作业01：全等三角形-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业（含解析）

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作业01：全等三角形-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（）．

A．B．C．D．

2．已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（）

A．这条边上的高对应相等B．这条边上的中线对应相等

C．这个角的角平分线对应相等D．这个角的另一条邻边对应相等

3．如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（）

A．B．6C．9D．12

4．如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．与的大小关系无法确定

5．如图，已知是的平分线，，若，则的面积（）

A．B．C．D．不能确定

6．如图，在五边形中，，，，，，则五边形的面积等于（）

A．16B．20C．24D．26

7．如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（）

A．B．C．D．13

8．如图，在中，，，，平分，则点D到的距离为（）

A．1B．2C．3D．4

9．如图在，中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

10．如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

11．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为_____．

12．如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为____________时，与全等．

13．如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________．

14．如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有__对．

15．如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则______．

16．如图，在中，，，，平分，于点，则的周长是______．

17．如图，在中，，按以下步骤作图：

①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；

②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；

③作射线，交于点D．若，则点D到直线的距离是________．

18．如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，，．如图，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为_____．

19．如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，且的面积为10，则的长为________．

20．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒6个单位的速度，沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．与全等，_____．

三、解答题

21．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；

（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

22．补充完成下列推理过程：

已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且，求证：．

证明：∵为的中点（已知），

∴（_____________________），

∵（已知），

∴（_____________________），

又（已知），

∴（_____________________），

∴_______，

在与中

，

∴（___________），

∴（_____________________）．

23．如图①所示，点B、F、C、E在一条直线上，，，交于O．

(1)已知___________，求证：平分．

请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线上，并完成解答．

你选择的条件是___________．（只需填写序号）①；②；③．

(2)若将的边沿方向移动，使，如图②所示．则（1）中的结论是否还成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由．

24．如图，在中，，，平分交于点F，于点E，，的延长线交于点M．

(1)求证：

(2)求证：．

25．如图，中，，为边上的高．

(1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）：

(2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数．

26．如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．

(1)请添加一个条件________使，并说明理由．

(2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．

27．如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．

(1)试说明：；

(2)可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；

(3)求的度数．

28．中，平分线与相交于点，，垂足为．

(1)如图1，若，则______°；

(2)如图2，若是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2，用等式表示，与之间的数量关系并证明．

(3)若是钝角三角形，其中．过点作，交直线于点，直接写出，与之间的数量关系．

29．在一次主题为“神奇的等腰直角三角板”的数学探究活动中，卓越小组做出了如下研究：

(1)小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高度都为的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙（点在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点与点分别与木墙的顶端重合，小华说无需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离，请你帮小华写出求解过程．

(2)小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形，其中，，，，接着小聪以点为直角顶点，画出的等腰直角三角板，连接，探索中发现无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，请直接写出的面积．

30．如图，线段是的中线，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、．

(1)请问与全等吗？说明理由；

(2)若的面积为10，的面积为6，求的面积．

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）

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作业01：全等三角形-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出，即可求出答案．

【详解】解：如图，过点作于点，

∵是的角平分线，，，

∴，

∴，

∴，

即有：，

∴，

故选：．

【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形面积的应用，解此题的关键是求出长和面积．

2．已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（）

A．这条边上的高对应相等B．这条边上的中线对应相等

C．这个角的角平分线对应相等D．这个角的另一条邻边对应相等

【答案】B

【分析】根据各选项提供的条件，分别画出图形，结合全等三角形的判定与性质逐一分析即可．

【详解】解：如图，由题意得：，，

增加：高高，

∴，

∴，

∴，

∴，故A不符合题意；

增加：角平分线，

由角平分线的性质可得：，而，

∴，

∴，而，，

∴，故C不符合题意；

增加：，

显然：，故D不符合题意；

增加：中线，

无法证明全等，无法证明全等，

∴得不到全等，故B符合题意；

故选B

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法与性质是解本题的关键．

3．如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（）

A．B．6C．9D．12

【答案】A

【分析】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求．

【详解】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，

∵平分，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵在中，，

∴的面积，

∵，

∴，

∵在中，，

∴即，是直角三角形，斜边为，

∴，

∵，

∴，

当G点与H点重合时，即时，可得，

此时达到最大，

∴则的最大值为3，

∴的最大面积为：，

∵，

∴D点为中点，

∴，

∴的最大面积为：，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．

4．如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．与的大小关系无法确定

【答案】B

【分析】在上截取，，由即可求解．

【详解】解：如图，在上截取，

平分，

，

在和中

，

()，

，

在中：，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形中三边的关系，三角形全等的判定及性质，掌握性质，并根据题意作出辅助线是解题的关键．

