北京市朝阳区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题 含解析

北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末质量检测高一数学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.【详解】由集合，集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故.故选：B.2.命题“，都有”的否定为（）A.，使得 B.，使得C.，都有 D.，都有【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定知识即可求解.【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确.故选：A.3.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，例如，此时满足，但，所以A错误；对于B中，当时，，所以B不正确；对于C中，由指数函数为单调递增函数，因为，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时满足，但，所以D不正确.故选：C.4.设R，则“＞1”是“＞1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.已知是函数的一个零点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判断出单调性，根据是函数的一个零点求出的值域可得答案.【详解】因为为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，又因为是函数的一个零点，所以时，时，若，则.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数和对数函数的单调性比较大小即可.【详解】因为幂函数在上单调递增，，所以，即，因为对数函数在单调递减，，所以，即，所以，故选：C.7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合三角函数的周期性求，利用特殊点的相位求的值.【详解】由图可知：，由.由.故选：B8.函数是（）A.奇函数，且最小值为 B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为 D.偶函数，且最大值为【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，因为，所以为的一个周期，不妨设，若时，可得，因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得；若，可得，因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，综上可得，函数的最大值为，最小值为.故选：D.9.已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解.【详解】由得：的图象关于点对称；；又在上连续不断，且在上单调递增，所以在上单调递增..故选：B10.在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为（）t0510cA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意知建立方程组分别求出，，从而可求解.【详解】由题意得：当时，，当时，，当时，，由得，由得，由得，所以，由得，解得，所以当时，，故C正确.故选：C.第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.函数的定义域为_________________.【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于零，列出不等式解出即可.【详解】由得，则函数的定义域为.故答案为:12.若，则的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案为：3．13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则__________，__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解.【详解】对空：由点在角的终边上，所以，.对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以.故答案为：；.14.已知函数的图象过原点，则__________；若对，都有，则m的最大值为__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据函数过原点，从而求出的值；对于，只需求出，从而可求解.【详解】对空：由函数过原点，即，得；对空：由函数在定义域上单调递增，且恒成立，所以的最大值为.故答案为：；.15.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则的一个取值为__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据图象平移变换得到的解析式，结合图象关于y轴对称，令，求出的值.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，因为函数的图象关于y轴对称，则，即，所以，即，，所以的一个取值为,故答案为：（答案不唯一）.16.已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：①当时，在区间上单调递增；②当时，是偶函数；③当时，有3个零点；④当时，对任意，都有．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为为偶函数，且当时，，当时，可得，所以，对于①中，当时，，令，解得，如图所示，，结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；对于②中，当时，可得，令，即，解得或，当时，可得；当时，可得；当时，可得，即，其中，所以，所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确；对于③中，当时，令，即，解得，当时，令，即，解得，当时，令，即，解得或，若时，函数有三个零点，分别为，和；若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确；对于④中，当时，令，即，解得，将点代入函数，可得，解得，如图所示，当时，函数，所以④不正确.故答案为：①③.三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简集合，直接利用并集运算求解即可；（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【小问1详解】由题知，，，因为，所以，所以.【小问2详解】因为，且，，所以.18.已知为锐角，．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据范围求结果.【小问1详解】因为为锐角，，所以，所以，又因为，所以，【小问2详解】因为为锐角，，所以，解得，所以，，所以，又因为为锐角，所以，所以.19.设函数．（1）当时，求的值；（2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（3）当时，的最小值为3，求m的值．【答案】（1）2（2）在区间上的单调递增，证明见解析（3）7【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出的值；（2）利用函数单调性的定义证明单调性；（3）由（2）的单调性，可得，求出的值.【小问1详解】当时，，所以.【小问2详解】在区间上的单调递增，证明如下：在上任取，且，则，因，，所以，所以，即，所以，即，所以，即在区间上单调递增.【小问3详解】时，由（2）可得在上单调递增，所以，所以.20.设函数，且．（1）求的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值及的零点．条件①：是奇函数；条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）选择①，不存在；选择②，，；选择③，，【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【小问1详解】，又，所以.【小问2详解】由（1）知，，选择①：因为是奇函数，所以与已知矛盾，所以不存在.选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，所以，，，则，令，解得.即零点为.选择③：对于，，令，，解得，，即增区间为，减区间为，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以时符合，即在上单调递增，在上单调递减，所以且，解得，则，所以令，解得，即零点为.21.已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．（1）若，写出所有可能的集合B；（2）若，且是12的倍数，求集合B的个数；（3）若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．【答案】21.，，，22.423.证明见详解【解析】【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合.小问1详解】所有可能的集合为：，，，.【小问2详解】不妨设：，由于，且，所以.由题意，是12的倍数时，或.当时，因为，所以当且仅当时，成立，故符合题意.当时，若，则，故或符合题意；若，则，故符合题意；若，则，无解.综上，所有可能的集合为，，，.故满足条件的集合的个数为.【小问3详解】（1）当时，设，则，这个数取个值，故其中有两个数相等.又因为，于是，从而互不相等，互不相等，所以存在，使得.又因，故.则，则，结论成立（2）当时，不妨设，则（），在这个数中任取3个数，.若与都是的倍数，，这与矛盾