2021-2022学年北京市东城区第十一中学中考数学四模试卷含解析

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）B30，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D．如果CE8，则ED的长为（）1．如图，在ABC中，A．2B．3C．4D．64B．C．5D．73．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未8×9=10×7+2=1．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）6．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，象是（）A．B．C．D．1，一个扇形圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片的纸片折叠，使点与点O恰好重合，折痕A面积为（）8488D．43B．43C．233338．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=57010﹣x）=31×10﹣570B．31x+1×10x=31×10﹣570D．31x+1×10x﹣1x1=570C．（31﹣x）（9．如图，AB//CD，130，则2的大小是()10．如图，若数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是（）B．311．去年二月份，某房地产商将房价提高40%，在中央“房子是用来住的，不是用来炒的”指示下达后，立即降价30%．设降价后房价为x，则去年二月份之前房价为（）B．（1+40%）（1﹣30%）xxD．C．1﹣30%140%12．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面1000面积为πcm2，则扇形圆心角的度数为（）3A．120°B．140°C．150°D．160°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．今年，某县境内跨湖高速进入施工高峰期，交警队为提醒出行车辆，在一些主要路口设立了交通路况警示牌（如图）．已知立杆AD高度是4m，从侧面C点测得警示牌顶端点A和底端B点的仰角（∠ACD和∠BCD）分别是60°，45°．那么路况警示牌AB的高度为_____．14．21世纪纳米技术将被广泛应用．纳米是长度的度量单位，1纳米=0.000000001米，则12纳米用科学记数法表示为15．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另AD10cm，点cm一边交量角器于点A，D，量得D在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________．x的一元二次方程kx+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是217．如图，已知ABBC,要使ABDCBD,还需添加一个条件，则可以添加的条件是．（只写一个即可，不需要添加辅助线）2,018．已知抛物线y=ax2+bx+c=0(a≠0)与轴交于A，两点，若点A的坐标为，线段的长为，x8ABB则抛物线的对称轴为直线________________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，19．（6分）某文具店购进A，B两种钢笔，若A种钢笔解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．购进2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具要店购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店哪几种购买有方案？（3）文具店每支以30元的B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每1元，每月将少卖4支，设文具将店新购进的B种钢笔每支a元（a为正整数），这批钢笔每月获利W元，W与a之间的函数关系式，并且5支，共需145元．并且价格销售涨价涨价销售试求B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？6分）列方程或方程组解应用题：“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点45千米，他从家出发到上班地点，4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千10千米．他用骑公共骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的21．（6分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线并说明理由．22．（8分）某新建小甲、乙两个工程队想承建这项工程．经区要修一条1050米长的路，了解得到以下信息（如表）：工程每天修路的长度队（米）单独完成所需天数（天）每天所需费用（元）甲队30乙队mn600n﹣141160（1）甲队单独完成这项工（2）甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，①当x=90时，求出乙队修路的天数；函数关系式（不用②求y与x之间的写出x的取值范围）；③若总费用不超过22800元，求至少先修了程所需天数n=，乙队每天修路的长度m=（米）；又用了y天完成这项工程（其中x，y为正整数）．甲队多少米．8x241)(2x11)]的值．23．（8分）先化简后求值：已知：x=3﹣2，求21x4[(4xBD为△ABC外接圆⊙的直径，且OBAE=∠CO与⊙相切于点A；若AE∥BC，∠△OAB10分）如图，中，，为中点，OA=OBCABO心，长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，在O交于点F和D，连接EF，CF，CF与OA交于点G；y球从离地面1米的A处飞出（A在轴上），足球场上守门员在O处开出一高球，运动员乙在距O正上方达到最高点M，距地面约4米高，点6米的处发现球在自己头的球落地后又一次弹起．据实验测算，足球B在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点C距取437）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？12分）如图，角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，守门员多少米？（27．（在直点B的坐标为x3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数yk的图象经过点M，N．x（4，2），直线y12（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．BMONP参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】BE=CE=8，再在△BED30°ED中利用角的性质即可求解．