5．如图，已知是的平分线，，若，则的面积（）

A．B．C．D．不能确定

【答案】A

【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．

【详解】如图所示，延长，交于点D，

，

∵，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

在和中，

，

∴，

∴,

∴，

∵和同底等高，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．

6．如图，在五边形中，，，，，，则五边形的面积等于（）

A．16B．20C．24D．26

【答案】B

【分析】延长至，使，连接，通过证明可得，，由可得，从而可证明，得到，最后由，进行计算即可得到答案．

【详解】解：如图，延长至，使，连接，

则，

在和中，

，

，

，，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．

7．如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（）

A．B．C．D．13

【答案】A

【分析】先证明，可得，，而，再由等面积法可得答案．

【详解】解：∵的两条高AD和BF相交于点E，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，而，

由等面积法可得：

，

解得：；

故选A

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明是解本题的关键．

8．如图，在中，，，，平分，则点D到的距离为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】过点D作，垂足为H，，根据角平分线的性质，可以得到，利用，可以求出线段的长度，问题即可解决．

【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，

∵，，

∴，

∵平分，，，

∴，

∴点到的距离等于3，

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，点到的距离指的是过点作的垂线段的长度，是解决此题的突破口．

9．如图在，中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】设交于点O，，可以判断①②，由，，可以判断③，过点C作，于点G，H，由，得，根据角平分线的性质可以判断④．

【详解】解：如图，设交于点O，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，故①正确；

∵，

∴，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，故③错误；

过点C作，于点G，H，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴平分，故④正确，

综上所述：结论正确的为①②④，共3个，

故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到．

10．如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【分析】①根据角平分线的性质得出结论：；②证明，得平分；③由四边形的内角和为得，再由平角的定义可得结论是正确的；④由得，再由，得出结论是正确的．

【详解】解：①，平分，，

；

所以此选项结论正确；

②，，，

，

，

平分，

所以此选项结论正确；

③，

，

，

，

所以此选项结论正确；

④，

，

，

，

所以此选项结论正确；

本题正确的结论有4个，

故选D．

【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．

二、填空题

11．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为_____．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）如图作于E，于F，于，可证，所以，由OP平分∠AOB，得证PE＝PF，于是Rt△POE≌Rt△POF，所以OE＝OF，同时△PEM≌△PFN，所以EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确；

（2）因为，故（2）正确；

（3）由三角形全等可知S△PEM＝S△PNF，所以S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确；

（4）M，N的位置变化，所以MN的长度是变化的，故（4）错误．

【详解】解：如图作于E，于F．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在Rt△POE和Rt△POF中，

，

∴Rt△POE≌Rt△POF，

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

∴△PEM≌△PFN，

∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，

∴S△PEM＝S△PNF，

∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，

∵，故（2）正确，

∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误．

故答案为：（1）（2）（3）

【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．

12．如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为____________时，与全等．

【答案】2或

【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当，时；②当，时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．

【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，

①当，时，，

，

，

，

，

解得：，

，

，

解得：；

②当，时，，

解得：，

解得：；

综上所述，当或时，，

故答案为：2或．

【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．

13．如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________．

【答案】36

【分析】过D作于F，由角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积．

【详解】解：过D作于F，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵点E为的中点，，

∴，

∴的面积．

故答案为：36．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．

14．如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有__对．

【答案】4

【分析】根据垂直定义得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，，根据垂直定义得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定定理推出和即可．

【详解】解：，，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

在和中，

，

，

在和中，

，

，

即全等三角形共4对，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和垂直的定义，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．

15．如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则______．

【答案】或

【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案．

【详解】解：设运动时间为秒，

由题意可知，，，

，

，

①当时，，，

，解得：，

②当时，，，

，解得：，

综上可知，的值为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．

16．如图，在中，，，，平分，于点，则的周长是______．

【答案】

【分析】由角平分线的性质可得，可证得，结合，即可求解．

【详解】解：∵平分，，于点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

又∵，，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．

17．如图，在中，，按以下步骤作图：

①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；

②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；

③作射线，交于点D．若，则点D到直线的距离是________．

【答案】3

【分析】过点作于，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可求解．

【详解】解：过点作于，如图，

由作法得平分，

又∵

∴

，

即点D到直线的距离是3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了尺规基本作图：作已知角的角平分线，点到直线的距离，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

18．如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，，．如图，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为_____．

【答案】或

【分析】根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解．

【详解】解：依题意，，，

∵和全等，

∴，或

∴或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，熟练掌握全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

19．如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，且的面积为10，则的长为________．

【答案】

【分析】如图所示，过点作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可求解．

【详解】解：如图所示，过点作于，

由作图方法可知，平分，

∵，

∴，，

∴，

∴,

故，即．

故答案为：．

【点睛】本题主要查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，三角形面积，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

