2021年广东省佛山市顺德杏坛梁銶琚中学高三数学理联考试卷含解析

2021年广东省佛山市顺德杏坛梁銶琚中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B【点评】：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．2.在△ABC中,A=60，若a,b,c成等比数列，则

A.

B．

C.

D．参考答案：B3.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD+VB﹣PCD==．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知平面平面，，若直线，满足，，则（

）A． B． C． D．参考答案：C试题分析：，，因此C是正确的，故选C．考点：空间线面的位置关系，线面垂直的性质．5.（2016郑州一测）设（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．0参考答案：C．6.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆,则这个几何体的表面积是 （）A． B． C． D．参考答案：A

由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球.其中两个半圆的面积为.个球的表面积为,所以这个几何体的表面积是,选A．7.设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B8.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 A.4

B.5 C.6

D.7参考答案：A略9.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数在内可导，且，则=

。参考答案：2略12.直三棱柱ABC－A1B1Cl的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120o，

则此球的表面积等于

．参考答案：13.以下命题：①若则∥；②在方向上的投影为；③若△中,则；④若非零向量、满足，则.其中所有真命题的标号是

▲

.参考答案：①②④14.（5分）（2015?西安校级二模）定义运算a?b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则（2cos）?（2tan）的值为．参考答案：4【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图可得其功能是求分段函数S=的值，从而由诱导公式化简已知后即可得解．解：模拟执行程序框图可得其功能是求分段函数S=的值，∵2cos=1＜2tan=2∴（2cos）?（2tan）=1?2=2（1+1）=4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了分支结构的程序框图，考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．15.抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，那么直线的斜率的概率是

参考答案：16.已知是等差数列，，则该数列前10项和=________参考答案：答案：10017.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为

.参考答案：答案：15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°。（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

参考答案：证明：（1）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．解:（2）取DC中点G,连接FG,则EG∥平面PAD,又直线EF∥平面PAD,所以平面EFG∥平面PAD,

所以FG∥平面AD∵M为AC中点,DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°,AB=4,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,AD=CD=,∠DGF=60°,DG,得AF=119.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1) 求角B的大小;（2）若,求b的取值范围参考答案：解:(1)由已知得

即有

因为,所以,又,所以,又,所以.(2)由余弦定理,有.因为,有.又,于是有,即有.略20.(本题满分12分)在数列中，，，设．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．参考答案：（Ⅰ）由两边加得，……2分所以，即，数列是公比为的等比数列…3分其首项为，所以

…………4分（Ⅱ）

……5分

①

②①-②得所以

………………8分(Ⅲ)由(Ⅰ)得，所以

……………10分所以不超过的最大的整数是．………………12分21.设向量，定义一种向量积．已知向量，，点为的图象上的动点，点为的图象上的动点，且满足（其中为坐标原点）．（Ⅰ）请用表示；（Ⅱ）求的表达式并求它的周期；（Ⅲ）把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.设函数，试讨论函数在区间内的零点个数.

参考答案：解：（Ⅰ），

……………2分（Ⅱ），所以，……4分因此即

………………6分所以，它的周期为．

………………8分（Ⅲ）在上单调递增，在上单调递减，又，

……………10分函数在区间内只有一个零点；函数在区间内有两个零点；当或时，函数在区间内没有零点．

…………12分

略22.（本小题满分13分）已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，求函数在（其中）上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1），，函数的图像关于直线对称，则．…2分直线与轴的交点为，，且，即，且，解得，．则．…………………5分（2），…………6分其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为；……7分（ⅱ）当时，最大值为；……8分（ⅲ）当时，最大值为．…9分（3）方法一：，，，当时，，不等式恒成立等价于且恒成立，……11分由恒成立，得恒成立，当时，，，又且实数的取值范围是……………13分方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如