方程的根与函数的零点（朱敬祖）

平静如水卓尔不群安静是一种性格也是一种品质2第三章《函数的应用》函数——是应用广泛的数学模型主要表现在两个方面：一方面，在数学中，函数是基本的研究对象，与其它研究对象有着密切联系，例如函数与方程；另一方面，在日常生活中，函数是描述变化规律的重要数学模型，一旦将客观现象用函数表示出来，就可以对现象给予分析和解释，明确现象的规律和特征．4第三章《函数的应用》§3.1方程的根与函数的零点我们的目标

经历由特殊到一般、由具体到抽象的探究学习后，能用语言描述函数零点的意义，并在探索的过程中发现方程的根与函数零点之间的等价关系，进而能用函数零点解决简单的问题.6问题：我们思考？1、当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？2、回顾：我们以前是如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？3、对于一元二次方程除了用判别式可以判断方程根的情况，还有其他的方法吗？4、请采用不同的方法判断一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况．【方案1】【方案2】问题探究因为一元二次方程x2-2x-3=0的判别式

所以一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根．因为一元二次方程x2-2x-3=0可以化为

所以一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根x1=3，x2=-1．74、请采用不同的方法判断一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况．8问题探究【方案3】因为函数f(x)=x2-2x-3的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，所以函数f(x)=x2-2x-3的图像与x轴有两个交点（如图）(-1,0)，(3,0).于是，使f(x)=0的x的值恰好是一元二次方程x2-2x-3=0的实数根.

所以一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根x1=3，x2=-1．xyo1-3xyo1-3【方案3带给我们的思考】问题探究1、对方程x2-2x-3=0的实数根问题的研究可以转化为和它对应的二次函数f(x)=x2-2x-3的图象与x轴的交点问题的研究．2、推广到一般情况，二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)实数根的问题可以转化为与之对应的二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴的交点问题的研究．3、推广到更一般情况，对于方程f(x)=0实数根的问题研究可以转化为与之对应的函数y=f(x)的图象与x轴的交点问题的研究．910【方案3带给我们的思考】问题探究4、方程f(x)=0的实数根是对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．11建构数学函数零点的概念：

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.思考？1、我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？2、结合函数零点的定义和探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？12函数y=f(x)有零点方程的根与函数零点的等价关系建构数学方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点数形统一体

应用与实践

判断下列函数是否有零点几何法1314问题：我们思考？如果不转化方程的结构，这个问题就真的解决不了吗？试想：难点：图象不会画！大胆设想：我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？代数方法15问题探究我们再观察：

当函数f(x)=x2-2x-3的图像穿越x轴时的这一几何现象，如何用代数形式来描述呢？函数零点的左右两侧函数值异号!xyo16问题探究我们明确一下这个结论：

函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间(a,b)上存在零点？xyo思考：17零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．建构数学18对定理的深入理解1、若只给条件f(a)·

f(b)<0，能否保证函数在(a,b)上有零点?2、函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？在[-1,1]上图像不连续定理适合变号零点19对定理的深入理解3、若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？4、满足定理条件的零点唯一吗？怎样情况下零点唯一？在[a,b]上是单调函数不一定20解决初始问题：应用与实践思维流程：实根个数21回顾与总结学习的主要内容有：1、知识点方面：化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的数学思想.2、数学思想方法方面：22课后作业1、请在作业中，用简洁的语言记录下本节课的体会和收获，并反馈你的疑惑和困难.2、课本P103

练习2#(2)、(3)；课本P108

习题3—12#.3、课后探究：已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值时能分别满足下列条件：①有2个零点;②3个零点;③4个零点.231、函数f(x)=2x3-8x的零点为（）A.(0,0)，(2,0) B.0，2C.(–2,0)，(0,0)，(2,0)D.–2，0，2巩固练习D2、对于定义在R上的函数y=f(x)，若f(a)f(b)<0(a<b)，则函数y=f(x)在(a,b)内（）A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法确定有无零点B243、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：内化练习x1234567f(x)239–711–5–12–26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有