人教A版选择性6.3.2二项式系数的性质课件（23张）

二项式系数的性质

高二数学选择性必修第三册第六章计数原理学习目标1.理解和掌握二项式系数的性质，并会进行简单的应用;2.理解和初步掌握赋值法及其应用;3.能灵活应用二项式系数的性质求二项展开式系数最大项.4.核心素养:数学抽象、数学运算。1、二项式定理:二项式系数:通项:一、回顾旧知1.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:

通过计算填表,你发现了什么?n

(a+b)n展开式的二项式系数12345611121

133114641151010511615201561

每一行的系数具有对称性除此以外还有什么规律呢?二、探究新知11

121

13311464115101051

1615201561

上表写成如下形式:172135352171…

…

…………1Cn-11Cn-12……Cn-1k-1Cn-1k……Cn-1n-21能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?11

121

133114641

15101051

1615201561上表写成如下形式:①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.杨辉三角

这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261

年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似右侧的表：

早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的

《详解九章算法》二项式系数表，在书中说明了表里

“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和;指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)11世纪在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O6152012.二项式系数的性质1).对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式

得到．图象的对称轴：f（r）r63O6152013.二项式系数的性质2).增减性与最大值所以相对于的增减情况由决定由：

可知，当时，

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值3.二项式系数的性质f（r）rnOOnf（r）n为奇数n为偶数当n是偶数时，中间的一项取得最大值.当n是奇数时，中间的两项

和相等,且同时取得最大值3).各二项式系数的和在二项式定理中,令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于同时由于上式还可以写成：这是组合总数公式.

3.二项式系数的性质

一般地，

展开式的二项式系数有如下性质：(1).(2).(3).当时，(4).当时，1.例1.证明:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.在展开式证明:得即赋值法中三、应用新知=2n-1(1).已知,那么=

；2.变式训练1(3).在(a＋b)20展开式中,与第五项的系数相同的项是(

).A第15项B第16项C第17项D第18项C(2).若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；(4).在(a＋b)10展开式中,系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项A(5).在(a－b)10展开式中,系数最大的项是(

).A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项D2.变式训练1在展开式中

(1).求二项式系数的和;3.例2.(2).各项系数的和;(3).奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4).奇数项的系数和与偶数项的系数和.102415121).已知:(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+…+a9x+a10,(1).求a0+a1+a2+……+a9+a10的值;(2).求a0+a2+a4+……+a10的值.4.变式训练2结论:D4.变式训练25.例3求证：

＞(n∈N,且n≥2)证明:又∵n≥2,上式至少有三项,且＞0∴

＞(n∈N，且n≥2)证明:要证成立

5.变式训练3只需证成立

所以原不等式成立1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的

组合数,它有三条性质,