新教材北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识 知识点重点难点归纳总结汇总

A，B，a，aAaA，B，a，aAaA，记作a∈A.aAaA，记作a∉

1集合...............................................................................................................................11、集合的含义.........................................................................................................12、集合的表示.........................................................................................................43、集合的基本关系.................................................................................................94、交集与并集.......................................................................................................125、全集与补集.......................................................................................................162常用逻辑用语.............................................................................................................191、必要条件与充分条件.......................................................................................192、全称量词与存在量词.......................................................................................233不等式..........................................................................................................................271、不等式的性质...................................................................................................272、基本不等式.......................................................................................................324一元二次函数与一元二次不等式..............................................................................361、一元二次函数...................................................................................................362、一元二次不等式及其解法...............................................................................433、一元二次不等式的应用...................................................................................47

1集合

1、集合的含义

知识点1元素与集合的相关概念1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母b，c，…表示．3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．知识点2元素与集合的关系1．属于：如果元素在集合中，就说元素属于集合2．不属于：如果元素不在集合中，就说元素不属于集合A.元素与集合之间有第三种关系吗？

aA自然数集*

*)有何区别？

*)是所有正整数组成的集合，而

*)多一个元素下列给出的对象中，能构成集合的是(B．②④D．③④[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.](1)下列所给关系正确的个数是(*；④|－5|∉N*.B．2D．4Aa∈A，有aB．2或4正整数集)))整数aA自然数集*

*)有何区别？

*)是所有正整数组成的集合，而

*)多一个元素下列给出的对象中，能构成集合的是(B．②④D．③④[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.](1)下列所给关系正确的个数是(*；④|－5|∉N*.B．2D．4Aa∈A，有aB．2或4正整数集)))整数集有理数集实数集正实数集这两种结果．知识点3常见的数集及符号表示

数集

符号NN或NZQRR＋＋N与N(N＋[提示]N(NN是由0和所有的正整数组成＋的集合，所以N比N(N0.＋疑难解惑类型1集合的概念【例1】①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校A．①C．①④C

判断所描述的对象构成集合的标准判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．

类型2元素与集合的关系【例2】

①π∈R；②2∉Q；③0∈NA．1C．3(2)已知集合含有三个元素2,4,6，且当6－a∈A，那么为(A．2

D．0(2)Ba＝4∈A,6－a＝2∈A，∴aa∈AaAa∉A2，则实数[因为中有两个元素和D．0(2)Ba＝4∈A,6－a＝2∈A，∴aa∈AaAa∉A2，则实数[因为中有两个元素和且a若1∈A，则或a＝1Aa＝－1Aa＝－1.[(1)π是实数，2是无理数，0不是正整数；|－5|＝5,5是a的取值范围是________．Aaaa≠aa≠0a≠a＝1aa＝±1.2，所以2，解得2＝1，即

(1)B正整数，则①②正确，故选B.(2)由题知，a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2或者＝4，综上知，a＝2,4.故选B.]

1．判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素与集合的关系求参数的思路当时，则一定等于集合中的某个元素．反之，当时，结论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．

类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素a和aa≠0且a≠11.]

本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数的值．[解]当时，集合有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当时，集合含有两个元素1，－1符合元素的互异性．∴

根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤

＋3＝32a＋1≠3xA＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B＋3＝32a＋1≠3xA＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表a或＋3≠3，2a＋1＝3，解得：a＝0或a＝1.]

2、集合的表示

知识点1列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？[提示]用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．知识点2描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．集合[提示]知识点3集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．3．空集：不含任何元素的集合，记作∅.{0}与∅相同吗？[提示]示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．

a，ba<b，我们规定：名称闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间区间[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)用列举法表示下列集合：符号[a，b](a，b)[a，b)(a，b]数轴表示数轴表示

知识点4a，ba<b，我们规定：名称闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间区间[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)用列举法表示下列集合：符号[a，b](a，b)[a，b)(a，b]数轴表示数轴表示1．区间的概念及记法设是两个实数，且定义{x|a≤x≤b}

