第三讲分离变量法-课件

第三讲分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程定解问题的普遍方法之一，它适用于各种类型的偏微分方程。基本思想是将多元函数化为单元函数，将偏微分方程化为常微分方程进行求解。具体做法是首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的解通过变量分离,将其转化为常微分方程的定解问题.为此，我们首先复习二阶线性常微分方程求解公式及傅里叶级数理论。2020/10/281

一、基础知识2020/10/282精品资料2020/10/2832、傅立叶级数若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里叶展开式为2020/10/284狄利克雷收敛定理：若函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点且在一个周期内至多只有有限个极值点，则1、当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；2、当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。2020/10/285

二.有界弦的自由振动

例1.研究两端固定均匀的自由振动.求解定解问题特点:方程齐次,边界齐次.2020/10/286

设且不恒为零，代入方程和边界条件中得①

由不恒为零，有：取参数2020/10/287④

②

…..……..③④利用边界条件2020/10/288则

⑤

特征值问题

参数称为特征值，下面分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数。2020/10/289由边值条件(i)方程通解为(ii)时，通解由边值条件得：C1=C

2=0

从而，无意义.

无意义2020/10/2810

由边值条件：从而即：(iii）时，通解故而得2020/10/2811再求解T：其解为所以两端固定弦本的征振动叠加…….⑤

2020/10/2812代入初始条件得：将展开为Fourier级数，比较系数得

定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。2020/10/2813则无穷级数解为如下混合问题的解上，，且定理：若在区间2020/10/2814解：令,得化简:引入参数得例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件2020/10/2815得C1=C

2=0从而，无意义分离变量：

时，由边值条件2020/10/2816(ii) 时,,(iii)时,则而由边值条件由边值条件从而2020/10/2817本征值本征函数T的方程其解为2020/10/2818所以故代入初始条件:将展开为傅立叶余弦级数，比较系数得

解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2020/10/2819

三.有限长杆的热传导问题

对于齐次热传导方程的定解问题,其解题过程和波动方程的过程类似.所以下面的例题我们仅给出主要步骤.2020/10/2820其中为给定的函数.

例１．齐次热传导方程的定解问题

2020/10/2821令代入方程及边界条件中,并引入参数得当或时,特征值问题当时,由边界条件

2020/10/2822从而特征函数为：

2020/10/2823T的方程

解得

所以2020/10/2824将叠加,利用初始条件确定系数将初始条件代入上式，得所以系数2020/10/2825分离变量流程图2020/10/2826例２．细杆的热传导问题

长为的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，端绝热，端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。

解：定解问题为

2020/10/2827设且

得本征值问题

由及齐次边界条件，有

2020/10/2828当或时,当时,

由得

由得故

即

令有函数方程2020/10/2829ry图1由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为：

2020/10/2830对应的本征函数的方程：解为故可以证明函数系在上正交由初始条件得将展成以为基底的付氏级数，确定

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