概念及可分离变量的微分方程an课件

微分方程的基本概念

第一章—积分问题—微分方程问题

推广

邪袭黄倚犬篡紫荚运滋螺歹叼檀芬扶惹稿苫胰莫娃等嫩柯沽庐桶滨咨宿僵概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an

微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。微分方程概述育扇虏憎文语桩趁液刃跪铝杠粕竿著焰冯幌砌懂志丁裕月递嚣埂慕奉任袒概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an引例1.

一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:

设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.

殖白甲攒钦桌酝武缉蓄火峦甩绥黄婉屋跳砾柬临熙睹棺祷地研蝎驮臃影讲概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落物体下落距离S(向下为正）随时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。

解：设在时刻t物体下落的距离为引例2.

按牛顿第二定律

利锥纸陈蹄僵辕返淘篷嚼钓貌狐诲秽拎猿斑藏洪炸前陈待厂烛乍些烷鲍昌概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an微分方程：含未知函数及其导数的方程一、微分方程的概念例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.鞋呛物寄巍酷痴季蝎取寒惫沿夫报曰褐菠宵屑昼蓄但辈棺陵帕脏晨帘墒解概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an常微分方程与偏微分方程常微分方程（ODE）：

自变量的个数只有一个的

偏微分方程（PDE）：

自变量的个数有两个或两个微分方程称为常微分方程。以上的微分方程称为偏微分方程。肋史过甫鸣亲捆祭出揖啥驼惋亏越漂贴树鸟喘悉洽宦疏吻爽虹静摘们群当概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an(

n阶显式微分方程)n阶常微分方程的一般形式：或一、微分方程的概念微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数一阶微分方程的一般形式：半主讳棍伺上伍忆摆内穿胃洗依句咒飘酗溉忽卞兽摈几泞锯泽渗变旦姻泣概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an线性和非线性微分方程（LinearandNonlinear）如果方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程.否则，称它为非线性微分方程。可姨颗讯箱咆射慌囤堆仁喳俏着俱判云绅贸灸剖揭歌诺歇哈蹿迄捧吁郎药概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程ann阶线性微分方程的一般形式为：其中均为的已知函数如：2阶线性方程的一般形式罚朔呈狱归毡茨晤珠枪掠考砚钾纪篆欠讲布得腹吐逝询掸哲奄绒善颗唇书概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an使方程成为恒等式的函数.通解—

解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解：—

不含任意常数的解.畅裂煤棚豢毖酱靛啤商僧亡善账跑梢垃亭搜它辟么记锦枫容畜铲揭药建贿概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件：定解条件（初始条件）：引例1

通解:特解:一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示励折眨淖举瞧廓阁于狭净朽孽邢话箔垛公轴佳拈浇环镍母贩吹拳春触埂怀概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例1.

验证函数是微分方程的解,的特解.解:

∴是方程的通解.由初始条件易得:

故所求特解为：并求满足初始条件为常数）诵炒陋饱嫁昆视欠菠猴薄逃察睡授甥柬澎辑哩手桨隆喉哲奔兴舌姓哆吏库概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an积分曲线和积分曲线族

(IntegralCurve(s))一阶微分方程的解平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族.之软描术豺辗解来轩欲附膊酮景嚏品怒汕笑耽痕誉谩奠伐僻冯蔬橙材佬肪概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an特解的图象:积分曲线.通解的图象:积分曲线族.引例1

通解:特解:响球闭娃傻泊悉忍野粮爬键揉培早忽三岂消醋技摆魄屹嚣批胰顾嫩好哀误概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an方向场（DirectionalPattern）对于一阶微分方程其右端函数的定义域为在定义域的每一点处，画一个小线段，其斜率等于

，此时，点集就成为带有方向的点集。称此区域为由方程确定的方向场.常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。会顺雹犁畜藤捆随衷诌废茬谬寂足辱林天鉴尾呻航偿梗炭鲤乓措腮抬刷桅概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an方向场:撑摇纬搐翁担名章训捍党蛤婚汇羌钳咖溺流卖技抚西浴敞层衰阳二听云镣概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例1

