2021-2022学年辽宁省本溪市陆集中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年辽宁省本溪市陆集中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于

（

）

A．21

B．19

C．17

D．15参考答案：答案：C2.已知i是虚数单位，则（

）A.2+i

B.2-i

C.1+2i

D.1-2i

参考答案：D略3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.4.已知a，b为不同直线，、、为不同的平面.在下列命题中，正确的是（

）A.若直线平面，直线平面，则B.若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则C.若直线，直线，且，，则D.若平面平面，平面平面，则参考答案：D【分析】根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果.【详解】且，和平行或相交，错误；平面内的无数条相互平行的直线均平行于平面，和可能相交，错误；若，此时直线，直线，且，，和可能相交，错误；由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的平行关系，涉及到线线关系、线面关系、面面关系.5.运行如图所示的程序框图，输出的结果为（

）A．37

B．33

C．11

D．8参考答案：C试题分析：，，，；，，，；，，否，输出.考点：程序框图．【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.6.（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数参考答案：A【考点】：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ=可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，∴f（x）=2sin（φ），∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A．【点评】：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．7.已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为（A）或

（B）或

（C）或

（D）或参考答案：A略8.在数列中，已知等于的个位数，则等于（

）A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：A9.设集合，集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：B10.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A试题分析：如图所示,函数为奇函数,所以不等式可转化为:,令,如图所示,.故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示的算法中，输出的结果是__________．参考答案：11略12.函数的定义域为____________________．参考答案：略13.设集合则

▲

．参考答案：

14.等比数列中，，则的前项和为___________.参考答案：120略15.已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模是

．参考答案：16.已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.已知函数，则

．参考答案：，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(1）将101111011（2）转化为十进制的数；(2）将53（8）转化为二进制的数.参考答案：（1）101111011（2）=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379.(2）53（8）=5×81+3=43.∴53（8）=101011（2）.

19.（本题满分14分）已知a>0且命题P：函数内单调递减；命题Q：曲线轴交于不同的两点.如果“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，求a的取值范围.参考答案：解：∵，

∴命题P为真时命题P为假时命题Q为真时，命题Q为假时由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.情形（1）：P正确，且Q不正确

情形（2）：P不正确，且Q正确综上，a取值范围是

另解：依题意，命题P为真时，0<a<1曲线轴交于两点等价于，得

故命题Q为真时，由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.等价于P、Q为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分.由图形知a取值范围是略20.随着智能手机和电子阅读器越来越普及，人们的阅读习惯也发生了改变，手机和电子阅读产品方便易携带，越来越多的人习惯通过手机或电子阅读器阅读.某电子书阅读器厂商随机调查了100人，统计了这100人每日平均通过手机或电子阅读器阅读的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知阅读时间在[60,80)，[20,40)，[40,60)三组对应的人数依次成等差数列.（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）若将日平均阅读时间不少于80分钟的用户定义为“电子阅读发烧友”，将日平均阅读时间少于40分钟的用户定义为“电子阅读潜在爱好者”，现从上述“电子阅读发烧友”与“电子阅读潜在爱好者”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰有1人为“电子阅读发烧友”的概率.参考答案：（1）由，解得，又，∴.（2）“电子阅读发烧友”“电子阅读潜在爱好者”的人数之比为：，所以“发烧友”抽取人，“潜在爱好者”抽取人，记事件：从人中任取人恰有人为“电子阅读发烧友”，设两名“电子阅读发烧友”的人记为：，，三名“电子阅读潜在爱好者”的人记为：，，，则这人中任选人有：，，，，，，，，，，共种情形，符合题设条件的有：，，，，，共有种，因此恰有人为“电子阅读发烧友”的概率为.

21.已知函数f（x）=alnx﹣ax（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+1﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证lnn!≤（n≥2，n∈N*）．参考答案：【考点】66：简单复合函数的导数；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1﹣e，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数F（x）的最大值，进而确定a的范围即可；（Ⅲ）令a=1则f（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性得到lnx＜x，对x取值，累加即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1﹣e=alnx+x+1﹣eF′（x）==0，若﹣a≤e，a≥﹣e，F（x）在[e，e2]是增函数，无解．若e＜﹣a≤e2，﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]是减函数；x∈[﹣a，e2]是增函数，F（e）=a+1≤0，a≤﹣1，.∴﹣e2≤a≤，若﹣a＞e2，a＜﹣e2，F（x）x∈[e，e2]是减函数，F（x）max=F（e）=a+1≤0，a≤﹣1，∴a＜﹣e2，综上所述a≤（或用参数分离法）（Ⅲ）令a=1则f（x）=lnx﹣x由（1）知f（x）在[1，+∞）上单调递减，又因为f（1）＜0，所以有lnx＜x，即ln2＜2，ln3＜3…lnn＜n，∴．22.（14分）已知点（1）求轨迹E的方程；（2）若直线过点且与轨迹交于两点，①无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值；②过作直线的垂线,求的取值范围。参考答案：（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，由得，故轨迹的方程为

3分（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为与双曲线方程联立消去得：∴，解得