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文档简介
2022-2023学年山西省忻州市大石洼中学高二数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知F(x)=f(x+)﹣1是R上的奇函数,an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为(
)A.an=n﹣1 B.an=n C.an=n+1 D.an=n2参考答案:C【考点】数列与函数的综合.【专题】综合题.【分析】由F(x)=f(x+)﹣1在R上为奇函数,知f(﹣x)+f(+x)=2,令t=﹣x,则+x=1﹣t,得到f(t)+f(1﹣t)=2.由此能够求出数列{an}的通项公式.【解答】解:F(x)=f(x+)﹣1在R上为奇函数故F(﹣x)=﹣F(x),代入得:f(﹣x)+f(+x)=2,(x∈R)当x=0时,f()=1.令t=﹣x,则+x=1﹣t,上式即为:f(t)+f(1﹣t)=2.当n为偶数时:an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)(n∈N*)=++…++f()==n+1.当n为奇数时:an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)(n∈N*)=++…+=2×=n+1.综上所述,an=n+1.故选C.【点评】本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,要求学生理解f(t)+f(1﹣t)=2.本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答.2.已知函数f(x)的定义域为[a,b],函数y=f(x)的图象如下图所示,则函数f(|x|)的图象是() A.
B.C.
D.参考答案:B【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】作图题;压轴题;数形结合;运动思想. 【分析】由函数y=f(x)的图象和函数f(|x|)的图象之间的关系,y=f(|x|)的图象是由y=f(x)把x>0的图象保留,x<0部分的图象关于y轴对称而得到的. 【解答】解:∵y=f(|x|)是偶函数, ∴y=f(|x|)的图象是由y=f(x)把x>0的图象保留, x<0部分的图象关于y轴对称而得到的. 故选B. 【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力,注意区别函数y=f(x)的图象和函数f(|x|)的图象之间的关系,函数y=f(x)的图象和函数|f(x)|的图象之间的关系;体现了数形结合和运动变化的思想,属基础题. 3.已知角终边一点,则的值为A.
B.
C.
D.参考答案:B4.若函数f(x)=(m﹣2)x2+(m2﹣1)x+1是偶函数,则在区间(﹣∞,0]上,f(x)是(
) A.增函数 B.减函数 C.常数函数 D.可能是增函数,也可能是常数函数参考答案:A考点:二次函数的性质.专题:函数的性质及应用.分析:根据函数f(x)=(m﹣2)x2+(m2﹣1)x+1是偶函数,可得m2﹣1=0,进而分析函数f(x)=(m﹣2)x2+(m2﹣1)x+1的图象形状,可得答案.解答: 解:∵函数f(x)=(m﹣2)x2+(m2﹣1)x+1是偶函数,m2﹣1=0,即m=±1.将m=±1代入函数中,得二次项系数m﹣2<0,所以f(x)的图象是开口朝下,且以y轴为对称轴的抛物线,所以f(x)在(﹣∞,0]上为增函数.答案:A点评:本题考查的知识点是函数的奇偶及二次函数的图象和性质,是函数图象和性质的简单综合应用,难度中档.5.已知命题,下列说法正确的是
A.
B..
C.
D.参考答案:D略6.抛物线y2﹣8x=0的焦点坐标是()A.(0,2) B.(0,﹣2) C.(2,0) D.(﹣2,0)参考答案:C【考点】抛物线的简单性质.【分析】先把抛物线整理标准方程,进而可判断出焦点所在的坐标轴和p,进而求得焦点坐标.【解答】解:整理抛物线方程得抛物线y2=8x,所以焦点在x轴上,p=4,所以焦点(2,0).7.设、是椭圆C:(a>b>0)的左右焦点,P为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则椭圆C的离心率为A.
B.
C.