先利用垂直平分线的性质证明Rt【详解】解：因为DE垂直平分BC，所以BECE8，在RtBDE中，，B30则ED1BE184；22故选：C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2、C【解析】如图所示：过点作⊥于点，OODABD∵OB=3，AB=4，⊥，ODAB11∴BD=AB=×4=2，22ODOB2BD32225．2在Rt△BOD=中，故选C．3、C【解析】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C．【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．4、D【解析】试题分析：解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选D．考点：生活中的平移现象5、A【解析】试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．6、C【解析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的∠BAP=∠CPD，进而即可补角相等可得出证出△ABP∽△PCD即可得出y=-1x2+x，根据相似三角形的性质，对照四个选项即可得出．a【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．∵∠APD=60°，∠B=60°，∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，yax，xa∴CDPC,即BPAB1∴y=-x2+x.a故选C.【点睛】利用相似三角形的性质找出y=-1x2+x是解题考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，a的关键．7、C【解析】连接OD，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出∠，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得CDAOD到答案．【详解】解：连接OD，1在Rt△OCD中，OC＝OD＝2，2∴∠ODC＝30°，CD＝OD2OC223∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝60421223=238，36023【点睛】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，依据AB//CD，即可得到1CEF30，再根据2CEF180，即可得到218030150．【详解】解：如图，AB//CD，1CEF30，2CEF180，又218030150，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等．10、B【解析】由数轴上的点A、B分别与实数﹣1，1对应，即可求得AB=2，再根据半径相等得到BC=2，由此即求得点C对应的实数．【详解】∵数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，∴AB=|1﹣（﹣∴BC=AB=2，∴与点C对应的实数是：1+2=3.故选B．1）|=2，【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记实数与数轴上的点是一一对应的关系是解决本题的关键．11、D【解析】根据题意可以用相应的代数式表示出去年二月份之前房价，本题得以解决．【详解】由题意可得，x去年二月份之前房价为：÷(1﹣30%)÷(1+40%)=，x130%﹣140%故选：D．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．12、C【解析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】∵OB=10cm，AB=20cm，∴OA=OB+AB=30cm，设扇形圆心角的度数为α，1000∵纸面面积为πcm2，3360a302a1021000，∴3603∴α=150°，故选：C．【点睛】本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积nR2.360=二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）124313、3m【解析】由特殊角的正切值即可得出线段CD的长度，在Rt△BDC，得出CD=BD，求出长度，再利用BCD=45°BD中，由∠线段间的关系即可得出结论．【详解】△在中RtADC,∠=60°，AD=4ACDAD∴tan60°==3CD43∴CD=343∵在Rt△BCD中,∠BAD=45∘，CD=343∴BD=CD=.3431243∴AB=AD-BD=4-=331243路况警示牌AB的高度为m．31243故答案为：3m．【点睛】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．14、1.2×10﹣1．【解析】于1的正一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是绝对值小数也可以利用科学记数法表示，其所使用的是故答案为1.2×10−1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前12BOD30,根据垂径定理有：AEAD5,解1与交于点，根据圆周角定理有BAD连接OC,OD,OCADE2直角OAE即可△.【详解】与交于点，连接OC,OD,OCADEBAD1BOD30,2AE10cos3033.OAOEAEtan3053,3103353353.3CEOCOE直尺的宽度：5故答案为33【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.16、k≥，且k≠1【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥1，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠1．考点：根的判别式．17、可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．【解析】由AB=BC结合图形可加一组边利用SSS证明全等，知这两个三角形有两组边对应相等，添也可以添加一对夹角相等，利用SAS证明全等，据此即可得答案.【详解】.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，①∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，ABBCABDCBD，∵BDBD∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD，在△ABD和△CBD中，ABBCADCD，∵BDBD∴△ABD≌△CBD（SSS），故答案为∠ABD=∠CBD或AD=CD．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键.熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．