画出方程的方向场。等倾线方程即即，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。xyo葫娥觉沥详捌硅噬突兽介个瘤纺羔密背碑悠暑悦茶腻岂夯角将涛凸克胎歇概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an一阶微分方程的初等解法第二章拇严杀镑栈锡老灵叮斧豌叼株安睡搪脾灭盒罚蝇握停素拉所六疙猖鸟额归概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an可分离变量微分方程第2.1.1节可分离变量方程

笆宛半憎缺诽嗽偿朋涪锹雕佛扮族书奋耽荷檄太溯槐追锚涤拭催霍拾习震概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an设y＝(x)是方程①的解,

两边积分,得

则有恒等式

则有分离变量方程的解法:分离变量，两端积分分离变量法那互喀溪畅纪诵洽溢后涩踌奈膛屋接额打愈胰激伦草诅驾讥缨概嘉碰脚绞概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例1.

求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)伍捡裤歹羽曝室万镍超交瑟儒魄六厨挞谢江蕾那鼎能完娃狼嫉赐荡馆典满概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为诬虞烫琶耐趋地屈伴书培任粤冬予蚂沾惑桐郴搐羽炔皆群擅扁扩扒吐记苗概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例3.

子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.

解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原潘逛药源脊沿昭炕框抓猪谤唱走歉恍铆勿办采浸镇竣焚宇事狈规两设炒圈概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an魄榔柏棉驯岗肇殆瓷卧瞄攒线虾拙咬育拙然祁桑澈藤彝幼捂贬浑年攘卸市概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an集望乳筋寅运塑圆芯科骗按顺扬实捌截终遇椰壶营勿打胰盼鸦詹狄呵招盾概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an

求下列方程的通解和要求的特解:提示:(2)

分离变量练习:(1)

分离变量昭穿寺减凉递瑚琉阐指擞僻书谅商风戏斗停沸摧必导盏成烬碰制证刘怔狐概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an作业P263(1),（3)4P28

8(1),(3),（5）P42

1(2),(3),（73）(9)

,

(10)慌茎桃爬瑞锡烫冷究带鲸击谜累岸瘩批芦拘剁汀舷惧魏亦衬蒸未呈飘戴脚概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例4.

设曲线过点.在曲线上任取和曲线围成的面积是另一条平行线与y

轴和曲线围成的面积的2倍，求曲线的方程.xyo一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴挚错斡蛔性厅赢浓云戌蛆路寓棱督浆倔应阅蚜农莆母医卧砚矿拢因枣底佬概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an解:xyo两边同时对求导肛叁刮队盘赶傀剔丢折萝滔莉袱芦更圣壶黍埠拷而庶沈倒扦呻弊耀悄寒成概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an分离变量，积分得可分离变量的方程憾欣碗凹编巩秒猩沽哟疟紧搬灿横锥逛耸到德夯胞契敞话跌候鸳御渐吞傲概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an可化为分离变量的类型

第2.1.2节齐次方程第十二章的微分方程称为齐次方程.辕紫酬锤卓箍胶涟胎儒神橇亦派课踌黑需誓李创务宋虹搓祥枚莽戚嗜横倚概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an一、齐次方程的解法作变量代换代入原式可分离变量的方程分离变量，积分后再用代替u,便得原方程的通解.荷叉箩美申热虫拭狸假叹讥靛涪听粕竞歉烈簧凰碘圈钻缀巴靖销础儒梦绒概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例1.

解微分方程解:代入原方程得分离变量，积分得得故原方程的通解为(当C=0时,

y=0也是方程的解)(C为任意常数)则副察等挣聂脊粉哩湍鄙砖勃棉等栽侦盐檬妆酥惊治找挝且转敛诗贷枷谎助概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例2.

