高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。例1：求函数y=x+1的值域。解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。例2：求函数y=1/x的值域。解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0。又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4。将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1。因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17。当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1。三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。解析：由于-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1，因此-2≤f(x)≤2，即函数的值域为[-2,2]。在区间[−3,−2]上，函数g(t)=t+1是一个减函数，因此g(t)在区间上的最小值为g(−2)=5，最大值为g(−3)=10。例3：已知f(x)=x−2x+2，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最大值。解析：由已知可得对称轴为x=1。因此，f(x)的最小值为f(t)=t−2t+3，最大值为f(t+1)=t2+2。(1)当t≤1≤t+1，即2≤t≤1时，根据对称性，若t+t+11≤22，则f(x)的最大值为f(t)=t−2t+3。(2)当1<t≤t+1时，f(x)的最大值为f(t+1)=t2+2。(3)当t+1<1，即t<−1时，f(x)的最大值为f(t)=t2−2t+3。综上，f(x)的最大值为：f(x)max=⎧⎪⎨⎪⎩2t+2,t>1t2−2t+3,t<−1t−2t+3,−1≤t≤1【例4】(1)求二次函数$f(x)=x+2ax+1$在区间$[-1,2]$上的最大值。(2)求函数$y=-x(x-a)$在$x\in[-1,1]$上的最大值。【解析】(1)二次函数的对称轴方程为$x=-a$，即$a<0$时，$f(x)_{max}=f(2)=4a+5$；$a\geq0$时，$f(x)_{max}=f(-1)=2a+2$。综上所述：$$f(x)_{max}=\begin{cases}-2a+2,&a\leq-1\\4a+5,&a>-1\end{cases}$$(2)函数$y=-x(x-a)$的图像的对称轴方程为$x=\frac{a}{2}$，应分$-2\leqa\leq2$和$a<-2$以及$a>2$这三种情形讨论，下列三图分别为：（1）$a<-2$；由图可知$f(x)_{max}=f(-1)$（2）$-2\leqa\leq2$；由图可知$f(x)_{max}=f\left(\frac{a}{2}\right)$（3）$a>2$时；由图可知$f(x)_{max}=f(1)$综上，$y_{max}=\begin{cases}-(a+1),&a<-2\\f(-1),&-2\leqa\leq2\\a-1,&a>2\end{cases}$【例5】已知二次函数$f(x)=ax+(2a-1)x+1$在区间$\left[\frac{3}{2},2\right]$上的最大值为3，求实数$a$的值。【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分$a>0$与$a<0$两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令$f\left(\frac{3}{2}\right)=3$，得$a=-\frac{2}{3}$，故$a\notin\left[\frac{3}{2},2\right]$，不合题意；（2）令$f(2)=3$，得$a=\frac{1}{2}$，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故$a=\frac{1}{2}$符合题意；（3）若$f\left(\frac{1}{2}\right)=3$，得$a=-\frac{2}{3}$，此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故$a=-\frac{2}{3}$不符合题意。综上，$a=\frac{1}{2}$。解题思路：对于第一道题，可以利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得的性质，进行先斩后奏的方法，避免繁难的分类讨论，使解题过程简洁明了。