上的方法

一是从已知点向已知线段作垂线段,证明垂足平分已知线段;二是取线段的中点,连接这一点与已知点,证明所连接的线段与已知线段垂直.证明一条直线是线段的垂直平分线时,需要证明直线上有两点到线段两端的距离分别相等.归纳总结2.[2021河北唐山月考]如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在(

)

A.∠A,∠B两内角的平分线的交点处B.AC,AB两边高所在直线的交点处C.AC,AB两边中线的交点处D.AC,AB两边垂直平分线的交点处知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案2.D

【解析】

根据“到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”,知超市应建在AC,AB两边垂直平分线的交点处.故选D.3.下列条件中,不能判定直线MN是线段AB(M,N不在AB上)的垂直平分线的是(

)A.MA=MB,NA=NB

B.MA=MB,MN⊥AB

C.MA=NA,MB=NB

D.MA=MB,MN平分AB知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案3.C

【解析】

A选项,∵MA=MB,NA=NB,∴M,N在线段AB的垂直平分线上,∴直线MN是线段AB的垂直平分线;B选项,∵MA=MB,∴M在线段AB的垂直平分线上,又∵MN⊥AB,∴直线MN是线段AB的垂直平分线;C选项,当MA=NA,MB=NB时,直线MN不一定是线段AB的垂直平分线;D选项,∵MA=MB,∴M在线段AB的垂直平分线上,又∵MN平分AB,∴直线MN是线段AB的垂直平分线.故选C.4.易错题直线l外有两点A,B,若要在l上找一点,使得这个点到点A,B的距离相等,这样的点有(

)A.0个

B.1个C.无数个

D.0个或1个或无数个知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案4.D

【解析】

①当直线l垂直但不平分线段AB时,在l上找一点,使得这个点到点A,B的距离相等,这样的点有0个;②当直线l垂直平分线段AB时,在l上找一点,使得这个点到点A,B的距离相等,这样的点有无数个;③当线段AB与直线l不垂直时,在l上找一点,使得这个点到点A,B的距离相等,这样的点有1个.故选D.5.[2020吉林长春月考]如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,连接EF交AD于点M.求证:点A在线段EF的垂直平分线上.知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案5.【解析】

∵AD为△ABC的角平分线,∴∠FAD=∠EAD.∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠AFD=∠AED=90°.又∵AD=AD,∴△AFD≌△AED,∴AF=AE,∴点A在线段EF的垂直平分线上.6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边的中点,CF⊥AD于点E,BF∥AC,AF=AD.求证:AB垂直平分DF.知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案6.【解析】

∵∠ACB=90°,BF∥AC,∴BF⊥BC,且∠CFB=∠ACE,又∵CE⊥AD,∴∠ADC=∠ACE,∴∠ADC=∠CFB.在△ACD和△CBF中,∵∠ADC=∠CFB,∠ACD=∠CBF=90°,AC=CB,∴△ACD≌△CBF,∴CD=BF.知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案

证明线段的垂直平分线的两种方法

一是定义法;二是利用线段垂直平分线性质定理的逆定理进行证明.一般习惯用定义法进行证明,而利用线段垂直平分线性质定理的逆定理进行证明更简单.用线段垂直平分线性质定理的逆定理证明一条直线是线段的垂直平分线时,需要证明直线上有两点到线段两个端点的距离分别相等.归纳总结7.[2021河北邯郸永年区月考]如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25cm,AD=15cm,BC=10cm.动点E从A点出发,以2cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为xs.(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?并说明理由.(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理知识点

线段垂直平分线性质定理的逆定理答案

课时3用尺规作线段的垂直平分线16.2线段的垂直平分线

知识点线段垂直平分线的尺规作图答案1.C2.如图,已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC上确定一点P,使PA=PB,则下列四种作图方法中,正确的是(

)知识点线段垂直平分线的尺规作图答案2.C

【解析】

若PA=PB,则P在AB的垂直平分线上,作法正确的是C.故选C.

知识点线段垂直平分线的尺规作图答案3.A

【解析】

由尺规作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,∴点D是AB的中点,∴S△ADC=S△BDC.∵S△BDC-S△CDE=4,∴S△ADC-S△CDE=4,即△ADE的面积为4.故选A.