D.参考答案:B略8.为计算,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:B9.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为()A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.由增加的长度决定参考答案:A10.函数f(x)=x3-ax+1在区间(1,+)内是增函数,则实数a的取值范围是(
)
A.a<3
B.a>3
C.a3;
D.a3参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,l为其准线,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,A′,B′分别为A,B在l上的射线,M为A′B′的中点,给出下列命题:①A′F⊥B′F;②AM⊥BM;③A′F∥BM;④A′F与AM的交点在y轴上;⑤AB′与A′B交于原点.其中真命题的是
.(写出所有真命题的序号)参考答案:①②③④⑤【考点】抛物线的简单性质.【分析】①由于A,B在抛物线上,根据抛物线的定义可知A'F=AF,B'F=BF,从而由相等的角,由此可判断A'F⊥B'F;②取AB中点C,利用中位线即抛物线的定义可得CM=,从而AM⊥BM;③由②知,AM平分∠A′AF,从而可得A′F⊥AM,根据AM⊥BM,利用垂直于同一直线的两条直线平行,可得结论;④取AB⊥x轴,则四边形AFMA'为矩形,则可得结论;⑤取AB⊥x轴,则四边形ABB'A'为矩形,则可得结论.【解答】解:①由于A,B在抛物线上,根据抛物线的定义可知A'A=AF,B'B=BF,因为A′、B′分别为A、B在l上的射影,所以A'F⊥B'F;②取AB中点C,则CM=,∴AM⊥BM;③由②知,AM平分∠A′AF,∴A′F⊥AM,∵AM⊥BM,∴A'F∥BM;④取AB⊥x轴,则四边形AFMA′为矩形,则可知A'F与AM的交点在y轴上;⑤取AB⊥x轴,则四边形ABB'A'为矩形,则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤.12.(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=
.参考答案:【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】由矩形ABCD,得到三角形ABC为直角三角形,由AB与BC的长,利用勾股定理求出AC的长,进而得到AB为AC的一半,利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°,且利用射影定理求出EC的长,在三角形ECD中,利用余弦定理即可求出ED的长.【解答】解:∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°,∴在Rt△ABC中,AB=,BC=3,根据勾股定理得:AC=2,∴AB=AC,即∠ACB=30°,EC==,∴∠ECD=60°,在△ECD中,CD=AB=,EC=,根据余弦定理得:ED2=EC2+CD2﹣2EC?CDcos∠ECD=+3﹣=,则ED=.故答案为:【点评】此题考查了余弦定理,勾股定理,直角三角形的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.13.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为.则直线与圆相切的概率为
.参考答案:14.已知抛物线的焦点为F,其准线l与y轴交于点A,点M在抛物线C上,当时,的面积为__________.参考答案:2【分析】过点作,由抛物线定义得,从而根据线段长度关系可得,得到;在中利用正弦定理可求得,进而可知四边形为正方形,得到三角形边长,从而求得面积.【详解】过点作,垂足为,如图所示:由抛物线的定义可知:
为等腰直角三角形,即:在中,由正弦定理得:
,又四边形为正方形,则的面积:本题正确结果:【点睛】本题考查与抛物线有关的三角形面积的求解问题,涉及到抛物线定义、正弦定理等知识的应用,属于常规题型.15.当时,从“”到“”,左边需添加的代数式为:
;参考答案:略16.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1﹣bi)=a,则的值为
.参考答案:2【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】根据复数相等的充要条件,构造关于a,b的方程,解得a,b的值,进而可得答案.【解答】解:∵(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i=a,a,b∈R,∴,解得:,∴=2,故答案为:2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算,复数相等的充要条件,难度不大,属于基础题.17.若变量满足约束条件,则的最大值是
____________参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设函数在时取得极值.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的单调区间.参考答案:(Ⅰ)当时取得极值,则解得:.
…………4分经检验,符合题意。……5分(Ⅱ)
……6分令解得:
令解得:……10分所以的单调递增区间为;单调递减区间为.…………12分19.如图四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2,点M在线段PD上.(1)求证:AB⊥PC.(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°,求BM与平面PAC所成的角的正弦值.参考答案:【考点】与二面角有关的立体几何综合题.【分析】(1)设E为BC的中点,连接AE,证明AB⊥PC,只需证明AB⊥平面PAC,只需证明AB⊥AC,AB⊥PA.(2)设AC∩BD=O,连接OP,过点M作MN⊥AD,过点N作NG⊥AC于G,连接MG,证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°,M为PD的中点,连接PO交BM于H,连接AH,证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角,即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值.【解答】(1)证明:设E为BC的中点,连接AE,则AD=EC,AD∥EC,∴四边形AECD为平行四边形,∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AB⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴AB⊥PA∵AC∩PA=A,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥PC.(2)设AC∩BD=O,连接OP,过点M作MN⊥AD,过点N作NG⊥AC于G,连接MG,则MN∥PA,由PA⊥平面ABCD,可得MN⊥平面ABCD,∴MN⊥AC,∵NG⊥AC,MN∩NG=N,∴AC⊥平面MNG,∴AC⊥MG,∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°设MN=x,则NG=AG=x,∴AN=ND=x,可得M为PD的中点,连接PO交BM于H,连接AH,由(1)AB⊥平面PAC,∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中,AB=4,AM=PD=,BM=3,∴cos∠ABM=,∵∠BHA与∠ABM互余,∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为.20.已知命题,命题。(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若m=5,“”为真命题,“”为假命题,求实数x的取值范围。参考答案:解:(1)p是q的充分条件,
则实数m的取值范围为
(2)略21.(本题满分12分)袋中有质地均匀大小相同的6个小球,其中有m个红球,6-m个黄球,从袋中任取2个球,若恰有1个红球的概率为,设双曲线C的焦点在x轴上且实轴长为,又双曲线C过点;(1)求m的值及双曲线标准方程。(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB,求弦AB所在直线
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