山东省烟台市莱州过西中学高三数学理上学期摸底试题含解析

山东省烟台市莱州过西中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A.试题分析：由题意得，，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过点的一条直线，如下图所示，当直线与圆相切时，，∴，故选A.考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．2.已知函数，若a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则的取值范围是（

）

A．(1，2017) B．(1，2018)

C．[2，2018] D．(2，2018)参考答案：D设，因为当时，为增函数，故．又，，，也就是．如图，因有3个不同的解，所以，故，故，选D．

3.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（

）A．得分在[40,60)之间的共有40人

B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5

C.这100名参赛者得分的中位数为65

D．估计得分的众数为55参考答案：C4.下列四种说法中，①命题“存在”的否定是“对于任意”；②命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；③已知幂函数的图象经过点，则的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是.说法正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A略5.(

)A． B． C． D．参考答案：B略6.如图，已知正方形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(1,0)

B(1,1),C(0,1)),现向该正方体内部随机投1000个点，统计出所投点落在阴影部分的个数为328，由此估计图中阴影部分的面积为（）

A．0.328

B．0.672

C．0.3

D．0.7参考答案：A略7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h的值为（

） A．

B．C．

D．参考答案：B略8.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.

B.

C.

D.

8参考答案：9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知x，y满足约束条件，目标函数z=x2+y2的最小值为（）A．13 B． C． D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，所以原点到图中AC的距离即为所求，d=，所以目标函数z=x2+y2的最小值为；故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一个正三棱柱的各条棱均与一个半径为的球相切，则该正三棱柱的体积为____________参考答案：略12.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．参考答案：由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．13.将正整数1,2,3，……，n,……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行、第j列的数可用（i,j）表示，则2015可表示为

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123

第2行987654

第3行1011121314151617…………

参考答案：14.在的展开式中，x的有理项共有_________项．参考答案：四项15.

参考答案：答案：116.如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是

.参考答案：()17.如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．参考答案：n2－2n＋3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．参考答案：考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先利用直线与平面的判定定理证明EA⊥面PAB，然后利用直线与平面垂直的性质可得结论；（Ⅱ）取PF中点M，连接MG，可证MG∥面AFC，连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，可证BM∥面AFC，根据面面平行的判定定理可得面BGM∥面AFC，最后根据面面平行的性质可证BG∥面AFC．解答： （本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．…又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．

…而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．

…（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．…连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．…连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．…点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于基础题．19.如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，BQ∩AC=N，M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四棱锥P﹣AQM的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PQ⊥AD，从而PQ⊥平面ABCD，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN∥平面PAB．（Ⅱ）求出平面PAQ的法向量和，从而求出M到平面PAQ的距离d，四棱锥P﹣AQM的体积VP﹣AQM=VM﹣PAQ，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），N（0，1，0），P（0，0，2），M（﹣1，1，），=（1，0，﹣），=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），∵==0，MN?平面PAB，∴直线MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）平面PAQ的法向量=（0，1，0），=（﹣1，1，），M到平面PAQ的距离d===1，S△PAQ===2，∴四棱锥P﹣AQM的体积：VP﹣AQM=VM﹣PAQ==．20.已知函数f（x）=ax2lnx+bx+1．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y+1=0，求f（x）的单调区间；（2）若a=2，且关于x的方程f（x）=1在[，e]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（3）若a=2，b=﹣1，当x≥1时，关于x的不等式f（x）≥t（x﹣1）2恒成立，求实数t的取值范围（其中e是自然对数的底数，e=2，71828…）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1）的值，从而求出a，b的值，求出函数的单调区间即可；（2）由f（x）=x2lnx+bx+1=1，得到﹣b=xlnx，令g（x）=xlnx，x∈[，e]，根据函数的单调性求出b的范围即可；（3）由x2lnx﹣x+1﹣t（x﹣1）2≥0，令h（x）=x2lnx﹣x+1﹣t（x﹣1）2，（x≥1），则h（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出t的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=axlnx+ax+b，由题意f′（1）=a+b=且f（1）=b+1=1，∴a=1，b=0，此时f′（x）=xlnx+x（x＞0），令f′（x）=xlnx+x＞0，得x＞，令f′（x）=xlnx+x＜0，得0＜x＜，∴递增区间是（，+∞），递减区间是（0，）；（2）a=2时，f（x）=x2lnx+bx+1=1，∴﹣b=xlnx，令g（x）=xlnx，x∈[，e]，则g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：x＜，故g（x）在[，）递减，在（，e]递增，而g（）=﹣，g（）=﹣，g（e）=e，∴﹣b∈（﹣，﹣]，∴b∈[，）；（3）a=2，b=﹣1时，f（x）=x2lnx﹣x+1≥t（x﹣1）2，∴x2lnx﹣x+1﹣t（x﹣1）2≥0，令h（x）=x2lnx﹣x+1﹣t（x﹣1）2，（x≥1），则h（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，h′（x）=2xlnx+x﹣1﹣2t（x﹣1），令m（x）=xlnx﹣x+1（x≥1），则m′（x）=lnx≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴m（x）在[1，+∞）递增，∴m（x）≥m（1）=0，即xlnx≥x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，∴h′（x）=2xlnx+x﹣1﹣2t（x﹣1）≥3（x﹣1）﹣2t（x﹣1）=（3﹣2t）（x﹣1），①当3﹣2t≥0，即t≤时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在[1，+∞）递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2t＜0即t＞时，h′（x）=2xlnx+x﹣1﹣2t（x﹣1），令φ（x）=2xlnx+x﹣1﹣2t（x﹣1），则φ′（x）=2lnx+3﹣2t，令φ′（x）=2lnx+3﹣2t=0，解得：x=，当1≤x＜时，φ′（x）＜0，∴φ（x）递减，φ（x）≤φ（1）=0，即h′（x）≤0，∴h（x）递减，∴当1＜x＜时，h（x）＜h（1）=0，不成立，综上，t≤．21.（12分）（2012?石景山区一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题： 综合题．分析： （Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．解答： 解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积．由可得k2=2，∴，所以直线或．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．22.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点。（I）求证：A1B1//平面ABD；（II）求证：AB⊥CE；（III）求三棱锥C-ABE的体积。参考答案：（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析；(Ⅲ)。本题给出所有棱长都相等的正三棱柱，求证线面平行并求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和柱体锥体的体积公式等知识，属于中档题．（I）根据三棱柱的侧面ABB1A1是平行四边形，得A1B1∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得A1B1∥平面ABD；