知识点线段垂直平分线的尺规作图答案4.19

【解析】

由尺规作图痕迹可知,MN是线段AC的垂直平分线,∴DA=DC,AC=2AE=6cm.∵△ABD的周长为13cm,∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13cm,∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19(cm).5.如图,AO,BO(OA<OB)是互相垂直的墙角,墙角O处是一鼠洞,一只猫在A处发现B处有一只老鼠正向墙角O处逃窜,若猫以与老鼠同样的速度去追捕这只老鼠,请在图中作出猫最快能截住老鼠的位置点C.知识点线段垂直平分线的尺规作图答案5.【解析】

如图,连接AB,作AB的垂直平分线,则垂直平分线与BO的交点C即所求.

知识点线段垂直平分线的尺规作图知识点线段垂直平分线的尺规作图答案

易错疑难集训1.在如图所示的轴对称图形中,对称轴条数最多的是(

)易错点1对称轴计数有误答案1.D

【解析】

A项中的轴对称图形有1条对称轴;B项中的轴对称图形有1条对称轴;C项中的轴对称图形有1条对称轴;D项中的轴对称图形有4条对称轴.故对称轴条数最多的是D.故选D.2.[2020广东梅州模拟]画出如图所示的图形的对称轴.易错点1对称轴计数有误答案2.【解析】

如图所示.3.如图,在△ABC中,BC=7cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于17cm,则AC的长等于

cm.

易错点2运用线段垂直平分线的性质进行合理转换答案3.10

【解析】

∵AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,∴AE=BE.∵△BCE的周长等于17cm,∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=17cm.∵BC=7cm,∴AC=10cm.易错分析

使用线段的垂直平分线求线段的长或者求三角形的周长时,注意充分利用线段垂直平分线的性质定理进行等量代换,使问题得解.4.[2021广西北海期中]如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE,分别与AB和AC交于点D和点E,BC边的垂直平分线FG,分别与BC和AC交于点F和点G.若△BEG的周长为16,GE=2,则AC的长为

.

易错点2运用线段垂直平分线的性质进行合理转换答案4.12

【解析】

∵DE是线段AB的垂直平分线,GF是线段BC的垂直平分线,∴EB=EA,GB=GC,∵△BEG的周长为16,∴EB+GB+EG=16,∴EA+GC+EG=16,∴GA+EG+EG+EG+EC=16,∴AC+2EG=16,∵EG=2,∴AC=12.1.如图,将长方形ABCD沿BE折叠,若∠CBA'=30°,则∠ABE为(

)A.65° B.60° C.45° D.30°疑难点

折叠问题答案

2.[2021河北唐山期中]如图,将一四边形纸片ABCD沿AE,EF折叠,使点E,B1,C1在同一条直线上,则∠AEF的度数是(

)A.60°

B.75°

C.90°

D.100°疑难点

折叠问题答案2.C

【解析】

由折叠可知,∠AEB=∠AEB1,∠CEF=∠C1EF,∵点E,B1,C1在同一条直线上,∴∠AEB+∠AEB1+∠CEF+∠C1EF=180°,∴∠AEF=90°.故选C.3.如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是(

)

A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=DBD.AE+CB=AB疑难点

折叠问题答案3.D

【解析】

根据题意可知,点C和点E关于直线BD对称,∴BE=BC,∴AE+CB=AE+BE=AB,故D中的结论一定正确.故选D.

疑难点

折叠问题答案

16.3角的平分线1.[2020福建宁德期末]如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为(

)A.1 B.2

C.3

D.4知识点1角平分线的性质定理答案1.B

【解析】

易知当PQ⊥OM时,PQ取得最小值,∵OP

平分∠MON,PA⊥ON,PQ⊥OM,∴PQ=PA=2.故选B.2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC

的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=15cm,则△DBE的周长为(

)A.15cm B.14cm

C.13cm

D.12cm知识点1角平分线的性质定理答案2.A

【解析】

∵AD平分∠CAB,且∠C=90°,DE⊥AB,∴∠CAD=∠EAD,DC=DE,∠C=∠AED=90°,∴△ACD≌△AED,∴AC=AE,又∵AC=BC,∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.∵AB=15cm,∴△DBE的周长为DE+EB+BD=15cm.故选A.3.如图,已知△ABC的周长是16,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=2,则△ABC的面积是

.

