2025年广东省高中学业水平考试春季高考数学试题（含答案解析）

广东学业水平考试（春季高考）数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2．命题“∃x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x2+2x-m＞0 B．∃x≤0，x2+2x-m＞0C．∀x＜0，x2+2x-m≤0 D．∃x＜0，x2+2x-m≤03.已知复数，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．4.已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（

）A．1 B．3 C．16 D．206．已知，b=log32，c=log23，A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题为真命题的是（）A.，B.，C.，D.，8．设为定义在R上的奇函数，当x＞0时，=log3（1+x），则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球10．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．y=x2 B．y=C．y=alogax(a>0，且a≠1) D．y=logaa11.已知函数，若，则的值是（）A B. C. D.12.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为()A．25B．12C．35二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.函数的最小正周期是_____．已知向量．若，则．15．设一组样本数据x1，x2，...，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数为.16.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．17.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2.18.若α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，（1）求b（2）求的值20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成绩的分位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求y的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值．22.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：PA∥平面COD；(2)求三棱锥P­ABC的体积．一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，因此，.故选：B2．命题“∃x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x2+2x-m＞0 B．∃x≤0，x2+2x-m＞0C．∀x＜0，x2+2x-m≤0 D．∃x＜0，x2+2x-m≤0【答案】C【解析】解：命题“∃x＜0，x2+2x-m＞0”是特称命题，特称命题“∃x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是“∀x＜0，x2+2x-m≤0”.故答案为：C.3.已知复数，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先化简求出，即可得出答案.【详解】因为，所以的虚部为.故选：C.4.已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据终边上的点的坐标，用正弦、余弦的定义求解.【详解】点到原点的距离为，所以，，,故选：A.5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（

）A．1 B．3 C．16 D．20【答案】D【解析】由题意可得110=m160+30+10【分析】利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，这个概率也等于抽到高级管理人员数除以高级管理人员总数。6．已知a=log312，b=log32，c=A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】A【解析】a=log312＜log31=0；0＜log31＜b=log32＜log所以a＜b＜c.故答案为：A7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题为真命题的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据线面关系和面面关系的性质可判断.【详解】若，则可能平行或相交，故A错误；若，则，故B正确；若，则可能平行、异面或相交，故C错误；若，则可能平行或相交，故D错误.故选：B．8．设为定义在R上的奇函数，当x＞0时，=log3（1+x），则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【详解】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B．9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球【答案】C【解析】解：根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是红球的基本事件为AB，两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件不是互斥事件，故D错误.故答案为：C.10．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．y=x2 B．y=C．y=alogax(a>0，且a≠1) D．y=logaa【答案】D【解析】由题意可知A：y=|x|；B：y=x（x≠0）；C：y=x（x＞0）；D：y=x。因为B，C与y=x的定义域不同，A与函数y=x的对应关系不同；只有D与函数y=x的三要素相同.11.已知函数，若，则的值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的定义求值.【详解】，．故选：D．12.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为()A．25B．12C．35B解析：从5条线段中任取3条，共有C53＝10其中能构成一个三角形的有：(2，8，9)，(4，6，8)，(4，6，9)，(4，8，9)，(6，8，9)，共有5种，所以这3条线段能构成一个三角形的概率p＝510＝1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.函数的最小正周期是_____．【答案】【详解】解：，，即函数的最小正周期是．故答案为：．14．已知向量．若，则．【答案】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.15．设一组样本数据x1，x2，...，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数为.15.【答案】7【解析】∵样本数据x1，x2，...，xn的平均数是x=3，∴数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数x'=2x+1=716．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．【答案】0.32【解析】易得口袋中有23个白球，则有32个的黑球，所以摸出黑球的概率为32100=0.3217.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2.【答案】2600π解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．18.若α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋【答案】解析：因为α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝所以cosα＝255，sinβ所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255又0<α＋β<π，所以α＋β=三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，（1）求b（2）求的值解：（1）由余弦定理，…3分所以.…………5分（2）由正弦定理得：.…………10分20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成绩的分位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？【答案】（1）93（2）派甲参加比较合适，理由见解析【解析】【分析】（1）将甲的数据按照从小到大的顺序排列，再按照百分位数的定义求解即可.（2）利用平均数和方差的公式求解出甲乙的平均数及方差，再根据方差的定义分析结果.解：（1）将甲的成绩从低到高排列如下：78，79，81，82，84，85，88，93，95，…………1分因为不是整数，………………2分所以选择第8个数作为分位数，即93.………………4分（2）甲成绩的平均数为，………………5分甲成绩的方差为：…………6分乙成绩的平均数为，………………7分乙成绩的方差为：，………………8分因为=，＜，………………9分甲的成绩比较稳定，所以派甲参加比较合适.………………10分21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求y的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值．【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出y的解析式；（2）利用基本不等式得出y的最小值及对应的x的值.【详解】（1）设隔热层建造厚度为cm，则……（5分）（2），……（8分）当，即时取等号……（9分）所以当隔热层厚度为时总费用最小万元.……（10分）22.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：PA∥平面COD；(2)求三棱锥P­ABC的体积．(1)证明：∵O，D分别是AB，PB的中点，∴OD∥AP.………（2分）又PA⊄平面COD，OD⊂