20．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒6个单位的速度，沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．与全等，_____．

【答案】或

【分析】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，当与全等时，

分,或,分别列方程计算即可得解

【详解】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，当与全等时，

,

,

,或,

①

当点F由点C到点B，即时，

由得，解得；

②当点F由点C到点B，即时，由

得

解得：

综上，或

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论，解方程和方程组等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

三、解答题

21．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；

（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）

【分析】（1）根据即可得到，，从而得到，即可得到证明；

（2）根据得到，即可得到，即可得到证明；

（3）根据的面积为，，即可得到，，结合可得，，根据，得到，即可得到，即可得到答案；

【详解】（1）证明：∵，

∴，，，

∴，

在与中，

∵，

∴；

（2）解：成立，理由如下，

∵，

∴，，

∴，

在与中，

∵，

∴；

（3）解：∵的面积为，，

∴，，

∵，

∴，，

∵，

∴，，

∴，

在与中，

∵，

∴

∴，

∴；

【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．

22．补充完成下列推理过程：

已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且，求证：．

证明：∵为的中点（已知），

∴（_____________________），

∵（已知），

∴（_____________________），

又（已知），

∴（_____________________），

∴_______，

在与中

，

∴（___________），

∴（_____________________）．

【答案】中点性质两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行全等三角形对应边相等

【分析】根据平行线的性质与判定得到边与角的关系，再根据全等三角形的判定和性质即可得到答案．

【详解】证明：∵为AB的中点（已知），

∴（中点性质），

∵（已知），

∴（两直线平行，同位角相等），

又（已知），

∴（同位角相等，两直线平行），

∴，

在与中

∴（），

∴（全等三角形对应边相等）．

故答案：中点性质两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行全等三角形对应边相等．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用平行线的性质和中点性质，得到三角形全等的条件是解题的关键．

23．如图①所示，点B、F、C、E在一条直线上，，，交于O．

(1)已知___________，求证：平分．

请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线上，并完成解答．

你选择的条件是___________．（只需填写序号）①；②；③．

(2)若将的边沿方向移动，使，如图②所示．则（1）中的结论是否还成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由．

【答案】(1)选择①②③都可以，证明见解析

(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析

【分析】（1）选择①：先由平行线的性质得到，进而证明得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；

选择②：由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；

选择③先由平行线的性质得到，再证明，进而证明得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；

（2）先由平行线的性质得到，再证明，进而证明得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；

【详解】（1）解：选择①：

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即平分；

选择②；∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分；

选择③：∵，，

∴，

∵，

∴，即

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即平分；

（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：

∵，

∵，，

∴，

∴，即，

∵，

∴，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即平分．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．

24．如图，在中，，，平分交于点F，于点E，，的延长线交于点M．

(1)求证：

(2)求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据角平分线的定义利用证明即可；

（2）先结合对顶角相等证明得到，再结合得到即可得到证明．

【详解】（1）证明：由题意得，即，

∴，

∵平分，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）证明：∵，

由图可得，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、对顶角相等和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），灵活运用所学知识证明是解决本题的关键．

25．如图，中，，为边上的高．

(1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）：

(2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，作的角平分线即可；

（2）根据三角形的内角和定理可得，，根据角平分线的性质可得，根据三角形的内角和定理即可求得．

【详解】（1）解：如图：点即为所求；

作法：作的角平分线，与的交点即为所求；

理由：∵是的角平分线，

∴点到的距离等于点到的距离，

∵，

∴点到的距离即为的值，故点到边的距离等于．

（2）解：如图：

∵，，

∴，

又∵为边上的高，

∴，

∴，

由（1）可知是的角平分线，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．

26．如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．

(1)请添加一个条件________使，并说明理由．

(2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)，理由见解析；

(2)，理由见解析．

【分析】（1）利用判定定理，添加即可判断；

（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．

【详解】（1）解：添加条件：，理由如下：

∵，，，

∴；

（2）解：，理由如下：

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

27．如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．

(1)试说明：；

(2)可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；

(3)求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)绕点顺时针旋转可以得到

(3)82°

【分析】（1）根据全等的性质，得到，进而得到，即可得证；

（2）点与点为对应点，，即可得出结论；

（3）根据全等得到由（1）得到，利用三角形的外角的性质进行求解即可．

【详解】（1）解：，

．

．

．

（2）∵点与点为对应点，，点和点为对应点，，

∴绕点顺时针旋转可以得到．

（3），

∴

∵，

．

【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角．熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．

28．中，平分线与相交于点，，垂足为．

(1)如图1，若，则______°；

(2)如图2，若是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2，用等式表示，与之间的数量关系并证明．

(3)若是钝角三角形，其中．过点作，交直线于点，直接写出，与之间的数量关系