新教材21版数学必修1人A新教材学习方略2课件

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小必备知识·自主学习导思1.用什么来表示实际问题中的不等关系？2.如何比较两个实数的大小？1.不等式与不等关系(1)不等式的概念我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的_________.含有这些不等号的式子叫做不等式.不等关系(2)不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于或等于，至少，不低于小于或等于，至多，不多于，不超过符号语言><≥≤(3)本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示.应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系.【思考】3≤3成立吗？提示：成立.不等式“a≤b”的含义是：或者“a<b”或者“a=b”，即当“a<b”与“a=b”一个成立时，该不等式就成立.2.比较两个实数a，b大小的依据文字语言符号表示如果a>b，那么a-b是正数，反之亦然a>b⇔______如果a<b，那么a-b是负数，反之亦然a<b⇔______如果a=b，那么a-b等于0，反之亦然a=b⇔______a-b>0a-b<0a-b=0【思考】你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法？提示：能.通过两个实数作差，判断差的正负比较大小.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”. (

)(2)若x-2≤0，则x<2. (

)(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种. (

)提示：(1)√.不等式a≥b的含义是a>b或a=b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a=b中有一个正确，则a≥b正确.(2)×.若x-2≤0，则x<2或者x=2，即x≤2.(3)√.任意两数之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种，没有其他大小关系.2.某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速vkm/h应满足的关系式为 (

)

A.v<60 B.v>60C.v≤60 D.v≥36【解析】选C.限速就是速度不超过，可以直接建立不等式v≤60.3.(教材二次开发：练习改编)已知x≠2，则x2+4与4x的大小关系为_______.

【解析】x2+4-4x=(x-2)2，而x≠2，所以(x-2)2>0，所以x2+4-4x>0，所以x2+4>4x.答案：x2+4>4x关键能力·合作学习类型一利用不等式(组)表示不等关系(数学抽象、逻辑推理)

角度1利用不等式表示不等关系

【典例】1.2019年10月5日14时18分，京张高铁联调联试正式启动.此条线路是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时速350公里.用一个数学式子表示高铁时速v为_______.

2.中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示为_______.

【思路导引】读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来.【解析】1.“最高”即“不超过”，即小于或等于，故用数学式子表示为：v≤350.答案：v≤3502.“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v<11.2.答案：7.9≤v<11.2【变式探究】本例1条件若改为：“如图是高速公路上一个最低限速的指示标志，限制行驶时速v不得低于50千米”，试用不等式表示.【解析】“不低于”即大于或等于，故用不等式表示为：v≥50.角度2利用不等式组表示不等关系

【典例】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm.试用不等式组表示其中的不等关系.【思路导引】读懂题意，找出不等关系，用不等式组表示出来.【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一条边长为

(m).因此菜园面积S=x·

，依题意有S≥110，即x≥110，故该题中的不等关系可用不等式组表示为

【解题策略】用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.【题组训练】1.如图是公路上一个限制宽度的指示标志，要求装载宽度a不得超过3米，用不等式表示为_______.

【解析】“不超过”即小于或等于，故用不等式表示为：a≤3.答案：a≤32.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种钢管.按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？【解析】设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm.(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍.(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：【补偿训练】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法，增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件，若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？【解析】由题知提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元，则“每天的利润不低于300元”可用不等式表示为(x-8)[100-10(x-10)]≥300(x>10).类型二作差法比较大小(逻辑推理、数学运算)【典例】已知a≠1且a∈R，试比较与1+a的大小.四步内容理解题意条件：a≠1，a∈R结论：比较与1+a的大小思路探求作差⇒化简⇒判定差的符号⇒确定大小关系四步内容书写表达因为-(1+a)=-=，①(1)当a=0时，=0，所以=1+a.(2)当a<1，且a≠0时，>0，所以

>1+a.(3)当a>1时，<0，所以<1+a.注意分类讨论思想方法的应用：①当作差化简后的结果不能直接判定符号时，要讨论.

题后反思作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方法是配方或通分，因式分解为积商的形式.【解题策略】作差法比较大小的步骤【跟踪训练】1.已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，试比较P，Q的大小.【解析】因为P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0，所以P≥Q.2.已知a，b均为正实数.试比较a3+b3与a2b+ab2的大小.【解析】因为a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).当a=b时，a-b=0，a3+b3=a2b+ab2；当a≠b时，(a-b)2>0，a+b>0，a3+b3>a2b+ab2.综上所述，a3+b3≥a2b+ab2.【拓展延伸】中间值法比较大小如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比较大小.利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来寻找中间值作媒介，以达到传递的目的.【拓展训练】已知x∈R，试比较2x2-3x+3与的大小.【解析】因为2x2-3x+3=≥>1，2x+2-x=()2+2≥2，所以≤1，所以2x2-3x+3>.类型三比较大小在实际问题中的应用(数学抽象、数学建模)【典例】2019年12月26日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.【思路导引】先设出变量表示出两车队的车票花费，再通过作差法比较.【解析】设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元.由题意，得y1=x+x·(n-1)=x+nx，y2=nx.因为y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x，当n=5时，y1=y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.【解题策略】现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题.【跟踪训练】甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱.问：谁的购买方式更合算？【解析】设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)，则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：

乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：

因为所以>.所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.课堂检测·素养达标1.下列说法正确的是 (

)A.x为非正数可表示为“x≥0”B.小华的实际年龄n不足18岁，表示为“n≤18”C.两数x，y的平方和不小于2，表示为“x2+y2≥2”D.甲数a比乙数b大，表示为“a≥b”【解析】选C.x为非正数应表示为“x≤0”，小华的实际年龄n不足18岁应表示为“n<18”，甲数a比乙数b大，应表示为“a>b”，故A，B，D不正确，C正确.2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是 (

)

A. B.C. D.【解析】选D.“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以

3.设a=3x2-x+1，b=2x2+x，则 (

)A.a>b B.a<b C.a≥b

D.a≤b【解析】选C.a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2