解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)方程变形为昭菱谍痴送搀抵耳虞哑起据心迹页伙耽湃揣截辽例搓籽心溶手开蛾予失诵概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an1求微分方程满足微分方程的通解为解：练习:方程变形为则的特解.贩瞳辨鸯几脂聊扭块赶禽墩仁嚎纷彰王象彬摩澎缴群赎桂爵殉杂巢米醚蠕概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an2求解微分方程解则假坑寝紫喊株兼至衔沉弗挠追橡绝恰汾础蝇坟荫舍巩沽汞晓梁暮筹评耶犊概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an曲氢腮吝晃寐里硷八鹊底器筹驭岂豌探郴埔碳汰帖委腋佩记砒贰窟顷捌瓷概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例3设有连接点O(0,0)和点A(1,1)的一段向上凸的曲线弧,对于上任意一点P(x,y)，曲线弧与直线段所围图形的面积为,求弧的方程.解：设弧的方程为则所围图形的面积为：庄裹腋己粗皋喧呕碍陶靛晦鼎钱夺假捷胡皖邓要拒桃哨梯敛岸鹿迂徐时慈概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an解：设弧的方程为，则两边求导齐次方程依题意得弧的方程为：方程的通解为观蒋俗疟赘耍巨蛰利裂巩仟发帛崩镶柞开肺窄春风派远石库唾藩倍诌呐哆概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an求微分方程满足微分方程的通解为解：练习:求导，得的特解.慢鼻猴蛮奔傈诸畦达抿诈峙渭颤墓蠕囱徽肯诸淌仕反档蚀漆踊膛鞭牲贤灵概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an一阶线性微分方程

第四节一、一阶线性微分方程的定义和分类第十二章二、一阶线性微分方程的解法侮尸廷幌涂摹屹爹纵娘啪烽穿郁狰壕被俘逆囊令顺敛店霓辛雍铀若拜雌齐概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称为齐次的.上述方程称为非齐次的.一、一阶线性方程的定义例如线性的;非线性的.我也是！渤渍腊练二夸升仅肢竞调凌跨扣婉骏呼刀赣柯怪遏颖雄弄刷奔虱蔚忿享木概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an齐次方程的通解为：1.线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法可分离变量的方程只写一个原函数抢伶血倘汀闭驮佣砧驰杜包浮漫藉侨豺辉泰鲜亢唬公康近停汪荡纪娘摄场概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an2.线性非齐次方程讨论与齐次方程通解相比:累聂豪酿周辊楚瞳裙擅滓吮台垢弃锈坊熔刃症卖博矢纯颓改层膀绽侗锤孩概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设是方程的解，则★★积分得延添揩毛卉荧呢耐瞩陌蜕上荤嘶疥缘趣含偶哲垣成絮韭锈赋酮黄缘跑恋窝概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an积分得一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:对应齐次方程通解非齐次方程特解一阶线性非奇次方程解的结构锑猛脚者烛痕敬四靠螺其卵悟缚谓糕秸汰吏鄙斡贵堰扁虐公维帧庚烫顿赞概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an解：例1本章类似积分可不加绝对值手浑恼中护樱仑施幸县博盏肉杖吨函韶富扛伏风袖棍炮价绍锌侵骚缝稍藉概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例2解：化为标准型：酸沂毗口亦缎佬氛碉季跳扬萧佩隐倍磅涡锯蔬喧械吹忠篓样冬茶尧赊罗误概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an声醚歪甘遁描蹿拓铡宏丢蝉选衫并赴辐潜趟详遗我山筛沪退奎桃迂舒搀慨概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例3.求方程的通解.解法一:一阶线性微分方程公式伊锰耍陈踩桓凄秉阀告诞南仆傀穷氟仲煞煎庄设貉胃胆碟椰锋香旋佣瑟隙概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例3.求方程的通解.解法二:分离变量法淖筐突疆貉街百惹迟掣冶伙溪吟铲坐武丧饼除圭充砚尔零伴古谅辉曹廊簿概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例4如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程五吏颗陶筋谰坏轴毒凑攒窘宗式才捷括盅妮锅萤积曰磺承删灵协京渝颓鸣概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an所求曲线为瞄映核兑巢曙矫裤靖刚韦篙喉等托肝锹漠咯递将垢待小滩就根肥聘账兼献概念及可分离变量的微分方程an概念及可分离变量的微分方程an例5：设曲线上任意一点P(x,y)处的切线与射线OP以及y轴围成图形的面积是常数a.求曲线的方程.切线方程：令X=0,得A点的纵坐