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PAGE还是个帅哥但是第七章第3节空间点、直线、平面的位置关系[基础训练组]1.(导学号14577641)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能解析:D[在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.]2.(导学号14577642)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()解析:D[在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,∴四点不共面,故选D.]3.(导学号14577643)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2()A.互相平行 B.异面且互相垂直C.异面且夹角为eq\f(π,3) D.相交且夹角为eq\f(π,3)解析:D[将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为eq\f(π,3).故选D.]4.(导学号14577644)已知空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥eq\f(1,2)(AC+BD);②MN>eq\f(1,2)(AC+BD);③MN=eq\f(1,2)(AC+BD);④MN<eq\f(1,2)(AC+BD).其中正确的是()A.①③ B.②④C.② D.④解析:D[如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=eq\f(1,2)AC,ON=eq\f(1,2)BD.在△MON中,MN<OM+ON=eq\f(1,2)(AC+BD),∴④正确.]5.(导学号14577645)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是()A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形解析:D[如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,∴截面为六边形PQFGRE.]6.(导学号14577646)如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件______时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件______时,四边形EFGH是正方形.或eq\r(6).设球O的半径为R,则2R=eq\r(AA\o\al(2,1)+AC2)=eq\r(AB2+AC2)=4或eq\r(51).故选C.]12.(导学号14577653)(文科)如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)解析:A[如图,三棱锥D-ABC的棱AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则AE=1,OE=1,∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.DE=eq\r(2),AO=eq\r(2),DO=eq\r(3).在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE=eq\f(1+3-2,2×1×\r(3))=eq\f(\r(3),3).故选A.]13.(导学号14577654)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=eq\r(2)∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1.因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=eq\r(2)a,所以AB1=eq\r(3)a,B1D1=eq\f(\r(3),2)a,AD1=eq\r(\f(1,4)a2+2a2)=eq\f(3,2)a.所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos∠AB1D1=eq\f(AB\o\al(2,1)+B1D\o\al(2,1)-AD\o\al(2,1),2AB1·B1D1)=eq\f(3a2+\f(3,4)a2-\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)=eq\f(1,2),所以∠AB1D1=60°.答案:60°14.(导学号14577655)如图,在体积为eq\r(3)的正三棱锥A-BCD中,BD长为2eq\r(3),E为棱BC的中点,求:(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值;(2)正三棱锥A-BCD的表面积.解:(1)过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,由eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3×AO=eq\r(3),得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE=eq\r(2).取BD中点F,连接AF,EF,故EF∥CD,所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角.在△AEF中,AE=AF=eq\r(2),EF=eq\r(3).所以cos∠AEF=eq\f(AE2+EF2-AF2,2·AE·EF)=eq\f(\r(6),4).所以异面直线AE与CD所成的角的余弦值为eq\f(\r(6),4).(2)由AE=eq\r(2)可得正三棱锥A-BCD的侧面
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