某大学断裂力学第二章Griffith断裂理论课件

清华大学断裂力学第二章Griffith断裂理论热力学热力学第一定律：系统又有往能量极小演化的趋势似乎有矛盾，怎么回事？热力学第零定律：若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。热平衡的标志为系统的各个部分温度相等U是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖）热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向热能区别于其他能量形式很多能量都最终耗散转化为热能事实上系统演化是一个熵增的过程热力学第二定律：不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。Clausius不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。Kelvin-Planck引入S熵封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：达到平衡状态能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。内能焓Helmholtz自由能Gibbs自由能Legendre变换Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamicpotential）之间作转换。Legendre变换Griffith理论AlanArnoldGriffith(1893-1963).HewasborninLondonon13June1893.HeearnedhisB.Eng.inmechanicalengineeringin1914,M.Eng.in1917,andD.Eng.in1921,allfromtheUniversityofLiverpool.In1915,heenteredtheRoyalAircraftFactory(laterknownastheRoyalAircraftEstablishment),andadvancedthroughaworkshoptraineeshipfollowedbyotherpositionstobecomeseniorscientificofficerin1920.In1917,togetherwithG.I.Taylor,hepublishedapioneeringpaperontheuseofsoapfilmsinsolvingtorsionproblems,andin1920hepublishedhisfamouspaperonthetheoryofbrittlefracture.Hethenworkedonthedesigntheoryofgasturbines.GriffithwasHeadoftheEngineDepartmentoftheRoyalAircraftEstablishmentin1938andjoinedRollsRoyceasresearchengineerin1939.Heworkedfirstonconceptualdesignofturbojetenginesandlateronverticaltakeoffaircraftdesign.Heretiredin1960butcontinuedworkingasaconsultantforRollsRoyce.Hediedon13October1963.BiographicalMemoirsofFellowsoftheRoyalSociety,Vol.10,(Nov.,1964),pp.117-136Griffith理论椭圆孔的应力分布（弹性力学解）CharlesInglis,1913C.E.Inglis,

Stressinaplateduetothepresenceofcracksandsharpcorners,1913.尖锐的裂纹考虑更一般的情况，包含试验机和试件两个系统。为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?Differenceinelasticenergybetweenthecrackedsheetandtheuncrackedsheet求裂纹扩展的能量释放率G。ACSNano,5:3034(2011).Ifgisthesurfaceenergydensityofacylindricalrodofradiusr

andlength

l

athightemperatureandaconstantuniaxialtension

P,thenatequilibrium,the

variation

ofthetotal

Gibbsfreeenergy

vanishes,so若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?（1）求试件的柔度C；塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）APL,94:253104,(2009).塑性功的大小足以表征材料的断裂性能若不能,为什么这里可以？Homework（作业题）总能量＝表面能＋弹性应变能in1917,andD.状态（a）和（b）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）SagamoreResearchConferenceProceedings,Vol.（4）如果试件的断裂阻力如图（b）所示，并且裂纹初始长度为a0，讨论试验机刚度在不同区间对于裂纹扩展稳定性的影响，请绘图说明，并给出一定的数学推导；CalculationsCrackgrowthwillbeunstable!Griffith理论A.A.Griffith,

Phenomenaofruptureandflowinsolids,PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondon,A221,163-198(1921).EnergybalanceconceptDifferenceinelasticenergybetweenthecrackedsheetandtheuncrackedsheetCrackedsheethasthefreesurfacePlanestrainTotalenergygSurfaceenergyHomework（作业题）Equilibriumcondition?Crackgrowthwillbeunstable!随后深入讨论稳定性！作业题1.阅读Griffith的论文。根据如下两个公式回答Inglis的解与Griffith理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？Inglis的解Griffith的解作业题2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑成梁，计算其弯曲能即可）封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：达到平衡状态能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。内能焓Helmholtz自由能Gibbs自由能熵不变Legendre变换状态函数Legendre变换Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamicpotential）之间作转换。Legendre变换断裂过程中的能量平衡及转化考察一个断裂过程中的能量平衡外界对系统做的功系统的弹性应变能增加系统新增表面能断裂过程中系统产生的热系统内部热能增加传出系统的热量热力学第二定律要求由(*)式得B:试件厚度(*)断裂的驱动力断裂阻力断裂是一个材料生成新表面的过程!阻力：表面能驱动力单位面积表面能，或表面张力G

裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。IrwinG.R.Onsetoffastcrackpropagationinhighstrengthsteelandaluminumalloys.SagamoreResearchConferenceProceedings,Vol.2,1956,pp.289-305.GeorgeRankineIrwin下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功的交换，即上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及判断准则。

一个典型例子：Griffith脆断理论问题：多长的裂纹会自动扩展？表面能外界对系统做功位移固定边界单位面积表面能如何计算弹性应变能的改变dUe？计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?(a)(b)(c)(a)(b)(c)宏微观断裂力学其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?(a)(b)(c)如何检查叠加是否正确？线性系统（线弹性、小变形、小转动）检查以下等式是否都满足什么是表面能(Surfaceenergy)？对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。如图（a）所示，有一双悬臂梁断裂试件，杨氏模量为E，截面惯性矩为I，试验机刚度为kM。计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理,64:191,(1991).2、怎么能得到一种材料的表面能？位移固定边界下裂纹扩展的临界状态Griffith起裂准则Crackgrowthwillbeunstable!将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Hethenworkedonthedesigntheoryofgasturbines.热能区别于其他能量形式能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。Energybalanceconcept试样：长100mm，宽3.,64:191,(1991).PlosOne,4:e6015,(2009).基于Legendre变换的理解试样：长100mm，宽3.作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。Inthecaseofsingle-crystalmaterials,anisotropyinthesurfaceenergyleadstofaceting.假设(b)为应变能零状态,要求解(a)状态能量,先转换成求(c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？

若不能,为什么这里可以？

(a)(b)(c)计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理对于无限大板（L>>a），参见随后的作业题3(a)(b)(c)计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理通过计算做功来计算能量差异状态（a）和（b）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）状态（b）和（c）之间的差异(a)(b)(c)计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理上面是位移边界作业题4.如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。最一般形式对于位移固定加载的系统临界裂纹长度临界应力裂纹扩展的临界状态对应于考虑Griffith裂纹（如右图）的情况结合作业题，简单讨论尺度效应最一般形式对于位移固定加载的系统裂纹扩展的临界状态对应于对于位移固定加载的系统，可以用总能量＝表面能＋弹性应变能作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。裂纹扩展需满足位移固定边界下裂纹扩展的临界状态

裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量A代表面积，G量纲为J/m2(N/m)，代表广义能量力A是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定G？能量释放率：注意到位移固定载荷固定（力固定）D临界状态位移固定载荷固定（力固定）图示能量改变基于Legendre变换的理解将Ue转换为另外一个函数以P为自变量将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。能量释放率材料对裂纹临界扩展的抗力理想脆断Gc随a的变化称为材料的断裂阻力曲线Griffith起裂准则不起裂临界状态对于平衡态静止裂纹裂纹扩展的稳定性条件稳定裂纹随遇裂纹失稳扩展更准确的应该是？

