湖北省武汉市汉南区第一中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

湖北省武汉市汉南区第一中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25π B．26π C．27π D．28π参考答案：D【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：D．2.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．3.已知点,,,，则向量在方向上的投影为（

）（A） （B）

（C）

（D）参考答案：A略4.在等比数列中，若，则该数列的前10项和为

A．

B.

C.

D.参考答案：答案：B解析：由，所以5.“a＞b＞0”是“ab＜”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6.等差数列{an}中，已知a6+a11=0，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时的n的值为(

)A．6

B．7

C.8

D．9参考答案：C7.设全集,集合,,则集合=（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B8.函数的图象大致是（

）

参考答案：A试题分析：因为当x=2或4时，，所以排除B、C；当x=-2时，，故排除D，所以选A．考点：函数的图象与图象变化．9.已知双曲线的左右焦点为、，抛物线的顶点在原点，准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为

（

）A．

B． C．

D．参考答案：答案：B10.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C【考点】等比数列【试题解析】由题知：因为

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为

.参考答案：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.12.函数的最小正周期为__________.A．

B．

C．

D．参考答案：A13.若直线的倾斜角是,则

(结果用反三角函数值表示).参考答案：14.“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是

参考答案：15.设a+b=2,b>0,则的最小值为______参考答案：16.设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：作出直线所围成的区域，

如图所示，，当时，满足题意.

17.抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，P为该抛物线上的动点，则a=

；线段FP中点M的轨迹方程为

参考答案：；．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==19.（本小题满分12分）设

（I）求在上的最小值；

（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。参考答案：解：（I）设；则

……（2分）

①当时，在上是增函数………………（3分）

得：当时，的最小值为………（4分）

②当时，………………（6分）

当且仅当时，的最小值为

………………（7分）（II）………………（8分）

由题意得：………………（12分）20.某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ=85，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ﹣3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度．（1）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；（2）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ε，求ε的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，因为μ﹣3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由样本条形图可得所求的概率．（2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，可得所求概率．（3）需矫正速度的个数ε服从二项分布，即?～B，即可得出．【解答】解：（1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，因为μ﹣3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由样本条形图可知，所求的概率为．（2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，故所求概率为．（3）需矫正速度的个数ε服从二项分布，即?～B，∴，，，因此ε的分布列为ε012P由?～B，可知数学期望E（?）=2×=．21.（本小题满分13分）已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线．（Ⅰ）若函数为奇函数，且当时有极小值为，求的值；（Ⅱ）若直线，直线与曲线切于点且交曲线于点，直线和与曲线切于点且交曲线于点，记点的横坐标分别为，求的值．参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.B11【答案解析】(I)(II)解析：解：（Ⅰ）∵，为奇函数，∴，即，∴b=0，∴，则，又当时有极小值为，∴

即∴

即，经检验满足题意；∴；（Ⅱ）令，由及得，∴由得，即；

将与联立化简得，∴，∴，同理，∴，，，∴【思路点拨】（1）（i）由函数为奇函数求得b，再由当x=1时f（x）有极小值为﹣4列式求出a，c的值；（ii）设（x0，y0）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得，由此得到y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程结合f′（﹣1）=0，f（﹣1）=4，可知y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）．再设另两条切线切点分别为（x1，y1），（x2，y2），求出直线l1和l2的方程，令y=4求得且，可知x1，x2是方程的两解，然后构造辅助函数，再利用导数求出m的取值范围；（2）令xB=x1，xC=x2，由直线l1∥l2得到两点横坐标的关系，再通过求解方程组求得点D和点A的坐标，得到（xA﹣xB），（xB﹣xC），（xC﹣xD），则答案可求．22.（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．（I）求证：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，即F为PC中点，可得，（Ⅲ）假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，?面PAB∥面PDC，与已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD为正方形