对于第二道题，可以利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值的性质，缩小m，n的取值范围，避开分类讨论，解题过程简洁明了。对于第三道题，直接代入式子化简，得到函数的值域。解题过程：【例5】已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。解析：将函数f(x)化简为f(x)a(x1)21a，x[3,2]（1）若a0，f(x)1，不符合题意。（2）若a0，f(x)maxf(2)8a1，解得a（8a+1）/8=1/8，符合题意。（3）若a0，f(x)maxf(1)1a，代入4得1-a=4，解得a=-3/8，符合题意。综上，a=1/8或a=-3/8。【例6】已知函数f(x)x2x在区间[m,n]上的最小值是3m，最大值是3n，求m，n的值。解法：将函数f(x)化简为f(x)=-（x-1/2）2+1/4，由于闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，所以3m≤f(x)≤3n，即3m≤-（x-1/2）2+1/4≤3n。又因为函数在[m,n]上单调递增，所以当x=m或x=n时，函数取得最值。代入式子得到3m=-（m-1/2）2+1/4，解得m=-4；3n=-（n-1/2）2+1/4，解得n=1111/2226。【例7】求函数yx35x的值域。解法1：将函数化简为y=2+2(3-x)(x-5)，则2≤y≤4，故函数的值域为[2,4]。解法2：设x-3=2sin2θ，则函数化简为y=2+2sin2θcos2θ=2+sin4θ，由于-1≤sin4θ≤1，所以2≤y≤2，故函数的值域为[2,2]。反思：本次修改主要是对原文的格式进行了修改，删除了明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写，使其更加简洁明了。同时，在解题过程中，应该注意运用函数的性质，避免繁难的分类讨论，从而使解题过程更加简单，易于理解。三、分离常数法：对于分子和分母都是一次函数的有理函数，可以利用分离常数法将其转化为$k±f(x)$的形式，其中$k$为常数。这类问题也可以使用反函数法来解决。例如，对于函数$y=\frac{x+2}{x+1}$，我们可以将其分离常数，得到$y=1+\frac{1}{x+1}$的形式。通过观察或配方等方法，我们可以得到该函数的值域为$y\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。对于函数$y=\frac{x^2-x}{x-x+1}$，我们可以使用部分分式法，将其化为$y=1-\frac{1}{x^2-x+1}$的形式。通过观察或配方等方法，我们可以得到该函数的值域为$y\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例如，对于函数$y=\frac{1-2x}{x+2}$，我们可以通过求反函数的定义域来得到其值域。首先，我们需要证明该函数有反函数。设$x_1<x_2$，则有$\frac{1-2x_1}{x_1+2}<\frac{1-2x_2}{x_2+2}$，即$y_1<y_2$，因此该函数有反函数。反函数为$x=\frac{1-2y}{y+2}$，其定义域为$y\neq-2$，因此原函数的值域为$y\in(-1,1)$。对于函数$y=\frac{ex-1}{x}$，我们可以求出其反函数为$x=\frac{y}{e-y}$，其定义域为$y\neqe$，因此原函数的值域为$y\in(-\infty,e)\cup(e,+\infty)$。首先，我们需要删除明显有问题的段落，因为这些段落不符合语法规则或者没有明确的意义。然后，我们需要修正每段话中的格式错误和语法错误，并进行小幅度改写以使其更加通顺和易于理解。2e+1e+1(e+1)(e+1)因此，函数y是一个减函数，它存在反函数。我们可以求出其反函数为：y-1+x=ln(1-x)。此函数的定义域为x∈(-1,1)，因此原函数的值域为y∈(-1,1)。【例4】求函数y=(a+bx)/(a-bx)的值域，其中a>0，b>0，a>b，x∈[-1,1]。【解法1】由于-1≤x≤1，我们可以得到以下不等式：a-b≤(a-bx)/(a+bx)≤a+b。化简后得到：-1≥y=-1+(a-b)/(a+b)x≥-1-2b/(a+b)。因此，函数y的值域为：-1-2b/(a+b)≤y≤-1。【解法2】我们可以使用反函数法来求解。根据函数y的定义，我们可以得到以下等式：x=(a-b)/(a+b)(y+1)/y。由于-1≤x≤1，我们可以得到以下不等式：-1≤(a-b)/(a+b)(y+1)/y≤1。化简后得到：-y-1≤(2b/(a+b))y≤y+1。