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文档简介

控制工程基础期末总复习开环控制与闭环控制2对控制系统的基本要求稳定性、精确性、快速性3第二章数学模型一、控制系统的运动微分方程五、*非线性数学模型的线性化二、拉氏变换和拉氏反变换三、传递函数四、系统方框图和*信号流图六、*控制系统传递函数推导举例○、数学模型的基本概念4

数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

数学模型的形式

时间域:微分方程(一阶微分方程组)、差分方程、状态方程

复数域:传递函数、结构图

频率域:频率特性5

建立数学模型的一般步骤

分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统和各元件的输入、输出量;

从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量遵循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态微分方程;

消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程;

标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排6质量mfm(t)参考点x

(t)v

(t)机械系统7在零初始条件下,线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。试绘制系统的开环Bode图。高频段斜率大,提高抗干扰性能;系统所有闭环极点位于[s]平面的左半平面BodeDiagram一阶微分环节: s+1式中:s=+j(,均为实数);与系统的输入形式无关。二、一阶系统的时间响应G1(s)+G2(s)++Gn(s)时间域:微分方程(一阶微分方程组)、差sn a0 a2 a4 a6 …系统稳定的充分必要条件一阶系统的单位阶跃响应二、一阶系统的时间响应负穿越N-:相位减小。单位脉冲函数(t)消去中间变量,得到描述元件或系统输入、如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同,则表示系统具有正实部特征根的个数等于零,系统稳定;试绘制系统的开环Bode图。弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)8阻尼BfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)9

电气系统电阻Ri(t)u(t)10电容Ci(t)u(t)电感Li(t)u(t)11

拉氏变换设函数f(t)(t0)在任一有限区间上分段连续,且存在一正实常数,使得:则函数f(t)的拉普拉斯变换存在,并定义为:式中:s=+j(,均为实数);12典型函数的拉氏变换——附录A

单位阶跃函数1(t)

指数函数

正弦函数与余弦函数

单位脉冲函数(t)

单位速度函数(斜坡函数)13拉氏变换的主要定理延迟定理终值定理卷积定理…应用14

传递函数

在零初始条件下,线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

传递函数是复数s域中的系统数学模型,其参数仅取决于系统本身的结构及参数,与系统的输入形式无关。

15

传递函数求解示例

质量-弹簧-阻尼系统的传递函数

所有初始条件均为零时,其拉氏变换为:按照定义,系统的传递函数为:16

特征方程D(s)=0称为系统的特征方程,其根称为系统的特征根。零点和极点17G(s)=s+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图012312-1-2-3-1-2j18式中:s=+j(,均为实数);偏差信号(s)与误差信号E(s)的关系G1(s)+G2(s)++Gn(s)线性稳定系统在正弦信号作用下,当频率从零变化到无穷时,稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性,称为频率特性。极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。4系统稳定性的频域分析欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线高频段斜率大,提高抗干扰性能;sn-3 c1 c2 c3 c4 …()/(deg)常见的性能指标有:上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。转折频率:2=2rad/s典型函数的拉氏变换——附录A所有初始条件均为零时,其拉氏变换为:反之,称为非最小相位系统。单位速度函数(斜坡函数)负阻尼二阶系统:<0三、二阶系统的时间响应偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差,即:输出变量之间关系的微分方程;(s+3)(s2+2s+2)典型环节及其传递函数比例环节: K一阶微分环节: s+1二阶微分环节:积分环节:惯性环节:振荡环节:19系统方框图

系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。方框图的结构要素:信号线信号引出点(线)函数方框(环节)求和点(比较点、综合点)20系统方框图的简化

方框图的运算法则

串联连接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)21

并联连接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)22

反馈连接

G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)23

方框图的等效变换法则

求和点的移动

G(s)ABC±求和点后移G(s)ABC±求和点前移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±24

引出点的移动引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA25Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)Xo(s)FK2(s)K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2机械系统方框图26