{x|a<x<b}

{x|a≤x<b}

{x|a<x≤b}

2．无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义

{x|x≥a}

{x|x>a}

{x|x≤b}

{x|x<b}

(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？[提示](1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．疑难解惑类型1用列举法表示集合【例1】

xy＝2x＋1yxx＝0x＝1x＝－1，所以方程的解组成的集合为x＝0y＝2x＋1，xy＝2x＋1yxx＝0x＝1x＝－1，所以方程的解组成的集合为x＝0y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，用描述法表示下列集合：(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，*}．n≥3，从而用描述法表示此n≥3}．3＝x3＝x(2)方程的所有实数解组成的集合；(3)一次函数的图象与轴的交点所组成的集合．[解](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程的解是或或{0,1，－1}．(3)将代入故交点组成的集合是{(0,1)}．

用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．

类型2用描述法表示集合【例2】(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．[解]n∈N(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故集合为{x|x＝2n，n∈Z且

描述法表示集合的2个步骤

将下列集合用区间及数轴表示出来：A＝{x|kxkA.当时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.A＝{2}．k≠0将下列集合用区间及数轴表示出来：A＝{x|kxkA.当时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.A＝{2}．k≠0xkxΔ＝64－64k＝0，即k＝1.2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k＝02－8x＋16＝0同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．

类型3用区间表示集合【例3】(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．[解](1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：

(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：

(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：

区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．

类型4集合表示法的应用【例4】若集合的值，并用列举法表示集合[解]此时集合当时，则关于的一元二次方程有两个相等实数根，只需

xA＝{4}，满足题意．kk＝0k＝1Akk由题意得≠0，Δ＝－8k<1，且k≠0.AkxA＝{4}，满足题意．kk＝0k＝1Akk由题意得≠0，Δ＝－8k<1，且k≠0.Ak①当集合中含有1个元素时，由例4知，k＝0或Akxk≠0，Δ＝k>1.kk≥1}．axaa≠0Δ＝0，则方程有两个相等的实数Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．2－4×Ak＝1；22－4×k×16<0，2＋bx＋c＝0，当k×16>0，12综上所述，实数的值为0或1.当时，A＝{2}；当时，A＝{4}．

1．(变条件)若集合中有2个元素，求的取值范围．

[解]

解得2．(变条件)若集合中至多有一个元素，求的取值范围．[解]②当集合中没有元素时，方程－8x＋16＝0无解，即

－8

解得综上，实数的取值集合为{k|k＝0或

集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程＝0，b≠0时，方程有一个解；当时，若解；若(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．

集合相等AB，B，如果A⊆B，且AA≠B，那么称集合A都属于集合是集是集合集合相等AB，B，如果A⊆B，且AA≠B，那么称集合A都属于集合是集是集合的真子集，合的子集，记作记作A

A”)B”(或“B＝BA⊆A(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆AA，B，C，如果A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含真子集如果集合A是集合的子集，且

B，称集合ABBA⊆B(或BB(或BA)，称集合与集合B相等，记作A

A”)(1)若且若且C，则A＝C则对于两个集合与

B集合B也是集合A的子集，那么

读作“A真包含于ABBC，A＝BB＝(2)若A⊆ABA则B且A≠B，AC

1．Venn图用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集、集合相等、真子集子集

一般地，对于两个集合与如果集合中的任何一个元素概念A)，读作“A包含于B”(或

“B包含真包含

图示

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即结论(3)对于集合A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C

(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？[提示](1)不一定，如集合关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．疑难解惑

x|x是等腰三角形

x|x(x－1

x|－1<x<4x|x<5xx＝n＋12，n∈ZBA.ABAB.xx＝2n＋12xx|x是等腰三角形

x|x(x－1

x|－1<x<4x|x<5xx＝n＋12，n∈ZBA.ABAB.xx＝2n＋12xx＝n＋22x|x＝2n＋1，n∈Z}x|x＝n＋2，n∈Z}，所以AB.A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B})}}}|||}x＝12n＋1，∈Z.【例1】判断下列各组中集合间的关系．

(1)A＝{，B＝{x|x是等边三角形}；

(2)A＝{＝0，B＝{0，1；

(3)A＝{，B＝{；

(4)A＝，B＝x[解](1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故(2)A＝B.(3)把集合与在数轴上表示出来，根据定义易得

(4)A＝，n∈Z，B＝，n∈Z{{

判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设②若由若由无包含关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．

