高数函数的极限

高数函数的极限第1页，课件共33页，创作于2023年2月在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。用数学的语言叙述这个论断：(1+α)x

=

+∞，其中α是大于0的常数。这个问题属于函数极限的范畴。例如：整标函数第2页，课件共33页，创作于2023年2月一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。下面，我们将主要研究以下两种情形：第3页，课件共33页，创作于2023年2月1.自变量趋向无穷大时函数的极限第4页，课件共33页，创作于2023年2月通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第5页，课件共33页，创作于2023年2月第6页，课件共33页，创作于2023年2月②几何解释:直线y=A为曲线的水平渐近线(horizontalasymptote)第7页，课件共33页，创作于2023年2月例1.证明证:取因此注:就有故欲使即第8页，课件共33页，创作于2023年2月②另两种情形:称为单侧极限第9页，课件共33页，创作于2023年2月直线y=A仍是曲线y=f(x)

的渐近线.几何意义:都有水平渐近线都有水平渐近线第10页，课件共33页，创作于2023年2月=例(1)例(2)定理第11页，课件共33页，创作于2023年2月例2证：(1)第12页，课件共33页，创作于2023年2月2.自变量趋于有限值时函数的极限第13页，课件共33页，创作于2023年2月第14页，课件共33页，创作于2023年2月②几何解释:注意：第15页，课件共33页，创作于2023年2月例3证例4证第16页，课件共33页，创作于2023年2月联系，以便对于任给的ε，总能找到对应的δ，对于满足在用函数极限的定义证明时，必须找出δ与ε之间的注意：0<|x-|<δ的一切x，使不等式|f(x)-A|<ε都成立例5证第17页，课件共33页，创作于2023年2月例6.证明证:欲使取则当时,必有因此只要第18页，课件共33页，创作于2023年2月例7证:故取当时,必有因此第19页，课件共33页，创作于2023年2月3.左极限和右极限(one-sidedlimit):例如,第20页，课件共33页，创作于2023年2月左极限右极限(right-handlimit)(left-handlimit)第21页，课件共33页，创作于2023年2月左右极限存在但不相等,例8证定理第22页，课件共33页，创作于2023年2月例如9,第23页，课件共33页，创作于2023年2月二、函数极限的性质定理2（函数极限的局部有界性）定理1（函数极限的惟一性）(注:对于六种极限形式都成立只要做相应的修改即可,可类似证明)

若存在，那么该极限是唯一的，若那么存在常数M>0,和使得当有22页定理422页定理5第24页，课件共33页，创作于2023年2月推论3.不等式性质定理(保序性)注意:若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于.例如:第25页，课件共33页，创作于2023年2月定理(局部保号性)推论第26页，课件共33页，创作于2023年2月4夹逼准则第27页，课件共33页，创作于2023年2月上两式同时成立,证第28页，课件共33页，创作于2023年2月5.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理第29页，课件共33页，创作于2023年2月例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.第30页，课件共33页，创作于2023年2月例10证二者不相等,第31页，课件共33页，