知识点1角平分线的性质定理答案

运用角平分线的性质定理求三角形面积的方法

求三角形的面积时结合角平分线的性质定理将三角形分解为以三条角平分线的交点O为顶点、三角形的三边为一边的三个三角形,写出其面积式子,再综合三角形角平分线的性质求解.名师点睛4.[2021黑龙江大庆期末]如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF.知识点1角平分线的性质定理答案

5.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点应是(

)A.C点

B.D点C.E点

D.F点知识点2角平分线性质定理的逆定理答案5.C

【解析】

从题图中可以看出点E在∠AOB的平分线上,其他三点不在∠AOB的平分线上,所以点E到∠AOB两边的距离相等.故选C.6.[2021山东聊城月考]如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=24°,D为BC上一点,过点D作DE⊥AB于点E,经过测量得DE=DC,则∠DAC的度数为(

)

A.24° B.66° C.57° D.33°知识点2角平分线性质定理的逆定理答案

7.易错题如图,AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.知识点2角平分线性质定理的逆定理答案7.【解析】

如图,过点P分别作MB,BN,AC的垂线段PD,PE,PF,垂足分别为点D,E,F.∵AP是△ABC的外角∠MAC的平分线,PD⊥MB,PF⊥AC,∴PD=PF.∵CP是△ABC的外角∠NCA的平分线,PF⊥AC,PE⊥BN,∴PE=PF,∴PD=PE,又∵PD⊥MB,PE⊥BN,∴BP为∠MBN的平分线.知识点2角平分线性质定理的逆定理答案运用角平分线的性质解题时的注意事项

(1)应交代清楚角平分线及角平分线上的点到两边的距离;(2)运用角平分线的性质或判定定理时,可以省去证明三角形全等的过程,直接得到线段或角相等.名师点睛8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=26°.淇淇按下列步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,适当长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC于点D.则∠ADC的度数为(

)A.50° B.52° C.58° D.64°知识点3用尺规作已知角的平分线答案

知识点3用尺规作已知角的平分线答案

归纳总结9.如图,OP,OQ表示相交于O点的两条公路,M是公路OQ附近的一个货运站,现计划修建一个食品超市,按照设计要求,超市到两条公路的距离相等,到货运站M的距离为600m,并尽量远离交叉路口.请你按照图中的比例尺,确定超市的位置.(尺规作图,保留作图痕迹)知识点3用尺规作已知角的平分线答案9.【解析】

作图如下:(1)作∠QOP的平分线ON;(2)以M点为圆心,600m为半径画弧,交ON于点A,B,因为超市需尽量远离交叉路口,所以超市的位置在B点.1.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=18,DE=3,AB=8,则AC=(

)

A.3 B.4

C.6

D.5答案

2.[2021河北邢台任泽区期末]嘉淇同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,嘉淇说:“射线OP就是∠AOB的平分线.”他这样做的依据是(

)

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确答案2.A

【解析】

如图,过两把直尺的交点P作PE⊥AO于点E,PF⊥BO于点F,∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF,∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).故选A.3.如图,点P,Q分别在∠AOB的边OA,OB上,若点N到∠AOB的两边的距离相等,且PN=NQ,则点N一定是(

)A.∠AOB的平分线与PQ的交点

B.∠OPQ与∠OQP的平分线的交点

C.∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点

D.线段PQ的垂直平分线与∠OPQ的平分线的交点答案3.C

【解析】

∵点N到∠AOB的两边距离相等,∴点N在∠AOB的平分线上.∵PN=NQ,∴点N在线段PQ的垂直平分线上,∴点N是∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点.故选C.4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,给出下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④DA平分∠CDE.其中正确的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4答案4.D

【解析】

∵∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴CD=DE,故①正确;在△ACD和△AED中,AD=AD,∠CAD=∠EAD,∠C=∠AED,∴△ACD≌△AED(AAS),∴AC=AE,∠ADC=∠ADE,∴AC+BE=AE+BE=AB,DA平分∠CDE,故②④正确;∵∠B+∠BAC=90°,∠B+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠BAC,故③正确.综上所述,结论正确的是①②③④,共4个.故选D.5.[2020河北沧州新华区月考]如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是40,60,80,三条角平分线OA,OB,OC将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=

.

