4.5.1函数的零点与方程的解教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1A（2019）必修一（一）课时教学内容函数零点的概念;函数零点、方程的解、函数图象与𝑥轴交点的横坐标三者的等价关系;函数零点存在定理的导出及应用.（二）课时教学目标在探究活动中，得出函数零点存在定理并辨析其条件，感受数形结合思想，培养直观想象和逻辑推理素养.在利用函数零点存在定理解决方程问题、函数零点问题的过程中，发展数学运算素养.（三）教学重难点重点：函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用.难点：函数零点存在定理的导出.（四）教材分析教材来源：2019年人教A第四章第五节函数的应用(二)第一小节.地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程.（五）学情分析学生在认识一元二次函数的零点的过程中，已经初步理解了一元二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备.但对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的关系的认识比较模糊，且在函数零点存在定理的导出过程中，涉及到将形转化为数、从几何直观到代数表达的过程，这是学生学习的一个难点.同时，如何在初学函数零点存在定理后对其加以正确应用也具备一定难度.（六）课型新授课，1课时（七）教学时间分配课前准备：微课学习（6分钟）作业完成（20分钟）教学过程：复习回顾，概念生成（10分钟）追溯历史，问题提出（2分钟）活动探究，归纳概括（12分钟）定理辨析，应用升华（18分钟）课堂小结，升华理解（3分钟）（八）教学准备究任务卡（九）教学方法教法上，主要采用引导式发现法、讲授法、直观演示法等.学法上，主要采用讨论法、探究法、练习法以及自主学习法等.（十）教学过程设计引言：感受到了分段函数、幂函数等数学模型在现实世界中的应用.今天让我们接着来探究函数在数学的内部世界又有哪些应用——请看本节4.5.1程的解.【复习回顾，概念生成】回顾二次函数的零点的定义：对于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，我们把使𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的实数x叫做二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的零点.问题一𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)零点的定义吗？（随机提问）是将二次函数的解析式替换为一次函数的解析式.预设答案：一次函数零点的定义为：对于一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)，我们把使𝑎𝑥+𝑏=0的实数x叫做一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏的零点.对学生而言是比较困难的.从学生熟悉的一次函数入手，贴近学生的“最近发展问题二：对于一般函数𝑦=f(x)，你能给出𝑦=f(x)零点的定义吗？𝑦=f(x)板书在白板上.预设答案：一般函数零点的定义为对于一般函数𝑦=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数𝑦=f(x)的零点(zeropoint).设计意图：经过前面一次函数零点的过渡，学生由特殊到一般、由浅入深、循序渐进自然地类比得到一般函数零点的定义.课前自测评析与讲解例1：函数f(x)=x2-2x-3的零点是（）.A.(-1,0),(3,0) B.(1,0),(-3,0) C.-1,3 D.1,-3x轴交点的横坐标，最后总结“零点非点”.预设答案：函数f(x)=x2-2x-3的零点就是使x2-2x-3=0的实数x，求该函数的零点就是求方程x2-2x-3=0的实数解；画出函数的图象后，就是函数图象与与x轴交点的横坐标：错误的原因是将函数的零点当成了点，认为所求结果就是点坐标,需要注意到“零点非点”.例2:求下列函数的零点：（1）f(x)=2x+3（2）f(x)=2x－422y=2x－4程解的个数时可以转化为两个函数图象的交点问题.（1）f2x32+302x+3=0的实数解；画出函数的图象后，就是函数图象与与x轴交点的横坐标：（2）f(x)=2x－42x－4=02x－4=0的实数解；画出函数的图象后，就是函数图象与与x轴交点的横坐标：教师补充：2x－4=02x－4=0判断该方程解的个数，即判断两个函数f(x)=2x与g(x)=4图象交点的个数.1212（2）为后面习题的一种思路做了铺垫.3：x轴交点横坐标三者之间的等价关系，并将相应关系板书于白板上.最后老师提问这道题完成较好的同学，分享求函数零点的常用方法.预设答案：利用函数零点的等价关系 函数y=f(x)的零点y=f(x)x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点函数y=f(x)的零点【追溯历史，问题提出】设计意图：前面涉及到的方程可以直接求解，但ln𝑥+2𝑥−6=0这个方程不能后继学习，进一步领会将方程问题转化为函数问题处理的必要性．【活动探究，归纳概括】f(x)=x2-2x-3出发，展开探究.二次函数：f(x)=x2-2x-3它的图象，思考零点附近函数值的变化规律：这个函数共有两个零点，两个零点所在的区间分别为 和 .