2014年中考热点解读“解直角三角形”

2013年中考热点解读“解直角三角形”一、知识解读解直角三角形是数学中考热点之一，尤其注重考查同学们在具体生活情景下运用数学知识的能力以及运用方程思想、数形结合思想、分类思想的能力。其中“锐角三角函数”是三角学的基础，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容，运用解直角三角形的知识解决实际问题是历年来中考的热点。近年来，联系实际的直角三角形创新题层出不穷，这些题目立意新颖、贴近生活，不但强化考查了“四基”掌握情况，而且有效的考查学生的创新能力和探究意识，很好地体现了课改新理念。二、考点明晰1.了解锐角的三角函数的概念；掌握直角三角形的边、角关系。2.熟记30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数式的值，会由一个特殊角的三角函数值，求出它对应的角。3.会利用直角三角形的边、角关系，根据直角三角形中的已知元素，求出未知元素。4.了解坡度、坡角、俯角、仰角、方位角等名词与术语。5.能综合运用直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。三、考点分析解直角三角形命题所涉及两部分考点：一、锐角三角函数，主要考查计算特殊角三角函数，与三角函数有关的代数求值问题，比较两个三角函数的大小，会根据三角函数值大小确定相应角的大小等。此类问题多以填空题、选择题和计算题的形式出现；二、解直角三角形，主要考查（1）运用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边之比；（2）运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余，并借助直角三角形边角之间的关系解证三角问题；（3）用解直角三角形的有关知识来解决实际问题是重中之重。此类问题多以解答题形式独立命题，或综合到几何计算题、压轴题中。这部分内容的考法，有如下特点：（1）试题大多用测量问题联系密切，以测量为载体设计问题，突出考查运用解直角三角形解决实际问题；（2）题型主要以选择题、填空题为主。应用解直角三角形知识解应用题的步骤为：（1）审题，弄清仰角、俯角、坡角等概念及题意；（2）画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形添加适当的辅助线分割成规则的几何图形；（3）选择合适的边角关系计算，确定结果。我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的，由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边，这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB=90°-A,b=a·cotA斜边c及锐角AB=90°-A,a=c·sinA,b=c·cosA两边两条直角边a和bc=a2+b2直角边a和斜边csinA=ac,B=90°四、典型例题例1．如图，小明在教学楼上的窗口A看地面上的B、C两个花坛，测得俯角∠EAB=30°，俯角∠EAC=45°．已知教学楼基点D与点C、B在同一条直线上，且B、C两花坛之间的距离为6m．求窗口A到地面的高度AD．（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：设窗口A到地面的高度AD为xm，根据题意在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，利用锐角三角函数用含x的代数式分别表示线段BD和线段CD的长，再根据BD-CD=BC=6列出方程，解方程即可．解答：解：设窗口A到地面的高度AD为xm．由题意得：∠ABC=30°，∠ACD=45°，BC=6m．∵在Rt△ABD中，BD=在Rt△ADC中，CD∵BD-CD=BC=6，∴3x-x=6,∴x=3答：窗口A到地面的高度AD为（33点评：（1）把实际问题转化为数学问题；（2）构造直角三角形是必不可少的一步；（3）方程是解决问题的有效方法；（4）两种特殊知觉三角形（有一个角是30°的直角三角形和有一个角是45°的直角三角形）三边知觉的关系要牢记。例2．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长。分析：题目虽然给出了两个特殊的直角三角形，但CD并不是它们的边，故必须构造与CD有关的直角三角形。过D作DM⊥BC于点M，CD虽然为Rt△CDM的一边，但DM、CM比较难求得；再考虑过B作BM⊥FD与于点M，虽不能直接求出CD，但CD=CM-DM，CM、DM易求，问题也就解决了。解：过点B作BM⊥FD于点M在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°,BC=AC·tan60°=103∵AB∥CF,∴∠BCM=30°∴BM=BC·sin30°=103×12CM=BC·cos30°=103×在△EFD中,∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=53∴CD=CM-MD=15-53点评：（1）如何构造直角三角形才最有效，是要让学生深刻体会的。（2）解直角三角形的问题经常与三角形的相似相结合，所以出现平行线是有利于问题解决的。（3）直接构造与所示量相关直角三角形可方便问题解决，但有时却不易和题目所给条件建立联系，所以可考虑求与其相关量达到问题解决。例3、国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：（3=1.732，2=1.414）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC-BC=1200，求得x的值，用h-x即可求得最高海拔．解答：解：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，∴BC=CF=x，CF即AC=3x∵AC-BC=1200∴3x-x=1200解得：x=600（3+1）则DF=h-x=2001-600（3+1）≈362（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．点评：(1)利用直角三角形的边角关系来解决简单的实际问题，如测量高度、宽度等，是近几年常见的考题；（2）解决这类问题的关键：一是把实际问题数学化；二是构造直角三角形；三是牢记直角三角形（特别是两种特殊Rt△）的边角关系；（3）了解测量问题中常见的俯角、仰角、方位角、坡角等名词和术语的数学意义。五、题型前瞻题型1：中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．(3取1.732)分析：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键。首先过点A作AH⊥CF于点H，易得∠ACH=60°，然后利用三角函数的知识，求得AH的长，继而可得消防车是否需要改进行驶．解：如图：过点A作AH⊥CF于点H，由题意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，∵CM∥AN，∴∠ACM=∠CAN=15°，∴∠ACH=∠MCF-∠ACM=75°-15°=60°，∴在Rt△ACH中，AH=AC•sin∠ACH=125×32≈108.25（米）＞100答：消防车不需要改道行驶．题型2：在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高（2≈1.4，3≈1.7）分析：解直角三角形的应用-坡度坡角问题，此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分。延长BD交AE于点F，作FG⊥ED于点G，Rt△FGD中利用锐角三角函数求得FD的长，从而求得FB的长，然后在直角三角形ABF中利用锐角三角函数求得AB的长即可．解：延长BD交AE于点F，作FG⊥ED于点G，∵斜坡的顶部CD是水平的，斜坡与地面的夹角为30°，∴∠FDE=∠AED=30°，∴FD=FE，∵DE=18米，∴EG=GD=12ED=9米，在Rt△FGDDF=DGcos30°=932=63米，∴FB=（63在Rt△AFB中，AB=FB•tan60°=（63+6）×3=（18+63）≈28.2米，所以古塔的高约为28.2米。题型3：生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式拉紧，压平后可得到图③中的正五边形（阴影部分表示纸条的反面）（1）将两端剪掉则可以得到正五边形，若将展开，展开后的平面图形是；

（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）．分析：本题考查了解直角三角形的应用，及图形的拼剪，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解