答案

6.[2021河北邯郸期末]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.答案

7.如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.求证:(1)CO平分∠ACD;(2)OA⊥OC;(3)AB+CD=AC.答案

答案

专项1尺规作图——河北中考热点1.[2020河北唐山路北区二模]图1~图4是四个基本作图的痕迹,关于四条弧①,②,③,④有四种说法:

(1)弧①是以O为圆心,任意长为半径所画的弧;(2)弧②是以P为圆心,任意长为半径所画的弧;(3)弧③是以A为圆心,任意长为半径所画的弧;(4)弧④是以P为圆心,任意长为半径所画的弧.其中说法正确的个数为(

)A.4

B.3

C.2

D.1答案

2.[2021河北邯郸期末]如图,点D,E分别在∠CAB的边AB,AC上,若PD=6,由作图痕迹可得,PE的最小值是(

)A.2

B.3

C.6

D.12答案2.C

【解析】

根据作图痕迹可知,AP是∠BAC的平分线,PD⊥AB.易知当PE⊥AC时,PE最短,故PE的最小值等于PD,为6.故选C.

答案

4.[2020内蒙古鄂尔多斯东胜区二模]在△ABC中,AC<BC,用尺规作图的方法在BC上确定一点D,使AD+CD=BC.根据作图痕迹判断,符合要求的是(

)答案4.D

【解析】

观察题中作图痕迹可知,A项,BD=AB,不能得到AD+CD=BC,所以不符合题意;B项,DA=CD,所以AD+CD=2CD,所以不符合题意;C项,CD=AC,不能得到AD+CD=BC,所以不符合题意;D项,BD=AD,所以AD+CD=BD+CD=BC,所以符合题意.故选D.5.[2020河北邯郸永年区一模]如图,在△ABC中,BC>AB>AC.甲、乙两人想在BC上取一点P,使得∠APC=2∠ABC,其作法如下.甲:作AB的垂直平分线,交BC于点P,则点P即所求.乙:以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点P,则点P即所求.对于两人的作法,下列判断正确的是(

)

A.两人都正确

B.两人都错误

C.甲正确,乙错误

D.甲错误,乙正确答案5.C

【解析】

如图1,由甲的作法知PQ垂直平分AB,则PA=PB,AQ=BQ,PQ=PQ,∴△APQ≌△BPQ,∴∠PAB=∠PBA,又∵∠APC=∠PAB+∠PBA,∴∠APC=2∠ABC,故甲的作法正确;如图2,过点B作BD⊥AP于点D,由乙的作法知AB=BP,则BD垂直平分AP,易知△ABD≌△PBD,∴∠BAP=∠APB,∵∠APC=∠BAP+∠ABC,∴∠APC≠2∠ABC,故乙的作法错误.故选C.

答案6.35

【解析】

∵MN∥PQ,∴∠NAF=∠AFB.由题意得,AF平分∠NAB,∴∠NAF=∠BAF,∴∠AFB=∠BAF,∵∠ABP=∠AFB+∠BAF,∴∠ABP=2∠AFB=70°,∴∠AFB=70°÷2=35°.

答案

8.如图,依据尺规作图的痕迹,计算α=

°.

答案

遇到求角的度数的问题时,要善于找出未知角与已知角之间的联系.若涉及图形的折叠,要联想到运用折叠的性质;若有平行线,则要考虑同位角或内错角相等、同旁内角互补.名师点睛

答案9.①②③

【解析】

由题中作法得AD平分∠BAC,∴①正确;∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴∠ADC=90°-∠CAD=60°,∴②正确;过点D作DE⊥AB于点E,则∠BED=∠AED=90°,又∵∠B=∠BAD=30°,DE=DE,∴△BDE≌△ADE,∴BD=AD,∴点D在AB的垂直平分线上,∴③正确.综上,正确的是①②③.专项2线段垂直平分线与角平分线1.[2020河北唐山期末]如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若BC=8,△EBC的周长为18,则直线DE上的点到点C、点B距离之和的最小值为(