如何计算弹性应变能的改变dUe？若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。Thesurfaceenergyofasolidisusuallymeasuredathightemperatures.,64:191,(1991).生物材料中缺陷不敏感性/容忍性Kelvin-PlanckHewasborninLondonon13June1893.整个加载系统的总弹性能为2、怎么能得到一种材料的表面能？计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理从Griffth断裂到材料的理论强度的转变如何计算弹性应变能的改变dUe？如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。PlosOne,4:e6015,(2009).Heworkedfirstonconceptualdesignofturbojetenginesandlateronverticaltakeoffaircraftdesign.IWNM,2004Thismeansg=F/Li.随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量载荷与裂纹几何参数组合VS纯粹的材料参数组合如图（a）所示，有一双悬臂梁断裂试件，杨氏模量为E，截面惯性矩为I，试验机刚度为kM。（3）如果试件的Gc为常数，给出裂纹扩展的稳定性和失稳的条件;若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?纳晶薄膜中缺陷不敏感性Gc随a的变化称为材料的断裂阻力曲线断裂过程中的能量平衡及转化生物材料中缺陷不敏感性/容忍性试样：长100mm，宽3.内能、总势能、Legendre变换，以及如何判断一般情形下的演化过程。Crackgrowthwillbeunstable!EnergybalanceconceptPlosOne,4:e6015,(2009).那么如果利用Griffith理论，是不是应该得到具有方向性的表面能？Griffith起裂准则断裂强度不依赖结构尺寸。in1921,allfromtheUniversityofLiverpool.假设(b)为应变能零状态,要求解(a)状态能量,先转换成求(c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。Surfaceenergy在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；CalculationsThesurfaceenergyofasolidisusuallymeasuredathightemperatures.不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。（5）*以上推导都是针对线弹性情况的，即柔度C只是裂纹长度a的函数，若对于非线性弹性，则可以假设切线柔度与载荷有关，如果我们已知和，在这里为了简化，不妨设CM=0，求G。断裂阻力曲线Gc=ConstGc=R(a)外加载荷s1<s2<s3当裂纹足够小时，裂纹扩展总是不稳定。对长裂纹而言，裂纹扩展初期是稳定的，但随着载荷的增大，将变得不稳定。长/短裂纹的扩展稳定性？示例Gc一般情形考虑更一般的情况，包含试验机和试件两个系统。下面的例子试件子系统与外界会有功的交换，但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先仍研究没有功交换的情形。与裂纹有关的试件柔度试验机柔度整个加载系统的总弹性能为能量释放率能量释放率与加载方式无关！G的实验测量—柔度标定为什么?裂纹扩展的稳定性讨论裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！CM值越大，越容易实现裂纹失稳扩展刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载控制载荷加载

理解Griffith理论在非理想脆性材料中的修正Irwin（1948，1957）和Orowan（1948）每单位裂纹长度扩展时在断裂过程区内消耗的塑性变形功塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变形功塑性功的大小足以表征材料的断裂性能材料常数？

EgonOrowan一些讨论什么是表面能？裂纹长度a是否单调增的？如何理解能量释放率G与加载方式无关（广义构型力、能量平衡）？Legendre变换和状态函数的选择？是否存在一个特征尺度（尺寸效应）？什么是表面能(Surfaceenergy)？在Griffith理论里有一个表面能的概念。其解释是生成单位面积新表面所需要的能量。主要以下几个问题：1、表面能跟什么有关？可以肯定的是跟材料性质有关，如铝、铁应该有不同的表面能。还有其他因素吗？跟材料的杨氏模量会不会有关系？2、怎么能得到一种材料的表面能？如果要通过实验得到材料的表面能，能否通过断裂力学的方法得到？除了这个还有其他方法吗？3、如果一个材料是各向异性的，比如杨氏模量有E1、E2。那么如果利用Griffith理论，是不是应该得到具有方向性的表面能？什么是表面能(Surfaceenergy)？SurfaceenergyVS.SurfacetensionSurfacetensionformforce:Theforce,F,involvedinstretchingafilmisF=gLThismeansg=F/Li.e.force/unitlength;Units:N/mormN/mSurfaceenergyfromwork:Thework,dW,involvedinincreasingthesurfacebyalengthdxis,dW=dG=gLdx=gdAThismeans,g=dG/dAi.e.freeenergy/unitarea;Units:J/m2=N/mSurfacetensionandsurfaceenergyareinterchangeabledefinitionswiththesameunits.什么是表面能(Surfaceenergy)？ExperimentalmeasurementforSolidThesurfaceenergyofasolidisusuallymeasuredathightemperatures.Atsuchtemperaturesthesolid

creeps

andeventhoughthesurfaceareachanges,thevolumeremainsapproximatelyconstant.Ifgisthesurfaceenergydensityofacylindricalrodofradiusr