}{1，2，3，4，5}M.M}}}}}}}MA＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，m当B≠∅时，有m≤4.A，B，是否存在实数}{1，2，3，4，5}M.M}}}}}}}MA＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，m当B≠∅时，有m≤4.A，B，是否存在实数mA⊆B?A⊆B，则M⊆B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，2m－1≤7，＋1<－22m－1>7，该不等式组无解，故实数不存在．解得2＜m≤4.m＋1＜2m－1，m

【例2】已知{1，2，试写出满足条件的所有集合[解]集合含有元素1,2，且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：

含有3个元素：{1，2，3，{1，2，4，{1，2，5；

含有4个元素：{1，2，3，4，{1，2，3，5，{1，2，4，5；

含有5个元素：{1，2，3，4，5.故满足条件的集合共有上述7个集合．

求集合子集、真子集个数的3个步骤

类型3集合间的关系的应用【例3】已知集合求实数的取值范围．[解]m＋1≥－2，当

综上得

1．对于本例中的集合使

[解]

2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝

}”，其他条件不变，求实数m的取值范围．B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，＋1＜2m－1，2m－1≤－2，一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫作集合与}”，其他条件不变，求实数m的取值范围．B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，＋1＜2m－1，2m－1≤－2，一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫作集合与的交集，记作读作“A交A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}⊆A，BBA∩B＝A，则AB＋1＜2m－1，ABABA∩BB”B，A⊆B⇔A∩B＝Am＋1≥7，解得m≥6，综上得

[解]当

B≠∅时，有

m≤2或m≥6.

由集合的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．注意：(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．

4、交集与并集

知识点1交集

文字语言

符号语言

图形语言

A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)运算性质

(1)当集合无公共元素时，A与有交集吗？(2)若与有什么关系？[提示](1)有，交集为空集．

A∩B＝A，则A⊆B.一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫作集合与的并集，记作读作“A并A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}B)，A⊆B⇔A∪B＝BA∪BAA∩B＝A，则A⊆B.一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫作集合与的并集，记作读作“A并A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}B)，A⊆B⇔A∪B＝BA∪BABA∪BABAB(1){∩{x|x是等边三角形}＝________.

x|－1≤x≤2x|0≤x≤4x|0≤x≤2

x|0≤x≤4A＝{x|x＝3n＋2，n∈Z)B．4D．2(3)Dx|x是等腰三角形x|x是等边三角形ABABA∪BB”x|x是等腰三角形}}}}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B[(1)因为{⊆}}}

B．{

D．{x|x是等边三角形})

x|1≤x≤2

x|1≤x≤4}}}知识点2并集

文字语言

符号语言

图形语言

A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪运算性质

(1)集合的元素个数是否等于集合与集合的元素个数和？(2)在什么条件下，集合的元素个数等于集合与的元素个数之和？[提示](1)不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合与集合的元素个数和．(2)A∩B＝∅.疑难解惑类型1交集运算

【例1】

(2){∩{＝(

A.{

C.{

(3)已知集合

元素的个数为(A．5C．3

(1){x|x是等边三角形}(2)A

{x|x是等腰三角形}，

所以{∩{＝{x|x是等边三角

形}．

}.A∩B＝{8，14(1)设集合)B．{0，2}M＝{x|－3<x≤5)}x|－3<x<5})B．2D．4(2)A}A＝{x|x}

D．{－2，0，2}B．{}2(3)A2＋2x＝0}}，则x|－5<x<5

D．{x|x<－3，或x>5}[(1)因为，B＝{0,2}，所以}，B＝{x|x}.A∩B＝{8，14(1)设集合)B．{0，2}M＝{x|－3<x≤5)}x|－3<x<5})B．2D．4(2)A}A＝{x|x}

D．{－2，0，2}B．{}2(3)A2＋2x＝0}}，则x|－5<x<5

D．{x|x<－3，或x>5}[(1)因为，B＝{0,2}，所以}，B＝{x|xM∪N＝}}2}，则满足条A＝{0，－2A∪B＝{－2－2x＝0}，则}A∪B＝

所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2

(3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，

所以.]