在区间[-2,0]上有零点，f(-2)·f(0) 0.在区间[2,4]上有零点，f(2)·f(4) 0.一定会在该区间内“穿过”x轴,即在区间内一定有零点存在.预设答案：两个零点所在的区间分别为[-2,0]、[2,4].在区间[-2,0]上有零点，f(-2)·f(0)<0.在区间[2,4]上有零点，f(2)·f(4)<0.用.在该区间内函数一定有零点存在.那对于一般函数是否有类似的规律，我们又可否借助该规律给出判定一般函数给定区间存在零点的条件呢？一般函数：AB点或𝐵′点并随意摆放（不回折）细线，合作探究以下问题:B点时,细线在[a,b]x轴一定有交点?另一端在𝐵′点时,细线在[a,b]x轴一定有交点?通过细线模拟函数图象，函数图象的端点在什么情况下,函数必存在零点?f(a)、f(b)的值刻画(3)中的情况?剪断细线,(3)中的结论是否还成立?（实物展台）教师在学生开始探究前，让学生明确知道以下活动是针注意事项后，同桌之间合作完成探究.教师在学生探究过程中来回视察，给予适当指导.探究结束后，一组同桌作为代表，展示探究的过程，并回答探究问题.预设答案：(1x1.(2x0.(3x轴的两侧.(4)f(a)·f(b)<0.x轴.同时的问题为学生后期对函数零点存在定理辨析找反例提供了思路.数𝑦=∈[𝑎𝑏]预设答案：y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0y=f(x)在区间(a,b)c∈(a，b)f(c)=0cf(x)=0的解．归纳的学习习惯.【定理辨析，应用升华】问题四：判断下列说法是否正确，如果不正确，请举出反例.(1y=f(x)在区间[a,b]f(a)f(by=f(x)在区间(a,b)内一定有零点;(2y=f(x)在区间(a,b)f(a)f(b0;若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内没有零点;若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点.（全班作答，大数据分析）半的时间迅速提交.根据大数据反馈与学生画出的反例，进行应用函数零点存在介绍“变号零点”与“不变号零点”.预设答案：(1)错误，分段函数𝑓(𝑥)={𝑥−1,𝑥<0…𝑥+2,𝑥≥0(2)错误，二次函数f(x)=x2…(3)错误，二次函数f(x)=-x2…(4)错误，分段函数

(𝑥)

𝑥2+3𝑥,𝑥<0={−𝑥2+3𝑥,𝑥≥0…设计意图：在利用细线模拟函数进行探究的过程中,大部分的反例学生已经摆出过，这里让学生们通过自己作图画反例再次加深对于定理的辨析与理解.问题五：判断方程ln𝑥+2𝑥−6=0是否有解？如果有解，请问有几个解？师生活动：(拍照讲解)预设答案：思路1：想通过画对应函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6图象，进而确定方程解的个数，但在作图过程中发现遇到困难，此时需要借助于信息技术工具：解：画出函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6的图象由图象知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6只有一个零点，即方程ln𝑥+2𝑥−6=0有解且只有一个实数解.思路2：函数零点存在定理+单调性解：对函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6，𝑥∈(0,+∞).𝑓(1)=ln1+2×1−6=−4<0,𝑓(2)=ln2+2×2−6=ln2−2<0,𝑓(3)=ln3+2×3−6=ln3>0,所以𝑓(2)⋅𝑓(3)<0.又因为函数图象是连续不断的，由函数零点存在定理知𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6在区间(2,3)内至少有一个零点.易得，𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6，𝑥∈(0,+∞)是增函数,所以函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6只有一个零点，即方程ln𝑥+2𝑥−6=0有解且只有一个实数解.思路3：结合前面关于方程2x－4=0实数解情况判断的补充思路，转化为两个函数图象的交点问题解：判断方程ln𝑥+2𝑥−6=0的解的情况，即判断方程ln𝑥=−2𝑥+6的解的情况，即判断函数𝑓(𝑥)=ln𝑥与函数𝑔(𝑥)=−2𝑥+6图象交点的情况，由交点个数为1，得到方程ln𝑥+2𝑥−6=0有解且只有一个实数解.讲出解题思路，针对学生遇到的困难加以适当引导，让学生真实感受到函数的下节课“二分法的教学埋下伏笔”.【课堂小结，提升理解】法？师生活动：学生思考结束后，请学生代表发言，教师补充完善.预设答案：连续的函数在某区间上存在零点的判定方法;函数图象与性质的应用.想.容的清晰认知结构3.判断方程3.判断方程ln𝑥+2𝑥−6=0是否有解？如果有解，请问有几个解？(1)图象法𝑓(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−6定理+单调性两个图象交点唯一确定+4.5.1函数的零点与方程的解1.零点：对于一般函数𝑦=f(x)，使f(x)=0的实数x.2.定理：函数𝑦=f(x)，𝑥∈[𝑎,𝑏](a,b)内至少有一个零点存在（十二）目标检测设计1.求函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑔