数学实验之图的模型及算法初步课件

一种表示工具——图布置实验实验十主要内容一个时间安排问题图论的起源人、狼、羊、菜渡河问题好算法还是坏算法图的矩阵表示方法返回7/21/2023图论的起源：七桥问题7/21/2023

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图论的起源：七桥问题7/21/2023欧拉——图论之父■定义：线图（图论的研究对象）■定理：一个线图存在通过每边正好一次回到出发点的路线的充要条件是：1）图要是连通的2）与图中每一顶点相连的边必须是偶数条。于是得出结论：七桥问题无解。图论的起源：七桥问题返回7/21/2023无向图，一般用大写字母G,H表示。一种表示工具——图顶点边dcab7/21/2023无向图：G=(V,E)，顶点集：V；边集：E。

e与顶点u,v相关联。

u与v相邻。

两边相邻。

重边

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一种表示工具——图7/21/2023两种特殊图：简单图

完全图，记为Knb

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一种表示工具——图7/21/2023有向图：V1V2V3V5V4想你能给出一个可用有向图描述的实际例子吗？一种表示工具——图7/21/2023网络这些数字可以代表距离，费用，可靠性或其他的相关参数。12345869157103一种表示工具——图7/21/2023(G)和(G)分别表示图G的顶点数和边数在无向图中，v的度数，记为d(v)；在有向图中，v的出度，记为d+(v);v的入度，记为d-(v)。一种表示工具——图返回7/21/2023一个时间安排问题学校要为一年级的研究生开设六门基础数学课：统计(S)，数值分析(N)，图论(G)，矩阵论(M)，随机过程(R)和数理方程(P)。按培养计划，注册的学生必须选修其中的一门以上，你作为教务管理人员，要设法安排一个课表，使每个学生所选的课程，在时间上不会发生冲突。7/21/2023一个时间安排问题7/21/2023SNGRPM‡完成上述表示课程冲突关系的线图直观、清晰地表达已知信息的方式一个时间安排问题返回7/21/2023人狼羊菜渡河问题摆渡人F狼W羊G菜C7/21/2023南岸状态：16种，其中WG,GC,WGC，从而FC,FW,F为不允许状态，FWGCFWGFWCFGCFGOCGWWC10个允许状态：人狼羊菜渡河问题7/21/2023FWGCFWGFWCFGCFGOCGWWC寻求图中从顶点“FWGC”到顶点“O”的最短路径，这样的路径有几条？求出最优的渡河方案。想语言描述时未显示的关系跃然纸上人狼羊菜渡河问题7/21/2023FWGCFWGFWCFGCFGOCGWWCFWGCFWGFWCFGCFGOCGWWC人狼羊菜渡河问题返回7/21/2023图的矩阵表示方法邻接矩阵关联矩阵边矩阵邻接顺序表返回7/21/2023v1v2v5v6v7v4v3abjkcghidfe邻接矩阵7/21/2023

无向图的邻接矩阵：A=(aij)nn，其中无向图的邻接矩阵有何特点？由邻接矩阵是否能作出原图？想邻接矩阵返回7/21/2023关联矩阵v1v2v5v6v7v4v3abjkcghidfe7/21/2023

无向图的关联矩阵：M=(mij)nm,其中想无向图的关联矩阵有哪些特征？由关联矩阵能否作出原图？关联矩阵返回7/21/2023边矩阵v1v2v5v6v7v4v3abjkcghidfe返回7/21/2023好算法还是坏算法算法无效算法的时间复杂性分析什么是算法时间复杂度量级比较有效算法返回7/21/2023一个算法就是解决某一特定问题的方法，是一系列确定步骤，它必须在有限的时间内终止。表述一个算法一般有两种方式（1）

步骤描述；（2）

框图。什么是算法7/21/2023例：求两个正整数m和n的最大公因子的Euclid算法什么是算法输入：正整数m,n。输出：m和n的最大公因子。1）求余数m除以n，令r为所得的余数(0r<n)。2)判断r是否为0。若r=0，则算法终止；否则，转3)。3)互换。置mn,nr,返回第一步返回7/21/2023用行列式的定义求一个20阶行列式的值，即使是每秒1000万次的计算机也要花大约15万年的时间。算法无效7/21/2023好算法还是坏算法如何才能简便地判断一个算法的有效性呢？在什么情况下一个问题找不到有效算法来求出正确解？想返回7/21/2023算法的时间复杂度——从输入数据到计算出结果所需要的时间，它是输入长n（问题规模）的一个函数。

算法的时间复杂性分析7/21/2023时间复杂度例如，求n个数最大者的一个算法如下：max=-999999fori=1:nifnumber(i)>maxnmaxn=number(i)endend记T(n)=c1+c2n为这个算法的时间复杂度。通常记T(n)=O(n).7/21/2023好算法还是坏算法时间复杂度若存在正数C和n0，使当nn0时，一个算法的执行时间T(n)Cf(n)，则称该算法花了f(n)阶的时间，记为T(n)=O(f(n))。7/21/2023时间复杂度分别是O(1),O(n),O(n2)

。例：对下面三个简单的程序段，求时间复杂度。1)x=x+12)fori=1:nx=x+1end3)fori=1:nforj=1:nx=x+1endend好算法还是坏算法7/21/2023典型算法的执行时间时间复杂度n2n32nn!计算时间1/64秒2秒274世纪5*2662世纪n=128时各典型算法的执行时间返回7/21/2023

有效算法或好算法：以多项式时间为限界的算法。指数时间算法或坏算法：任何多项式都不是其时间复杂度T(n)的上界的算法好算法还是坏算法7/21/2023典型算法的处理规模算法时间复杂度一小时能处理的实例规模提高速度210倍一小时能处理的实例规模A1nN11024N1A2n2N232N2A32nN3N3+10A48nN4N4+3.3返回7/21/2023（1）若0<L<,称f1(n)与f2(n)同量级,记为O(f1(n))=O(f2(n));（2）若L=0,则称f1(n)的量级比f2(n)低,记为O(f1(n))<O(f2(n))；（3）若L=,则称f1(n)的量级比f2(n)高,记为O(f1(n))>O(f2(n))。时间复杂度函数的量级比较7/21/2023显然：1，logn，n，n2，

n3，n3，

…2n，

n!量级是由低到高。时间复杂度函数的量级比较7/21/20231．无论计算机速度多么高，功能多么强，用指数时间算法不能解大型问题。2.算法的时间复杂度函数的量级越低，算法的效率越高（就大型问题而言）。注意返回7/21/2023提问与解