)

A.8 B.10

C.16

D.18答案1.B

【解析】

∵DE是AC的垂直平分线,∴AE=EC,点A、点C关于直线DE对称.∵AB交ED于点E,∴直线DE上点E到点C、点B距离之和最小.∵△EBC的周长为18,BC=8,∴BE+EC+8=18,∴BE+EC=10,即直线DE上的点到点C、点B距离之和的最小值为10.故选B.类型1线段垂直平分线的性质与判定2.[2021河北唐山三中月考]已知直线l是线段AB的垂直平分线,点M,N是直线l上的两点,若∠NBA=15°,∠MBA=45°,则∠MAN的度数为

.

答案2.60°或30°

【解析】

分两种情况:①当点M,N在AB两侧时,如图1,∵M,N是线段AB的垂直平分线上的两点,∴NA=NB,MA=MB,易得△AON≌△BON,△MAO≌△MBO,∴∠NBA=∠NAB=15°,∠MBA=∠MAB=45°,∴∠MAN=∠NAB+∠MAB=15°+45°=60°.②当点M,N在AB同侧时,如图2,同理可得∠MAN=∠MAB-∠NAB=45°-15°=30°.综上,∠MAN的度数为60°或30°.类型1线段垂直平分线的性质与判定3.[2021河北唐山丰南区期中]如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.答案

类型1线段垂直平分线的性质与判定4.[2021山东聊城实验中学期中]如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DM交BC于点D,交AB于点M,点E为CD的中点,∠CAE=25°,∠ACB=65°,猜想BD与AC的数量关系,并说明理由.答案4.【解析】

BD=AC.理由如下:如图,连接AD,∵∠CAE=25°,∠ACB=65°,∴∠AED=∠CAE+∠ACB=90°,即AE⊥CD,又∵点E为CD的中点,∴AE垂直平分CD,∴AD=AC.∵DM垂直平分AB,∴AD=BD,∴BD=AC.类型1线段垂直平分线的性质与判定5.[2020河北唐山期末]如图,点O是△ABC中∠BCA,∠ABC的平分线的交点,OD⊥BC于点D,若△ABC的面积是12,周长是8,则OD=(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

类型2角平分线的性质6.如图,AD是△ABC的角平分线,AB∶AC=3∶2,△ABD的面积为15,则△ACD的面积为

.

答案

类型2角平分线的性质7.[2021河北石家庄期中]如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB相交于点C,D,则PC与PD相等吗?试说明理由.类型2角平分线的性质答案

类型2角平分线的性质8.[2021江苏苏州期中]如图,△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.(1)求∠CAD的度数.(2)求证:DE平分∠ADC.(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.类型2角平分线的性质答案

类型2角平分线的性质16.4中心对称图形1.[2020四川内江中考]下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是(

)知识点1中心对称图形答案1.C

【解析】

A,B,D项中的图形绕某一个点旋转180°后与自身不能重合,故不是中心对称图形.故选C.2.易错题四张扑克牌如图1所示放在桌子上,小敏把其中一张旋转180°后结果如图2所示,那么她所选择的牌从左数起是(

)A.第一张

B.第二张

C.第三张

D.第四张知识点1中心对称图形答案2.A

【解析】

在这四张牌中,只有第一张是中心对称图形,旋转180°后,与原图形完全一样.故选A.3.[2020河北石家庄联考]如图是4×4的网格图,将图中①,②,③,④处的一个小正方形涂黑,使所有的黑色图形构成一个中心对称图形,则涂黑的正方形是(

)A.①

B.②

C.③

D.④知识点1中心对称图形答案3.C4.如图,由四个全等的直角三角形拼成的图形,对它的对称性表述正确的是(

)A.它是轴对称图形B.它是中心对称图形C.它既是轴对称图形又是中心对称图形D.它既不是轴对称图形又不是中心对称图形知识点1中心对称图形答案4.B5.给出下列说法:①成中心对称的两个图形形状一样,大小一样;②成中心对称的两个图形一定能重合;③形状一样,大小一样的两个图形成中心对称;④旋转后能够重合的两个图形成中心对称.其中说法一定正确的个数是(