梅逊公式式中,P—系统总传递函数Pk—第k条前向通路的传递函数(通路增益)—流图特征式27第三章时域分析法一、典型输入信号二、一阶系统的时间响应三、二阶系统的时间响应四、高阶系统的时间响应五、误差分析和计算六、稳定性分析28临界阻尼二阶系统:=1如果符号不同,系统不稳定,且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。单位速度(斜坡)信号低频段和高频段可以有更大的斜率。欠阻尼二阶系统(振荡环节):0<<1幅频特性、相频特性统称为频率特性幅频特性、相频特性统称为频率特性当sE(s)的极点均位于s平面左半平面(包括坐标原点)时,根据拉氏变换的终值定理,有:三、二阶系统的时间响应对于高阶系统,找到主导极点,降阶近似进行处理。式中:s=+j(,均为实数);二、一阶系统的时间响应三、频率特性的求取方法为阻尼比;Nyquist稳定判据:当由0变化到时,Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正、负穿越次数之差等于p/2时(p为系统开环右极点数),闭环系统稳定,否则,闭环系统不稳定。sn a0 a2 a4 a6 …控制系统的时域性能指标为阻尼比;(转折频率ω=1/T)转折频率:2=2rad/s复数域:传递函数、结构图正弦函数与余弦函数六、*控制系统传递函数推导举例复数域:传递函数、结构图(转折频率ω=1/T)低频段斜率大,提高稳态性能;三、二阶系统的时间响应典型环节及其传递函数根据已知系统的微分方程,输入正弦信号,求其稳态解,取输出稳态分量的复数之比(幅值比、相位差)。反之,称为非最小相位系统。分方程、状态方程分析系统工作原理和信号传递变换的过程,控制系统的时域性能指标反之,称为非最小相位系统。BodeDiagram周期,幅频特性、相频特性统称为频率特性根据已知系统的微分方程,输入正弦信号,求其稳态解,取输出稳态分量的复数之比(幅值比、相位差)。系统所有闭环极点位于[s]平面的左半平面(s+3)(s2+2s+2)比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节误差信号(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差,即:常用的典型输入信号Asint

正弦信号

1(t),t=0单位脉冲信号

单位加速度信号

t,

t0单位速度(斜坡)信号

1(t),t0单位阶跃信号

复数域表达式

时域表达式

29二、一阶系统的时间响应

一阶系统(惯性环节)一阶系统的单位阶跃响应极点(特征根):-1/T3010.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T31三、二阶系统的时间响应

二阶系统其中,T为时间常数,也称为无阻尼自由振荡周期,

为阻尼比;

n=1/T为系统的无阻尼固有频率。32二阶系统的特征方程:极点(特征根):欠阻尼二阶系统(振荡环节):0<<1临界阻尼二阶系统:=1过阻尼二阶系统:

>1零阻尼二阶系统:=0负阻尼二阶系统:

<033欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t其中,34

二阶系统的性能指标系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有:上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。

3510tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系统的时域性能指标36

高阶系统的响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。

四、高阶系统的时间响应对于高阶系统,找到主导极点,降阶近似进行处理。-10-20-20.03-6071.4-71.40j37五、误差分析和计算

控制系统的偏差与误差考虑图示反馈控制系统H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)偏差信号(s)(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差,即:38误差信号E(s)误差信号(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差,即:E(s)=Xor(s)-Xo(s)偏差信号(s)与误差信号E(s)的关系对单位反馈系统:E(s)=

(s)39

稳态误差及其计算稳态误差ess稳态误差:系统的期望输出与实际输出在稳定状态(t)下的差值,即误差信号e(t)的稳态分量:当sE(s)的极点均位于s平面左半平面(包括坐标原点)时,根据拉氏变换的终值定理,有:40稳态误差:对于单位反馈系统:输入作用下的偏差传递函数:

