第五章测量误差及数据处理基本知识课件

第五章测量误差及数据处理基本知识

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●观测条件：人、仪器、客观环境总称观测条件，它们是引起观测误差的主要因素

●等精度观测和不等精度观测

●直接观测和间接观测

●独立观测和非独立观测§5.1测量误差概述7/20/20234鲁东大学地理与规划学院§6.1测量误差概述

◆测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）7/20/20235鲁东大学地理与规划学院例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld

计算改正

钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪视准轴误差I

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差§6.2测量误差的种类1.粗差(错误)——超限的误差7/20/20236鲁东大学地理与规划学院3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）7/20/20237鲁东大学地理与规划学院5、处理原则

粗差——要细心，注意避免读错、记错、听错

系统误差——检校仪器，加改正数、对称观测

偶然误差——多余观测，提高仪器等级、求最可靠值如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次对标靶射n次，观测值为:l1,l2,l3,….ln如何评价数据的精度？如何取值？以上就是研究误差的两个目的7/20/20238鲁东大学地理与规划学院举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§6.3偶然误差的特性7/20/20239鲁东大学地理与规划学院7/20/202310鲁东大学地理与规划学院用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律

图6-1误差统计直方图7/20/202311鲁东大学地理与规划学院◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：7/20/202312鲁东大学地理与规划学院偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图7/20/202313鲁东大学地理与规划学院衡量精度的标准测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，就是指偶然误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。7/20/202314鲁东大学地理与规划学院衡量精度的标准在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。中误差相对中误差极限误差7/20/202315鲁东大学地理与规划学院1.方差与标准差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x=y正态分布曲线(a=0)令：

，上式为：§6.4衡量精度的指标7/20/202316鲁东大学地理与规划学院标准差的数学意义表示的离散程度x=y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：7/20/202317鲁东大学地理与规划学院测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-

X7/20/202318鲁东大学地理与规划学院P123表5-27/20/202319鲁东大学地理与规划学院

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。7/20/202320鲁东大学地理与规划学院2.容许误差(极限误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|7/20/202321鲁东大学地理与规划学院

3.相对误差(相对中误差)

——误差绝对值与观测量之比。

用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。

K2<K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：7/20/202322鲁东大学地理与规划学院一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§6.5误差传播定律7/20/202323鲁东大学地理与规划学院对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)7/20/202324鲁东大学地理与规划学院(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(h)7/20/202325鲁东大学地理与规划学院(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。7/20/202326鲁东大学地理与规划学院

通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：

1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。7/20/202327鲁东大学地理与规划学院1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

7/20/202328鲁东大学地理与规划学院2.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：7/20/202329鲁东大学地理与规划学院

函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式

由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。7/20/202330鲁东大学地理与规划学院4.和或差函数的中误差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

7/20/202331鲁东大学地理与规划学院观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

7/20/202332鲁东大学地理与规划学院误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：7/20/202333鲁东大学地理与规划学院误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度

基本公式：

求全微分：

水平距离中误差：

其中：

7/20/202334鲁东大学地理与规划学院误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中误差：

其中：

7/20/202335鲁东大学地理与规划学院误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中各边测量值为:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

面积,

周长的中误差为全微分:面积的中误差为全微分:7/20/202336鲁东大学地理与规划学院解:(1)周长和面积的中误差分别为例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中各边测量值为:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

(2)周长;周长的中误差为面积得周长的中误差为全微分:但由于7/20/202337鲁东大学地理与规划学院误差传播定律例题1:

丈量倾斜距离s＝50.00m，中误差ms＝±5cm，倾斜角度α＝15°00′00″，其中误差mα＝±30″，求相应水平距离和中误差。7/20/202338鲁东大学地理与规划学院误差传播定律Z=X+Y，Y=2X,试根据X、Y的中误差计算函数Z的中误差。解1：解2：考虑哪种解法正确，为什么？7/20/202339鲁东大学地理与规划学院思考题（课堂练习）三角形内角和的中误差为±6″,则一内角的中误差为多少？观测BM1至BM2间的高差时，共设25个测站，每测站观测高差中误差均为±3mm，问：（1）两水准点间高差中误差时多少？（2）若使其高差中误差不大于±12mm，应设置几个测站?7/20/202340鲁东大学地理与规划学院▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)§6.6同（等）精度直接观测平差7/20/202341鲁东大学地理与规划学院

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=7/20/202342鲁东大学地理与规划学院当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均

值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X7/20/202343鲁东大学地理与规划学院观测值改正数特点二.观测值的改正数v：以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n7/20/202344鲁东大学地理与规划学院精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：7/20/202345鲁东大学地理与规划学院证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:7/20/202346鲁东大学地理与规划学院证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:7/20/202347鲁东大学地理与规划学院解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1.747/20/202348鲁东大学地理与规划学院距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。7/20/202349鲁东大学地理与规划学院§6.7不同精度直接观测平差一、权的概