浙江省杭州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类（含解析）

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浙江省杭州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

一．根的判别式（共1小题）

1．（2023杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．

①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．

二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

2．（2023杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．

（1）求k1，k2的值．

（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．

3．（2022杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．

（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），

①求函数y1，y2的表达式；

②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．

（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）

4．（2023杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：

x…﹣10123…

y…m1n1p…

（1）若m＝4，

①求二次函数的表达式；

②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．

（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．

四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

5．（2023杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．

（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．

五．抛物线与x轴的交点（共1小题）

6．（2022杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．

（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．

（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．

（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．

六．正方形的性质（共1小题）

7．（2022杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．

（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．

（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．

①求证：EK＝2EH；

②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：＝4sin2α﹣1．

七．圆的综合题（共1小题）

8．（2023杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．

（1）若BE＝1，求GE的长．

（2）求证：BC2＝BGBO．

（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．

八．相似三角形的判定与性质（共2小题）

9．（2022杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．

（1）若AB＝8，求线段AD的长．

（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

10．（2023杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．

（1）求证：△ABG∽△AFC．

（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．

（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GEGD．

九．算术平均数（共1小题）

11．（2022杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示：

候选人文化水平艺术水平组织能力

甲80分87分82分

乙80分96分76分

（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？

（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？

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参考答案与试题解析

一．根的判别式（共1小题）

1．（2023杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．

①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．

【答案】见解析．

【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，

∴②③均可，

选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝；

选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，

∴x1＝，x2＝．

二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

2．（2023杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．

（1）求k1，k2的值．

（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．

【答案】（1）k1＝10，k2＝2；（2）答案见解析．

【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2，

∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，

∴A（2，5），

∴将A（2，5）代入得：k1＝10，

∴，

∵点B的纵坐标是﹣4，

∴将y＝﹣4代入得，，

∴B（﹣，﹣4）．

∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，

解得：k2＝2．

∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．

（2）证明：如图所示，

由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），

设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，

∴当x＝0时，y＝0，

∴直线CD经过原点．

3．（2022杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．

（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），

①求函数y1，y2的表达式；

②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．

（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．

【答案】（1）①y1＝，y2＝﹣x+4；②y1＜y2；（2）1．

【解答】解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝，

1＝，

解得：k1＝3，

∴函数y1的表达式为y1＝，

把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，

把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，

，

解得，

∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；

②如图，

当2＜x＜3时，y1＜y2；

（2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），

∴﹣2（n﹣2）＝2n，

解得：n＝1，

∴n的值为1．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）

4．（2023杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：

x…﹣10123…

y…m1n1p…

（1）若m＝4，

①求二次函数的表达式；

②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．

（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．

【答案】（1）①y＝x2﹣2x+1；②当x＜1时，y随x的增大而减小；

（2）a≤﹣．

【解答】解：（1）①由题意得，

解得，

∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；

②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小；

（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，