1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．类型2并集运算

【例2】

(

A.{0}

C.{－2，0

(2)已知集合，N＝{x|x<－5，或x>5

(

A.{x|x<－5，或x>－3

C.{

(3)已知集合A＝{1，4，x，B＝{1，x，且A∪B＝{1,4，x件的实数x的个数为(A．1C．3

(1)D2,0,2}．(2)如图，在数轴上表示两集合，

M∪N＝{x|x<－5，或x>－3

A∪B＝{1，4，xx＝xx≠1，所以x＝0.]A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且AkB＝∅时，即M∪N＝{x|x<－5，或x>－3

A∪B＝{1，4，xx＝xx≠1，所以x＝0.]A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且AkB＝∅时，即k＋1>2k－1A∪B＝A.B≠∅时，要使A∪B＝A，4≥2k－1，k＋1≤2k－1，k≤52.kA∩B＝AA⊆B.≤－4，k≥52，k∈∅.k}.

2解得2≤k≤52.}2，又

(3)由，得

在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．

类型3由集合的并集、交集求参数【例3】已知集合∪B＝A，试求的取值范围．[解]①当时，k<2，满足②当－3<k＋1，只需

综合①②可知

1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求的取值范围．[解]由可知

－3≥＋1，2k－1≥4，k即

所以所以的取值范围为∅.

k＋1≤4，2k－1＝5，kA∩B＝A，A∪B＝BA∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算UUk＋1≤4，2k－1＝5，kA∩B＝A，A∪B＝BA∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算UUUA⊆U)，则由UAUAA.UA＝{x|x∈U，且x∉A}．U解得k＝3.的值．

由题意可知－3<

所以的值为3.

利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如(2)当集合B⊆时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．

5、全集与补集

1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号表示．全集包含所要研究的这些集合．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？[提示]全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．2．补集：(1)定义：设是全集，A是的一个子集(即中所有不属于的元素组成的集合，叫作中子集的补集，记作∁(2)符号：∁(3)Venn图

A)＝U.UA)＝∅.UU＝∅，∁A)＝A.UA)＝U.UA)＝∅.UU＝∅，∁A)＝A.UUUUA)∩(∁B)＝∁UUA)∪(∁B)＝∁UUA，A，UA⊆U，∁A⊆U，A∪(∁A)＝U，A∩(∁A)＝∅.UUUU，A＝{x|2<x≤3}，∁A＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，UB.UA＝{x|2<x≤3}，∁A＝{x|x>3}，如数轴：UU＝A∪(∁A)＝{x|x>2}，UB＝{x|2<x<4x≥6}．U设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁(A∪B)及(∁把全集R和集合在数轴上表示如下：x≥10}，A＝{x|x<3x≥7}，A、B①A∪(∁②A∩(∁③∁∅＝U，∁(∁④(∁⑤(∁∁[提示]疑难解惑类型1补集运算【例1】已知全集求∁[解]因为

所以所以∁或

求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．类型2交、并、补的综合运算【例2】R)∩B.R[解]

由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁(A∪B)＝{x|x≤2或R∵∁或R

A)∩B＝{x|2<x<3U＝R，A＝{x|x＋m≥0m

A＝{x|x＋m<0UAU}，由(∁A)UAA)∩B＝B”，求实数mUUA＝UUA)∩B＝{x|2<x<3U＝R，A＝{x|x＋m≥0m

A＝{x|x＋m<0UAU}，由(∁A)UAA)∩B＝B”，求实数mUUA＝UUAB)mUU

AA)mUUAA)UUA∩B＝A、A∪B＝B、∁A⊇B、A∩(∁BA)UU}，B＝{x|－2<x<4}，若(∁A)U}＝{x|x<－m)∩B＝∅，得){x|x<－m}，∁A⊇B，所以－m≥4，解得m≤－4.){x|x≥－m}，A⊇B，所以－m≤－2，解得m≥2.)))UU∩B}，A⊇B，R

解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

类型3补集及补集思想的应用

【例3】设全集

＝∅，求实数的取值范围．

[解]法一：∁

∵(∁∩B＝∅，

∴－m≤－2，∴m≥2.

法二：A＝{x|x≥－m

∴－m≤－2，∴m≥2.

1．若将本例中的“(∁∩B＝∅”改为“(∁的值．

[解]由已知得∁

2．若将本例中的“(∁∩B＝∅”改为“(∁∪A＝R”，求实数的值．

[解]由已知得，A＝

3．若将本例中的“(∁∩B＝∅”改为“(∁∩B≠∅”，求实数的值．

[解]由例3知，当(∁∩B＝∅时，m≥2，所以当(∁∩B≠∅时，m<2.