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l

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P,thenatequilibrium,the

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SurfaceenergyOnlyforisotropicsolidsInthecaseofsingle-crystalmaterials,anisotropyinthesurfaceenergyleadstofaceting.Theshapeofthecrystal(assumingequilibriumgrowthconditions)isrelatedtothesurfaceenergybyWulffconstruction.什么是表面能(Surfaceenergy)？CalculationsDuringthedeformationofsolids,surfaceenergycanbetreatedasthe“energyrequiredtocreateoneunitofsurfacearea”,andisafunctionofthedifferencebetweenthetotalenergiesofthesystembeforeandafterthedeformation,soIntheabinitiocalculations,formationenergyofthecrystallinesolidcanbecalculatedby,Eslab

isthetotalenergyofasymmetricslab(i.e.onewithinversionsymmetry,andwherebothsidesoftheslabhavebeenrelaxed),

Ebulkisthetotalenergyofabulkunitcell,

Nslab

isthenumberofatomsintheslab,andNbulk

isthenumberofatomsinthebulkunitcell.断裂力学中的尺度效应载荷与裂纹几何参数组合VS纯粹的材料参数组合载荷参数VS纯粹的材料参数组合相似性？存在一个材料内禀的特征尺度！！！断裂力学中的尺度效应GaoandJi内禀特征长度缺陷不敏感性/容忍性FlawInsensitivity/ToleranceGriffith律从Griffth断裂到材料的理论强度的转变裂纹初始扩展BuehlerM.IWNM,2004当h<hcr，材料呈现为缺陷不敏感性，在缺陷附件没有明显的应力集中。材料断裂时，裂尖应力均匀，达到理论强度。断裂强度不依赖结构尺寸。缺陷不敏感性/容忍性QinZ,andBuehlerM.ACSNano,5:3034(2011).AckbarowT,SenD,ChristianThaulowC,andBuehlerM.PlosOne,4:e6015,(2009).蛋白质折叠、a-b转变或滑移a螺旋的蛋白质网络的断裂应变对于结构缺陷不敏感。生物材料中缺陷不敏感性/容忍性机制：裂纹的扩展被内在的缺陷所抑制或阻止缺陷尺寸BennisonSJ,PadtureNP,RunyanJL,andLawnBR.Phil.Mag.Lett.,64:191,(1991).利用压痕引入缺陷陶瓷中缺陷不敏感性KumarS,HaqueA,andGaoH.APL,94:253104,(2009).试样：长100mm，宽3.5-5mm，厚80-125nm，平均晶粒尺寸50nm缺陷：

U型，半径50nm大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。纳晶薄膜中缺陷不敏感性当裂纹足够小时，裂纹扩展总是不稳定。下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功的交换，即如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。Surfacetensionformforce:PlosOne,4:e6015,(2009).内能、总势能、Legendre变换，以及如何判断一般情形下的演化过程。Homework（作业题）对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。FlawInsensitivity/ToleranceSurfaceenergyfromwork:断裂过程中系统产生的热SagamoreResearchConferenceProceedings,Vol.能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。缺陷：U型，半径50nm还有其他因素吗？跟材料的杨氏模量会不会有关系？Ifgisthesurfaceenergydensityofacylindricalrodofradiusr

andlength

l

athightemperatureandaconstantuniaxialtension

P,thenatequilibrium,the

variation

ofthetotal

Gibbsfreeenergy

vanishes,soHeretiredin1960butcontinuedworkingasaconsultantforRollsRoyce.随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。3、如果一个材料是各向异性的，比如杨氏模量有E1、E2。小结在一个断裂过程中，外界做的功一部分用于改变系统的应变能，一部分用于生成新表面的表面能，剩下的就是最终变成热。能量释放率，裂纹扩展单位面积时势能的减少。能量释放率与加载方式无关，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！G的实验测量—柔度标定。Griffith理论在非理想脆性材料中的修正。内能、总势能、Legendre变换，以及如何判断一般情形下的演化过程。作业题3.如下图，一无限大板（平面应变情况）含有一中心裂纹，长为2a，当承受均匀拉伸载荷s0，求解板中的弹性应变能。注：Sneddon曾给出在任意拉伸载荷s(x)作用下的裂纹张开位移（见如下积分表达）。请利用如下公式推导板的弹性应变能。xys0s0作业题4.如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板（如下图）的能量？仿照课程讲义关于位移边