广东省汕头市爱华中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广东省汕头市爱华中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线参考答案：A略2.抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.等差数列中,则的前9项和(

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知函数，且.为的导函数，的图像如右图所示.若正数满足，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是（）A．1 B．2 C．2 D．4参考答案：B【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据积分的几何意义即可求出对应的面积．【解答】解：由得x3=2x，解得x=0或x=或x=﹣，则由对称性可知所求面积S=2（2x﹣x3）dx=2（x2﹣x4）|=2（2﹣）=2（2﹣1）=2，故选：B6.设，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7π B．19π C． D．参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以∠BDC=120°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：A8.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（

）

参考答案：A对称轴，直线过第一、三、四象限9.直线沿轴向左平移一个单位，所得直线与圆相切，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=（

）A．

B．—

C．

D．—参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，tanα=2，则cosα=．参考答案：【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值．【解答】解：∵已知，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tanα=2=，sin2α+cos2α=1，则cosα=，故答案为：．12.设角，则的值等于

．参考答案：略13.如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】先作出椭圆的右焦点F′，根据条件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐标，由两个向量的数量积的性质得出a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．【解答】解：设椭圆的右焦点为F′，由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F′（c，0），∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，∴∠BAO+∠BF′O=90°，∴?=0，∴（a，b）?（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得

e=，故答案为：．14.已知向量和向量的夹角为，，，则向量和向量的数量积_________.

参考答案：3略15.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x元456789销量y元908483807568由表中数据，求得线性回归方程为，若从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心，代入回归方程解出a，得到回归方程，再计算当x=4，5，6，…9时的预测值，找出真实值比预测值小的点的个数，利用古典概型的概率公式计算概率．【解答】解：=，=80，∴a==106，∴回归方程为=﹣4x+106．计算预测销量如下：单价x元456789销售量y908483807568预测销售量908682787470∴销售量比预测销量少的点有2个，∴从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率P=．故答案为．16.已知Φ，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为________

参考答案：

217.已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为．参考答案：[2，10）【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式＞2转化为（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知，解不等式组即可确定k的取值范围．【解答】解：∵x2+x+2＞0，∴不等式＞2可转化为：kx2+kx+6＞2（x2+x+2）．即（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．当k=2时，不等式恒成立．当k≠2时，不等式（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0恒成立，等价于，解得2＜k＜10，∴实数k的取值范围是[2，10），故答案为：[2，10）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)在如图的直三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：∥平面；(2)求异面直线与所成的角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值；参考答案：解：因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5，所以两两互相垂直，。如图以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴建立空间直角标系，

……………2分则，

.（1）设与的交点为，连接,则则

∴∥，∵内，平面∴∥平面

；……………4分（2）∵

∴，.

…6分∴；∴所求角的余弦值为

.

………8分（3）设平面的一个法向量，则有：

，解得，………….10分设直线与平面所成角为.则

所以直线与平面所成角的正弦值为……..12分略19.在平面直角坐标系中，平面区域中的点的坐标满足，从区域中随机取点．（Ⅰ）若，，求点位于第四象限的概率；（Ⅱ）已知直线与圆相交所截得的弦长为，求的概率．参考答案：解：（Ⅰ）若，，则点的个数共有个，列举如下：；；；；

．当点的坐标为时，点位于第四象限．故点位于第四象限的概率为．（Ⅱ）由已知可知区域的面积是．因为直线与圆的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为，所以扇形的面积为，则满足的点构成的区域的面积为

，所以的概率为．20.（本题9分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为。证明：。注：可用（Ⅰ）的结论。参考答案：解：（Ⅰ）。

1分当时，，所以为增函数，又，因此当时，。

3分（Ⅱ）。

5分又，，…，所以。

6分由（Ⅰ）知，当时，，因此。

7分在此式中令，则即。

8分所以。

9分21.如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）P、M两点间的距离|PM|；（2）线段AB的长|AB|．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y2=2x，利用参数的几何意义求出P、M两点间的距离|PM|；（2）利用参数的几何意义求出线段AB的长|AB|．【解答】解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2﹣15t﹣50=0，则△=（﹣15）2﹣4×8×（﹣50）＞0．设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=﹣由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|t1+t2|=（2）|AB|=|t2﹣t1|==．22.已知函数．（1）求函数的图象在x=e处的切线方程；（2）求函数的最小值.参考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由导数的几何意