若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，

∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，

∴m＝a+2a+1≤0，

∴a≤﹣．

四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

5．（2023杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．

（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．

【答案】（1）y＝x2﹣2x+1，顶点坐标（1，0）；

（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，该图象与x轴有两个不同的交点；

（3）证明P+Q＞6．

【解答】解：（1）由题意，得，

解得，

所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．

并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．

（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，

∵b2﹣4ac＝5＞0，

∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．

（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，

所以P+Q＝p2+p+1+q2+q+1

＝p2+q2+4

＝（2﹣q）2+q2+4

＝2（q﹣1）2+6≥6，

由条件p≠q，知q≠1．所以P+Q＞6，得证．

五．抛物线与x轴的交点（共1小题）

6．（2022杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．

（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．

（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．

（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．

【答案】（1）y1＝2x2﹣6x+4，对称轴为直线x＝；（2）﹣4；（3）0或．

【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），

∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．

（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，

y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．

∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．

∴b+c＝2h2﹣4h﹣2

＝2（h﹣1）2﹣4．

把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，

∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．

（3）由题意得，y＝y1﹣y2

＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）

＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．

∵函数y的图象经过点（x0，0），

∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．

∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．

即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．

六．正方形的性质（共1小题）

7．（2022杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．

（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．

（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．

①求证：EK＝2EH；

②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：＝4sin2α﹣1．

【答案】（1）5；

（2）①见解答过程；

②见解答过程．

【解答】（1）解：如图1，

∵点M是边AB的中点，若AB＝4，当点E与点M重合，

∴AE＝BE＝2，

∵AE＝2BF，

∴BF＝1，

在Rt△EBF中，EF2＝EB2+BF2＝22+12＝5，

∴正方形EFGH的面积＝EF2＝5；

（2）如图2，

①证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴∠K+∠AEK＝90°，

∵四边形EFGH是正方形，

∴∠KEF＝90°，EH＝EF，

∴∠AEK+∠BEF＝90°，

∴∠AKE＝∠BEF，

∴△AKE∽△BEF，

∴，

∵AE＝2BF，

∴，

∴EK＝2EF，

∴EK＝2EH；

②证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠KIH＝∠GJF，

∵四边形EFGH是正方形，

∴∠IHK＝∠EHG＝∠HGF＝∠FGJ＝90°，EH＝FG，

∵KE＝2EH，

∴EH＝KH，

∴KH＝FG，

在△KHI和△FGJ中，

，

∴△KHI≌△FGJ（AAS），

∴S△KHI＝S△FGJ＝S1，

∵∠K＝∠K，∠A＝∠IHK＝90°，

∴△KAE∽△KHI，

∴＝＝，

∵sinα＝，

∴sin2α＝，

∴＝4sin2α，

∴＝4sin2α﹣1．

七．圆的综合题（共1小题）

8．（2023杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．

（1）若BE＝1，求GE的长．

（2）求证：BC2＝BGBO．

（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．

【答案】（1）1；

（2）证明过程见解答；

（3）∠CAD＝45°，证明见解析．

【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE+∠D＝90°，

∵CF⊥AD，

∴∠FCD+∠D＝90°，

∴∠DAE＝∠FCD，

由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，

∴∠BCD＝∠FCD，

在△BCE和△GCE中，

，

∴△BCE≌△GCE（ASA），

∴GE＝BE＝1；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CEB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBE，

∴△ACB∽△CEB，

∴＝，

∴BC2＝BABE，

由（1）知GE＝BE，

∴BE＝BG，

∵AB＝2BO，

∴BC2＝BABE＝2BOBG＝BGBO；

（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：

如图，连接OC，

∵FO＝FG，

∴∠FOG＝∠FGO，

∵直径AB垂直弦CD，

∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，

∵AE＝AE，

∴△ACE≌△ADE（SAS），

∴∠DAE＝∠CAE，

设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，

则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝α，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，

∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，

∴β+α＝90°，

∴α＝90°﹣β，

∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，

∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，

∴∠COF＝∠AOF，

在△COF和△AOF中，

，

∴△COF≌△AOF（SAS），

∴∠OCF＝∠OAF，

即90°﹣3α＝α，

∴α＝22.5°，

∴∠CAD＝2a＝45°．

八．相似三角形的判定与性质（共2小题）

9．（2022杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．

（1）若AB＝8，求线段AD的长．

（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

【答案】（1）2；

（2）6．

【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，

∴DE∥BF，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝，

∵AB＝8，

∴AD＝2；

（2）∵△ADE∽△ABC，

∴＝（）2＝（）2＝，

∵△ADE的面积为1，

∴△ABC的面积是16，

∵四边形BFED是平行四边形，

∴EF∥AB，

∴△EFC∽△ABC，

∴＝（）2＝，

∴△EFC的面积＝9，

∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．

10．（2023杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．

（1）求证：△ABG∽△AFC．

（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．

（3）已知点E在线段