梳理抛物线焦点弦的有关结论

梳理抛物线焦点弦的有关结论

梳理抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB是过抛物线$y^2=2px\(p>0)$的焦点F的弦。设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$(1)\x_1+x_2=0;\(2)\y_1+y_2=-\frac{p}{2}$。证明：如图，（1）若AB的斜率不存在时，$AB$垂直于$x$轴，$x_1=x_2=-\frac{p}{2}$，故$x_1+x_2=0$。若AB的斜率存在时，设为$k$，则$AB:y=kx+\frac{p}{2}$，与$y^2=2px$联立，得$k^2p=-2k$，即$k=-\frac{2}{p}$或$k=0$。当$k=0$时，$AB$垂直于$x$轴，同上。当$k=-\frac{2}{p}$时，$x_1+x_2=-\frac{k}{2}+\frac{p}{2}=-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=0$，故$x_1+x_2=0$。综上，$x_1+x_2=0$。（2）另证：设$AB:y=mx+p$，与$y^2=2px$联立，得$(2-m^2)p=-2mp$，即$m^2-2m=0$，即$m=0$或$m=2$。当$m=0$时，$AB$垂直于$x$轴，同上。当$m=2$时，$x_1+x_2=-\frac{2}{m}=-1$，代入$AB:y=2x+p$得$y_1+y_2=-\frac{p}{2}$，故$y_1+y_2=-\frac{p}{2}$。知识点2：若AB是过抛物线$y^2=2px\(p>0)$的焦点F的弦。设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+p^2}$。证明：（1）由抛物线的定义知$AF=x_1+\frac{p}{2},BF=x_2+\frac{p}{2}$。设直线$AB$的倾斜角为$\alpha$，则$AB=\frac{AF+BF}{\sin2\alpha}=\frac{x_1+x_2+p}{2\sin\alpha\cos\alpha}$。（2）若$\alpha=90^\circ$，则$x_1=x_2=-\frac{p}{2}$，由（1）知$AB=2p$。若$\alpha\neq90^\circ$，设$AB:y=kx+\frac{p}{2}$，与$y^2=2px$联立，得$k^2p=-2k$，即$k=-\frac{2}{p}$或$k=0$。当$k=0$时，$AB$垂直于$x$轴，同上。当$k=-\frac{2}{p}$时，代入$AB:y=kx+\frac{p}{2}$得$AB=\frac{p}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{p}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}-1}}=\frac{2p\sin\alpha}{\cos\alpha}$。知识点3：若AB是过抛物线$y^2=2px\(p>0)$的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点$A$、$B$分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为$A_1$、$B_1$，过$AB$中点$M$向准线引垂线，垂足为$N$，设以$AB$为直径的圆的半径为$r$，则$2r=AB=AF+BF=AA_1+BB_1$。由于$AF=BF=\frac{p}{2}$，故$AA_1=BB_1=\frac{p}{2}$，$AB$的中点$M$在准线上，故$MN=r$，即以$AB$为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4：若AB是抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点F的弦，过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为$A_1$、$B_1$，则$\angleA_1FB_1=90^\circ$。证明可以借助平行线和等腰三角形容易证明。知识点5：若AB是抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，则$\angleAKF=\angleBKF$。证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为$A_1$、$B_1$。则$AA_1\parallelKF\parallelBB_1$，且$AF=A_1A$，$BF=B_1B$。根据相似三角形的性质，可得$\triangleAA_1K\sim\triangleBB_1K$，从而$\angleA_1KA=\angleB_1KB$。又因为$\angleA_1FB_1=90^\circ$，所以$\angleA_1KA=\angleB_1KB=90^\circ$，进而$\angleAKF=\angleBKF$。知识点6：若AB是抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点F的弦，O为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C，则BC//OF。证明：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$AB:y=1x$。因为$OF$是准线，所以$OF:y=-\frac{p}{2}$。过点B作$BC\parallelOF$交准线于点C，则$\frac{y_1}{y_2}=-\frac{p}{2}$，从而$y_C=-\frac{y_2}{2p}y_1+\frac{y_1}{2p}y_2$。因为$A$在$OC$的延长线上，所以$y_1=-\frac{p}{2}$。代入前式可得$y_C=-\frac{1}{2p}y_2^2$，而$y_F=-\frac{1}{2p}x_F^2$。因为$AB$是弦，所以$y_1y_2=-p^2$，即$y_2^2=-4px_1x_2$。代入前式可得$y_C=y_F$，从而$BC\parallelOF$。知识点7：若AB是抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点F的弦，设$\angleAAF=m$，$BF=n$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2p}$。证法：（1）若AB$\perp$x轴，则AB为通径，而$AB=2p$，从而$m=n=p$，代入前式可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2p}$。（2）若AB与x轴不垂直，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$AB$的斜率为$k$，则$k=-\frac{y_1}{x_1}=-\frac{y_2}{x_2}$。将$k$代入$y_1^2=2px_1$和$y_2^2=2px_2$，可得$x_1x_2=-\frac{y_1^2}{2k}\cdot-\frac{y_2^2}{2k}=\frac{p^2}{k^2}$。又因为$\triangleAAF\sim\triangleBFB$，所以$\frac{m}{n}=\frac{y_1-p}{y_2-p}=\frac{x_1}{x_2}$。将$x_1x_2=\frac{p^2}{k^2}$代入，可得$\frac{m}{n}=\frac{p}{k^2}$。代入前式，化简可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2p}$。由抛物线的定义可知，焦点F到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线的准线的距离，即$m=AF=x_1+p,n=BF=x_2+p$.因此，可以得到$m+n=\frac{x_1+x_2}{p}+2p$.又因为$y^2=2px$，所以$AB$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1x_2}{2p})$，即$F$的坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1x_2}{4p})$。由于$AB$过焦点$F$，所以$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}AB\cdotAF=\frac{(x_1+x_2)p}{4}$.将$m+n$代入可得$S_{\triangleAOB}=\frac{p^2}{4}(m+n)^2$，即$\frac{(x_1+x_2)p}{4}=\frac{p^2}{4}(m+n)^2$，化简可得$x_1x_2=p(m+n)^2$，代入$AB$的长度公式可得$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+4p^2}=\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}$。逆定理证明：设$AB$与$x$轴交于点$M$，则$AM=m$，$BM=n$，$AB=\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}$，$S_{\triangleAOB}=\frac{p^2}{4}(m+n)^2$.由于$AB$过焦点$F$，所以$\frac{S_{\triangleAOB}}{AB}=\frac{1}{2}AF=\frac{p}{2}$.代入可得$\frac{p(m+n)^2}{\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}}=\frac{p}{2}$，化简可得$(m-n)^2=4p(m+n)$，即$AB=\sqrt{(m-n)^2+4p^2}=\sqrt{(m+n)^2-4mn}=m+n$，因此$AB=8$。变式证明：由于$\triangleOAB$的重心坐标为$(\frac{x_1+x_2}{3},\frac{x_1+x_2}{3})$，所以$\frac{x_1+x_2}{3}=2$，即$x_1+x_2=6$。代入$AB$的长度公式可得$AB=\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}=\sqrt{(m+n)^2-4mn}=m+n=6-p$。因此，$AB=8$等价于$p=1$，代入$\triangleOAB$的重心坐标公式可得其横坐标为$2$。直线l经过抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点F，且与抛物线交于A,B两点。由A,B