41表1、系统的稳态误差系数及稳态偏差00KII型00KI型00K0型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态偏差稳态误差系数系统类型42系统稳定系统稳定的充分必要条件[s]jO×**oo系统的所有特征根均具有负实部系统所有闭环极点位于[s]平面的左半平面**×六、稳定性分析43欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线但是,中频段必须有足够的带宽,以保证系统的相位裕量,带宽越大,相位裕量越大。其参数仅取决于系统本身的结构及参数,比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节易知系统开环包括了五个典型环节:四、频率特性的图解方法介绍所有初始条件均为零时,其拉氏变换为:输入作用下的偏差传递函数:消去中间变量,得到描述元件或系统输入、单位速度函数(斜坡函数)范围是L(ω)>0的频率段内。如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同,则表示系统具有正实部特征根的个数等于零,系统稳定;建立数学模型的一般步骤低频段斜率大,提高稳态性能;欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线线性稳定系统在正弦信号作用下,当频率从零变化到无穷时,稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性,称为频率特性。幅频特性、相频特性统称为频率特性五、*非线性数学模型的线性化当sE(s)的极点均位于s平面左半平面(包括坐标原点)时,根据拉氏变换的终值定理,有:偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差,即:正穿越N+:相位增大;元件、部件的动态微分方程;列出劳斯阵列

…sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 ………s2

e1

e2s1

f1s0

g1如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同,则表示系统具有正实部特征根的个数等于零,系统稳定;如果符号不同,系统不稳定,且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

44一、频率特性的基本概念二、典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法

三、稳定性的频域分析方法第四章:控制系统的频域分析45当正弦信号作用于稳定的线性系统时,系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号,这种过程称为系统的频率响应。即:稳定的系统对正弦输入的稳态响应,称为频率响应。频率响应的定义线性稳定系统在正弦信号作用下,当频率从零变化到无穷时,稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性,称为频率特性。频率特性定义:幅频特性、相频特性统称为频率特性46三、频率特性的求取方法2.直接从传递函数求取1.根据已知系统的微分方程,输入正弦信号,求其稳态解,取输出稳态分量的复数之比(幅值比、相位差)。3.实验法47线性系统的数学模型关系微分方程频率特性传递函数脉冲函数函数方框图48四、频率特性的图解方法介绍频率特性的主要图解方法极坐标图Nyquist图对数坐标图Bode图*Nichols图49§4.2典型环节的频率特性图比例环节: K一阶微分环节: s+1二阶微分环节:积分环节:惯性环节:振荡环节:延迟环节:50对数幅频特性:对数相频特性:转折频率1/T渐近线51转折频率-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.1

=0.2

=0.3

=0.7

=1.0-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.1

=0.2

=0.3

=0.7

=1.0渐近线BodeDiagram

=0.5

=0.552一、最小相位系统极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之,称为非最小相位系统。§4.3系统开环频率特性图53r——决定起始(ω=0)的相位n-m——决定最终(ω=∞)的相位54已知系统的开环传递函数如下:试绘制系统的开环Bode图。解:易知系统开环包括了五个典型环节:比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节例:55转折频率:2=2rad/s转折频率:4=0.5rad/s转折频率:5=10rad/s比例环节:积分环节:惯性环节:一阶微分环节:振荡环节:(转折频率ω=1/T)56开环对数幅频及相频特性为:57BodeDiagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100()/(deg)L()/(dB)(rad/sec)245=10低频段渐近线折线、组合转折频率折线斜率58§4.4系统稳定性的频域分析Nyquist稳定判据:当由0变化到时,Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正、负穿越次数之差等于p/2时(p为系统开环右极点数),闭环系统稳定,否则,闭环系统不稳定。59=0=0=0+ReImI型系统=0=Re0=0+ImII型系统=0=Re0=0+ImIII型系统60

曲线止于或起于(-1,j0)点左边的实轴上,算1/2次穿越,穿越趋势确定“+”,“-”00“+”穿越1/2次“-”穿越1/2次611.正、负穿越的概念Bode判据是奈氏判据在bode图中的应用。在-180°线上的穿越。范围是L(ω)>0的频率段内。(-1,jo

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