2022-2023学年广东省河源市合水中学高三数学文联考试题含解析

2022-2023学年广东省河源市合水中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若且，则（

）A. B. C. D.或参考答案：D【分析】对进行分类讨论，然后结合对数函数的单调性即可判断．【详解】解：∵且，当时，有，当时，有，故选：．【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．2.函数（）A．在上递增 B．在上递增，在上递减C．在上递减 D．在上递减，在上递增 参考答案：D3.函数的反函数为（A）

(B)（C）

(D)

参考答案：B4.函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（

）A．(0,4)

B．(－∞,0)∪(1,4)

C.

D．(0,1)∪(4,+∞)参考答案：D根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，由图象可知，当时，函数的图象在图像的下方，满足；当时，函数的图象在图像的下方，满足；所以满足的解集为或，故选D.

5.若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的最大值是（）A．﹣7 B．C．﹣1 D．7参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移求出z最大值即可．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得A（﹣3，4）代入z=x﹣y得z=﹣3﹣4=﹣1，即z=x﹣y的最大值是﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．6.直线的倾斜角的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知非零向量满足，则为A.等腰非等边三角形 B.等边三角形C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形参考答案：A8.（5分）（2015?丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增参考答案：A【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解：由于f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．【点评】：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．9.某单位有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工是老职工的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽出的样本中有青年职工32人，则该样本中老年职工人数为

A．9

B．18

C．27

D．36

参考答案：B略10.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则=

（A）

（B）6

（C）12

（D）参考答案：

C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区域内随机撒一把黄豆，落在区域N＝内的概率是__________．参考答案：略12.计算：

参考答案：13.将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．参考答案：

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值．【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）的最大值为，故答案为：．14.如图，已知P是圆O外一点，PA为圆O的切线．A为切点．割线PBC经过圆心O，若PA＝3，PC=9，则∠ACP=＿＿＿参考答案：15.已知四棱锥P-ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且，，则球O的表面积为

．参考答案：

16.用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x﹣[lgx]﹣2=0的实根个数是．参考答案：3个【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先进行换元，令lgx=t，则得t2﹣2=[t]，作y=t2﹣2与y=[t]的图象可得解的个数．【解答】解：令lgx=t，则得t2﹣2=[t]．作y=t2﹣2与y=[t]的图象，知t=﹣1，t=2，及1＜t＜2内有一解．当1＜t＜2时，[t]=1，t=．故得：x=，x=100，x=，即共有3个实根故答案为：317.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问

(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.参考答案：甲三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分）已知，其中是自然常数，．（1）讨论时,的单调性、极值；（2）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（1），

2分∴当时，，

当时，，

4分在（0,1）单调递减；在（1，e）单调递增.∴的极小值为；

6分

（2）假设存在实数，使有最小值，

①当时，，所以在上单调递减，

、解得（舍），所以，此时无最小值.

9分

②当时，在上单调递减，在上单调递增、

，，满足条件.

10分

③当时，，所以在上单调递减，

,解得（舍），所以，此时无最小值.

11分

综上，存在实数，使得当时有最小值.

12分19.（本小题12分）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公差，。

(1)求数列的通项公式；

（2）若成等比数列，求数列的前项和。参考答案：解：（１）所以成等比数列，，即（２）因为，设公差为d由于成等比数列，所以解得，，故.略20.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若、，求．参考答案：略21.（本小题满分12分）

2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引起了海啸及核泄漏.，某国际组织用分层抽样的方法从心理专家，核专家，地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见下表（单位：人）。

相关人员数抽取人数心理专家24核专家48地质专家726（Ⅰ）求研究团队的总人数；（Ⅱ）若从研究团队的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为心理专家的概率.

参考答案：解：（I）依题意，，解得，研究团队的总人数为12人

…6分

（II）设研究小组中心理专家为、，核专家为、、、，从中随机选2人，不同的结果有：、、、、、、、、、、、、、、，共15种.

……………10分其中恰好有1位来自心理专家的结果有：、、、、、、、共8种.所以恰好有1人来自心理专家的概率为.

……………12分略22.（本大题满分13分）已知等比数列的首项，数列前n项和记为，前n项积记为

（1）证明：

（2）判断的大小，并求n为何值时，取得最大值；

（3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为证明：数列为等比数列。

（参考数据）参考答案：（1）证：，当n=1时，等号成立

，当n=2时，等号成立

∴S2≤Sn≤S1．

4分

（2）解：

∵，∴当n≤10时，|Tn+1|>|Tn|，当n≥11时，|Tn+1|<|Tn|

故|Tn|max=|T11|

又T10<0，，T11<0，T9>0，T12>0，∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者

∵，∴T12>T9

因此当n=12时，Tn最大．

8分

（3）证：∵，∴|an|随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负

①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则

，，

∴，因此成等差