18、x2或x=-1【解析】A的坐标及AB的长度可得B的坐标，由点出点由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．【详解】∵点A的坐标为（-2，0），线段AB的长为8，∴点B的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，26210∴抛物线的对称轴为直线x==2或x==-1．22故答案为x=2或x=-1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）A种钢笔每只15元B种钢笔每只20元；（2）方案有两种，一方案为：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔为47支方案二：购进A种钢笔44支，购进B种钢笔46支；（3）定价为33元或34元，最大利润是728元.【解析】（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，2x3y903x5y145，由题意得x15解得：，y20答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；（2）设购进A种钢笔z支，15z2090z1588由题意得：z90z，∴42.4≤z<45，∵z是整数z=43，44，∴90-z=47，或46；∴共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；7（3）W=（30-20+a）（68-4a）=-4a²+28a+680=-4(a-)²+729，2∵-4<0，∴W有最大值，∵a为正整数，∴当a=3，或a=4时，W最大，7∴W最大==-4×(3-)²+729=728，30+a=33，或34；B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元．15千米．2答：20、【解析】首先设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶千米，根据题意可得等量关系：骑公共自行车方式所用的时间=x自驾车方式所用的时间×4，根据等量关系，列出方程，再解即可．【详解】：解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶千米，根据题意列方程得：x1010=4×xx45解得：x=15，经检验x=15是原方程的解且符合实际意义．答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米．21、（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP≌△CBP，从而得出(2)、根据结论；全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP△EPC全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出，从而得出∠DCP=∠ECPF=∠EDF=60°，然后得出∠是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵PB=PB∴△ABP≌△CBPSAS（），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP（），SAS∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE110522、（1）35，50；（2）①12；②y=﹣x+；③150米．808（1）用总长度÷每天修路的长度可得n的值，继而可得乙队单独完成时间，再用总长度÷乙单独完成所需时间可得乙m；（2）①根据：甲队先修建的长度y与x之间的函数关系式；x米的费用+甲、乙两队每天费用×合作时间≤22800，列不等式求解可得．+（甲队每天修建长度+乙队每天修建长度）×两队合作时间=总长度，列式计算可得；解：（1）甲队单独完成这项工程所需天数n=1050÷30=35（天），则乙单独完成所需天数为21天，∴乙队每天修路的长度m=1050÷21=50（米），故答案为35，50；（2）①乙队修路的天数为=12（天）；x+（30+50）y=1050，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x+题意，得：600×+（600+1160）（﹣x+）≤22800，②由题意，得：；③由解得：x≥150，答：若总费用不超过22800元，甲队至少先修了150米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.34323、3【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算可得．将x的值【详解】x22x4x2x2，x2=1﹣=8x44x8x24x22•解：原式=1﹣•（÷）=1﹣•x2x2x2x22xx24x当x=3﹣2时，3﹣223﹣4343．3原式===3﹣223【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．24、（1）证明见解析；（2）AD=214．【解析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同∠BAE=∠DAO，弧所对的圆周角相等及已知得：再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；1（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，，根据FB=BC勾股定理计算、、的长即可．AFOBADABAC2【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F，则OA=OB，∴∠D=∠DAO，∵∠D=∠C，∴∠C=∠DAO，∵∠BAE=∠C，∴∠BAE=∠DAO，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，即∠DAO+∠BAO=90°，∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A；（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，1∴，，FB=BCABAC2∴AB=AC，∵BC=27，AC=22，∴BF=7，AB=22，2=1，7在Rt△ABFAF=2中，22在Rt△OFBOB=BF+OBAF中，（﹣），222∴OB=4，∴BD=8，2648214．∴在Rt△ABD中，AD=BD2AB【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．325、(1)见解析;(2)见解析;(3).5【解析】（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．【详解】证明：（1）∵OA=OB，AC=BC，∴OC⊥AB，O是AB的切线．∴⊙（2）∵OA=OB，AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，∴∠AOC=∠OEF，∴OC∥EF，∴△GOC∽△GEF，∴GOEF，GEOC∵OD=OC，∴OD•EG=OG•EF．（3）∵AB=4BD，∴BC=2BD，设BD=m，BC=2m，OC=OD