1．要注意下面五个关系式∁＝∅、(∁

A⊆BU，求子集A，若直接求AA，再U(∁A)Up，则q”是真命题时，称qpqA⊆BU，求子集A，若直接求AA，再U(∁A)Up，则q”是真命题时，称qpqqpp，则q”是真命题时，称pqp，则q”，即p⇒qqpqqpqp；pq.这五种表述形式等价吗？(1)相同，都是p⇒q，且q⇒p，那么称pqpqp⇔q.A.p⇒q.2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集困难，则可先求∁

由∁U＝A求

2常用逻辑用语

1、必要条件与充分条件

知识点1必要条件与性质定理一般地，当命题“若是的必要条件．也就是说，一旦不成立，p一定也不成立，即对于的成立是必要的．知识点2充分条件与判定定理一般地，当命题“若是的充分条件．综上，对于真命题“若时，称是的必要条件，也称p是q的充分条件．(1)p是的充分条件与是的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是的充分条件；③q的充分条件是④q是的必要条件；⑤p的必要条件是[提示](2)这五种表述形式是等价的．知识点3充要条件(1)一般地，如果是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作

qqqpqppqpqqq”的区别在哪里？pqp⇔q，即pq.qpqq下列各题中，qqqpqppqpqqq”的区别在哪里？pqp⇔q，即pq.qpqq下列各题中，p是的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、x＝2，q：x－1＝x－1；x＝1x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1x＝2，pqp⇒q.反之，p.pqxy>0x<0，y<0.pq，但q⇒p.pq四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，pqq价”．(3)当是的充要条件时，q也是的充要条件．(1)若是的充要条件，则命题和是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是的充要条件”与“p的充要条件是[提示](1)正确．若是的充要条件，则等价于(2)①p是的充要条件说明是条件，q是结论．②p的充要条件是说明是条件，p是结论．疑难解惑类型1充分、必要、充要条件的判断【例1】充要、既不充分也不必要条件)

(1)p：x＝1或(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

[解](1)因为或或所以是的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q所以是的充分不必要条件．(3)因为时，x>0，y>0或故所以是的必要不充分条件．

(4)因为四边形的对角线相等

所以是的既不充分也不必要条件．

充分、必要、充要条件的判断方法

p⇒q，qp，则pqpq，q⇒p，则pqp⇒q，q⇒p，则pqpq，qp，则pqp⇒q，qp，则pqpq，q⇒p，则pqp⇒q，q⇒p，则pqpq，qp，则pqA＝{x|xp}，B＝{x|xq}，具体情况如下：A⊆B，则pqA⊇B，则pqA＝B，则pqAB，则pqAB，则pq已知是的充分不必m由是的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－1＋m>1－m1－m<－21＋m≥10m≥9.mm≥9.qqmpqx|1－m≤x≤1＋mm<0

x|1－m≤x≤1＋mm≥0p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若pqpq，或}}1－m≤－21＋m>10，若是的充分不必要条件；若是的必要不充分条件；若是的充要条件；若是的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合满足条件满足条件若是的充分条件；若是的必要条件；若是的充要条件；若是的充分不必要条件；若是的必要不充分条件．类型2必要条件、充分条件的应用【例2】要条件，求实数的取值范围．[解]m≤x≤1＋m}的真子集，1＋m>1－m所以

解得所以实数的取值范围是

1．把本例中的“p是的充分不必要条件”改为“p是的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数的取值范围．[解]由是的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，

当{＝∅，即时，符合题意；

当{≠∅，即时，

1－m>－21＋m≤101－m≥－2mm≤3.m，使pqmpq

x|1－m≤x≤1＋mx|－2≤x≤10，1－m>－21＋m≤101－m≥－2mm≤3.m，使pqmpq

x|1－m≤x≤1＋mx|－2≤x≤10，mpq；pq求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条ax，}}ax2＋bx＋c＝0，1＋m<102＋bx＋c＝0可得

m≥0或

解得0≤m≤3.综上得，实数的取值范围是2．本例中，是否存在实数是的充要条件，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．[解]若是的充要条件，

则{＝{，

m即1－＝－21＋m＝10

由于该方程组无解，所以实数不存在．

利用必要条件与充分条件求参数的取值范围(1)化简与(2)把与之间的关系转化为相应集合之间的关系；(3)利用集合之间的关系建立不等式；(4)解不等式求参数的取值范围．

类型3充要条件的探求与证明【例3】

件是ca<0.

