6.1.1向量的实际背景和概念讲义-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

————2（2021·浙江·高一课时练习）老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知向量，求作向量．4．（2021·上海·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．考点三向量相关概念的辨析【例3】（2021·上海·高一课时练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点精练】1．（2021·云南隆阳·高一期中）下列说法错误的是（）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量2．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）下列命题中正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线3．（2021·浙江·杭州市富阳区场口中学高一月考）下列说法错误的是（）A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等C．向量的模可以比较大小D．任一非零向量都可以平行移动4．（2021·上海·高一课时练习）下列命题中，正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点四相等向量与平行向量【例4】（2021·全国·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【考点精练】1．（2021·上海·高一课时练习）如图，、、分别是的边、、的中点，写出与共线（平行）的向量.2（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.3（2021·全国·高一课时练习）如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量则：（1）与向量相等的向量有_______；（2）与向量共线，且模相等的向量有________；（3）与向量共线，且模相等的向量有_______考点一向量与数量的区别【例1】（2021·全国·高一课时练习）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.故选：C【考点精练】1．（2021·安徽·定远县育才学校高一月考）以下选项中，都是向量的是（）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度【答案】D【解析】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．2．（2021·山西临汾·高一月考）下列各量中是向量的为（）A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度【答案】C【解析】向量是既有大小，又有方向的量，海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，加速度是向量，故选：．3．（2021·上海·高一课时练习）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】A【解析】速度、位移、力、加速度4个物理量是向量，它们都有大小和方向.故选：考点二向量的几何表示【例2】（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使＝4，点B在点A正东；（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．【考点精练】1．（2021·全国·高一课时练习）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.【答案】见解析【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示：2（2021·浙江·高一课时练习）老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?【答案】不能,理由见解析【解析】猫追不上老鼠,因为猫和老鼠跑的方向是不同的,所以猫的速度再快也追不上老鼠.3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知向量，求作向量．【答案】答案见解析【解析】如图所示，在平面内任取一点O，，∴，即为所求．4．（2021·上海·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．【答案】答案见解析.【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，向量如图所示，由已知可得，为正三角形，所以．又，，所以为等腰直角三角形，所以，．故向量的模为，方向为东南方向．考点三向量相关概念的辨析【例3】（2021·上海·高一课时练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．【考点精练】1．（2021·云南隆阳·高一期中）下列说法错误的是（）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量【答案】B【解析】A.规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；C.平行向量就是共线向量，故正确；D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；故选：B2．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）下列命题中正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线【答案】D【解析】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；对B，若和是都是单位向量，则=1，方向不一定相同，故B错误；对C，若，则与的夹角为或，故C错误；对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.故选：D.3．（2021·浙江·杭州市富阳区场口中学高一月考）下列说法错误的是（）A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等C．向量的模可以比较大小D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【解析】A.和长度相等，方向相反，故正确；B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.故选：B.4．（2021·上海·高一课时练习）下列命题中，正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;向量不能比较大小,C不正确;若，则,D,不正确.故选:B.考点四相等向量与平行向量【例4】（2021·全国·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【答案】（1），；（2）,，，，；（3），，，，.【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.【考点精练】1．（2021·上海·高一课时练习）如图，、、分别是的边、、的中点，写出与共线（平行）的向量.【答案】，，，，，，.【解析】根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有，，，，，，.故答案为：，，，，，，.2（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.【答案】和，和和，和【解析】（1），故和，和是共线向量.（2）和，和是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.故答案为：（1）和，和；（2）和，和；（3）.3（2021·全国·高一课时练习）如图所