黑龙江省哈尔滨市万隆第一中学2021年高三数学文月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市万隆第一中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则为()A．B．C．D．参考答案：C试题分析：由题可知，，解得或，即集合，当时，集合，因此；考点：集合的运算2.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30°

B．45°

C．60°

D．75°参考答案：C3.若，则成立的一个充分不必要的条件是A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.己知抛物线方程为（），焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则的值为（

）A．2

B．

C．2或

D．2或参考答案：A略5.若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B考点： 复数相等的充要条件．

专题： 数系的扩充和复数．分析： 首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．解答： 解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．点评： 本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．6.如果执行右面所示的程序框图，那么输出的（A）2352（B）2450（C）2550（D）2652参考答案：C略7.设等比数列{}的前n项和为

，若

=3，则

=(

)

A．2

B．

C．

D．3参考答案：B8.已知向量，若共线，则m的值为A. B.2 C. D.参考答案：D略9.已知实数x，y满足的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为

A．

B．

C．

D．

参考答案：10.若集合，，则（）（A）{0,5}

（B）{1,2,4}

（C）{1,2,3,4}

（D）{0,1,2,3,4,5}参考答案：D，本题选择D选项.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数，满足，目标函数的最大值为

．参考答案：-1如图区域为开放的阴影部分，可求，函数过点时，.

12.若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．参考答案：[3，+∞）考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}?B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．解答：解：|x﹣1|＜a?1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜00＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．13.函数的最小正周期=

．参考答案：2π14.在中，若，则的面积的最大值为___________.参考答案：15.中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________.

参考答案：略16.设是上的奇函数,.当时有,则

.参考答案：17.如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分，且AE=2，则AC=

；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知曲线C：．（1）由曲线C上任一点E向轴作垂线，垂足为F，点P分所成的比为，求点P的轨迹.P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；（2）如果直线l的斜率为，且过点M（0，），直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．参考答案：解析：（1）设，则，∵点P分所成的比为

∴

∴

∴

代入中，得为P点的轨迹方程.

当时，轨迹是圆。……6分（2）由题设知直线l的方程为，

设联立方程组

，消去得：.∵方程组有两解

∴且

∴或且

…………8分又已知

，M、A、B三点共线，由向量知识得或

，而

∴又∵

∴

解得（舍去）或

∴曲线C的方程是.

……………１2分19.几何证明选讲

如图6，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点。

（I）求证：DE2=DB·DA.

（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长.参考答案：略20.2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计这300名观众评分的中位数；（2）若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94)与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．参考答案：解：（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则y＝84．（2）以样本的频率作为概率，评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94，100]上的概率．

21.已知P-ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且，如图所示.（Ⅰ）求证：PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量证明平面；（Ⅱ）求出平面和平面的法向量，利用空间向量数量积，可以求出二面角的平面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：，由于点在平面的射影为三角形的中心，设，所以，，而，，平面，所以平面；（Ⅱ）由中点坐标公式可知：，由可知:，解得，设平面的法向量为，因为，所以，取，解得，平面的法向量为，所求二面角的平面角为，则，二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，