[证明]①必要性：因为方程有一正根和一负根，所以两根

之积小于零，即ca<0.

ac<0，所以Δ＝baxx

xxaxac<0，所以Δ＝baxx

xxaxq”，那么“充分性”q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“pq2－4ac>0，所以方程2＋bx＋c＝0a<0，2＋bx＋c＝0

有两个相异实根，设这两个实根分别为，x，由一元二次方程根与系数的关系12

得＝c12

所以两根异号．

综上所述，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是ca

<0.

充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是是是的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．

2、全称量词与存在量词

知识点1全称量词命题与全称量词1．全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．2．全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？

该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．xx∈R，xp：∀x∈M，xp(x)的否定为：∃x∈M，xp(x)．该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．xx∈R，xp：∀x∈M，xp(x)的否定为：∃x∈M，xp(x)．p：∃x∈M，xp(x)的否定为：∀x∈M，xp(x)．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：a，b2－1<02－1<0”．知识点2存在量词命题与存在量词1．存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．2．存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．“不等式有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题．[提示]是存在量词命题，可表示为“∃知识点3全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)全称量词命题具有性质不具有性质2．存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．(2)存在量词命题具有性质不具有性质如何对省略量词的命题进行否定？[提示]对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．疑难解惑类型1全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数能使|a－b|＝|a|＋|b|；

(1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称x，y，使x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M

xp(xMp(x)成立的x判断下列命题的真假：x∈Z，xP；(1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称x，y，使x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M

xp(xMp(x)成立的x判断下列命题的真假：x∈Z，xP；x∈N，x(1)因为－1∈Z，且(－1)2＝0，所以命题“∀2>0”是假命题．)03<1；2>0.3＝－1<1，所以“∃3<1”是真命题．x∈N，xx∈Z，x[解]量词命题．(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题．(3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改表述为“存在一对整数3x－2y＝10成立”．故为存在量词命题．

1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．2．存在量词命题真假的判断

要判断存在量词命题“存在中找到

一个元素，使得成立即可；如果在集合中，使得不存0在，那么这个存在量词命题就是假命题．注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

类型2全称量词命题、存在量词命题的真假判断【例2】(1)∃(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点(4)∀[解](2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,0

Mxp(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合Mx，p(x)不成立即可．M(1)命题“∀x<0，xx<0x≥0，xx<0x∈Z，xx∈Z，xx∈Z，xx∈Z，xx∈Z，x(2)Dx≥0，x33＋2＋2x＋m≤0”的否定是(2＋2x＋m>02＋2x＋m>02＋2x＋m≤02＋2x＋m>0Mxp(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合Mx，p(x)不成立即可．M(1)命题“∀x<0，xx<0x≥0，xx<0x∈Z，xx∈Z，xx∈Z，xx∈Z，xx∈Z，x(2)Dx≥0，x33＋2＋2x＋m≤0”的否定是(2＋2x＋m>02＋2x＋m>02＋2x＋m≤02＋2x＋m>03＋x≥0”的否定是(B．∃D．∀))x<0，xx≥0x≥0，xx<03＋3＋(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证中的一个使得(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．

类型3含有一个量词的命题的否定【例3】A．∃＋C．∃(2)命题“存在A．存在B．不存在C．对任意D．对任意[答案](1)C

含有一个量词的命题的否定(1)首先找到命题中的量词与结论，然后把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，通常省略的是全称量词，先补上相应的量词，再进行否定．

a－ba>b；如果a－ba＝b；如果a－ba<b，反过来也成立．a，bq，qp，即pa－ba>b；如果a－ba＝b；如果a－ba<b，反过来也成立．a，bq，qp，即pqa>b，且b>c，那么a>c.a>b，那么a＋c>b＋c.a>b，c>0，那么ac>bc；a>b，c<0，那么ac<bc.a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；a>b>0，c<d<0，那么ac<bd.a>b>0a>b，其中n∈Na>b，c>d，那么a＋c>b＋da>b，c>d，那么ac>bd成立吗？a－d>b－ca>b>0，c>d>0n

1、不等式的性质

知识点1实数大小比较的基本事实1．文字叙述如果是正数，那么等于0，那么是负数，那么2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.(1)在比较两实数大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？(2)p⇔q的含义是什么？[提示](1)是．(2)p⇔q的含义是：p可以推出也可以推出与可以互推．知识点2