)A.0 B.1

C.2

D.3知识点2成中心对称答案5.C

【解析】

根据“如果一个图形绕某一个点旋转180°后与另一个图形重合,那么这两个图形叫做成中心对称,这个点叫做对称中心”,可知①②说法正确,③④说法不一定正确.故选C.6.[2021河北张家口期末]下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有(

)A.1组

B.2组

C.3组

D.4组知识点2成中心对称答案6.C

【解析】

根据成中心对称的定义,可知只有第(1)组图形中的左边图形与右边图形不成中心对称.故选C.7.如图,已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列判断不正确的是(

)A.∠ABC=∠A'B'C'

B.∠BOC=∠B'A'C'

C.AB=A'B'D.BC=B'C'知识点3成中心对称的性质答案7.B

【解析】

因为△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,所以可得∠ABC=∠A'B'C',∠BAC=∠B'A'C',AB=A'B',OA=OA'.故选B.知识点3成中心对称的性质答案中心对称图形和成中心对称图形的区别与联系

中心对称图形成中心对称图形区别图形的个数不同.只涉及一个图形.涉及两个图形.反映的关系不同.反映了这个图形自身的中心对称性.反映了两个图形之间的大小、形状、位置关系.对应点的位置不同.对应点都在同一个图形上.对应点分别在成对称中心的两个图形上.联系过中心对称图形的对称中心画一条直线,如果把两旁的部分各看成一个图形,则这两个图形成中心对称;把成中心对称的两个图形看成一个图形,则这个图形是中心对称图形.归纳总结8.原创题如图,正方形ABCD与正方形GHEF成中心对称,则下列关于对称中心的描述不正确的是(

)

A.对称中心是线段CE的中点B.对称中心是线段DF的中点C.对称中心是点ED.对称中心是线段AG与DF的交点知识点3成中心对称的性质答案8.C

【解析】

因为正方形ABCD与正方形GHEF成中心对称,所以点A和点G、点B和点H、点C和点E、点D和点F是对应点,一组对应点连线的中点或两组对应点连线的交点是对称中心,故A,B,D项描述正确,C项描述不正确.故选C.9.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.知识点3成中心对称的性质答案

10.如图,线段AB,BC(AB≠BC)是六边形ABCDEF的两条边,并且六边形ABCDEF是中心对称图形,对称中心是O点.(1)把这个六边形补画完整;(2)若AB=2cm,则六边形ABCDEF中长度是2cm的线段还有

,与∠ABC相等的角是

.

知识点4画中心对称图形答案10.【解析】

(1)如图所示.(2)DE

∠DEF1.[2020山东潍坊中考]下列图形,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)答案1.C

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的定义,可知:

故C项符合题意.故选C.选项ABCD轴对称图形×√√√中心对称图形√×√×2.[2021河北秦皇岛期末]在下列图形中,剪掉1个小正方形(阴影部分),剩余5个小正方形能组成中心对称图形的是(

)答案2.D3.[2021河北保定莲池区月考]用一条直线m将如图1所示的直角铁皮分成面积相等的两部分.图2、图3分别是甲、乙两位同学给出的作法,对于两人的作法判断正确的是(

)

A.甲正确,乙不正确B.甲不正确,乙正确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确答案3.C

4.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,∠ABC=45°,∠B'C'A'=80°,则∠BAC=

°.

答案4.55

【解析】

∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,∴△ABC≌△A'B'C',∴∠BCA=∠B'C'A'=80°.∵∠ABC=45°,∴∠BAC=180°-45°-80°=55°.5.如图,直线a,b垂直且相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为

.

答案5.6

【解析】

∵直线a,b垂直且相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D,OB=3,OD=2,∴AB=2,∴阴影部分的面积之和为3×2=6.6.如图,方格纸中有三个点A,B,C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.答案6.【解析】

(1)(2)(3)分别画图如下.(答案不唯一)7.[2021河北沧州期中]如图,在△ABC中,D是BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE.(1)哪两个图形成中心对称?(2)已知△ADC的面积为4,求△ABE的面积.(3)已知AB=5,AC=3,求AD的取值范围.答案

8.如图,△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在