因此，函数y的值域为：-1-2b/(a+b)≤y≤-1。五、判别式法：将函数转化为关于x的二次方程F(x,y)=0，通过判别式Δ≥0来确定函数的值域。对于形如y=(a1x+b1)/(a2x+b2)的函数，我们经常使用这种方法来求解。（其中a1、a2不同时为零）【例1】求函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)的值域。【解析】将原函数化为关于x的一元二次方程：x^2(y-1)+xy+(y-1)=0。由于x取一切实数，因此方程有实数根当且仅当判别式Δ≥0。解得：-3≤y≤2。【例2】求函数y=x+x(2-x)的值域。【解析】将原函数平方并整理得到：y^2-2y+1=(x-1)^4。由于x的定义域为[-1,2]，因此我们需要检查方程y^2-2y+1=(x-1)^4在该区间内是否有实数解。通过计算可以得到，当y∈[0,2]时，方程有实数解。因此，函数y的值域为[0,2]。【例3】已知函数f(x)=(2x^2+ax+b)/(x^2+1)的值域为[1,3]，求a,b的值。【解析】将函数f(x)化为关于x的一元二次方程：(2-a)y^2-2by+(a+2)=0。因为x^2+1>0，所以我们可以使用判别式法来求解。由于函数的值域为[1,3]，因此判别式Δ≥0，解得：a^2-8a+4b^2-32b+52≤0。因此，a和b的取值范围为：2-2√3≤a≤2+2√3，2-√3≤b≤2+√3。例4：求函数$y=\frac{x+1}{x^2+2x+2}$的值域。解法1：将函数化成隐函数的形式，得到$yx+(2y-1)x+2y-1=0$，这是一个关于$x$的一元二次方程。原函数有定义，等价于此方程有解，即方程的判别式$\Delta=(2y-1)^2-4y(2y-1)\geq0$，解得$-\frac{1}{2}\leqy\leq2$。因此，原函数的值域为$y\in\left[-\frac{1}{2},2\right]$。解法2：当$x\neq-1$时，$y=\frac{x+1}{x^2+2x+2}=\frac{1}{x+1+\frac{1}{x+1}}$。令$t=x+1+\frac{1}{x+1}$，则$y=\frac{1}{t}$。由于$t>0$，所以$y$的值域与$t$的值域相反。又因为$t\geq2$，所以$y\leq\frac{1}{2}$；而当$t=2$时，$y=1$；当$t\to+\infty$时，$y\to0$。因此，原函数的值域为$y\in\left(0,1\right]\cup\left[-\frac{1}{2},0\right]$。例5：已知函数$y=\frac{mx+n}{x^2+1}$的最大值为$4$，最小值为$-1$，则$m=$，$n=$。解析：将函数化成隐函数的形式，得到$yx^2-mx+y-n=0$。由于最大值为$4$，最小值为$-1$，所以$-1\leqy\leq4$。因此，判别式$\Delta=m^2-4y(y-n)\geq0$，即$16y^2+4y+1\leqm^2$。又因为$m$与$n$的值与$y$无关，所以$16y^2+4y+1=m^2$。解得$m=\pm4$，$n=3$。例6：求函数$y=\frac{x+2}{x^2+2x-3}$的值域。解析：将函数化成隐函数的形式，得到$yx+(y-1)x-3y-2=0$。当$y=0$时，$x=-2$，从而$y=0$是值域中的一个点。当$y\neq0$时，判别式$\Delta=(y-1)^2+4y(3y+2)\geq0$，解得$y\in\mathbb{R}$。因此，原函数的值域为$y\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$。求函数的值域即为求y的最大值和最小值。当sin(θ+π/4)=1时，有2sin(θ+π/4)+5=7，为最大值；当sin(θ+π/4)=-1时，有2sin(θ+π/4)+5=3，为最小值。因此，函数的值域为[3,7]。【例1】求函数y=x^2/(x+1)的值域。【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得：(y-1)x^2=-(y+1)，因为y≠1，所以x^2≥0（x∈R，y≠1），所以y-1≤0，即y≤1，又因为x+1≠0，所以y=0时无解，所以y的值域为{y|-1<y≤1}。【例2】求函数y=ex/(x+1)的值域。【解析】由原函数式可得：y+1>0，即y>-1，ex>y+1，所以x>ln(y+1)，所以y的值域为(y+1)e^(ln(y+1))<y<(y+1)e^(∞)，即y∈(-1,∞)。【例3】求函数y=cosx/(sinx-3)的值域。【解析】由原函数式可得：y^2+1=sin^2x(x+β)/9，所以sin^2x(x+β)≥0，即x≤-β或x≥0，当x≥0时，y^2+1≤1，所以y^2≤0，即y=0，当x≤-β时，y^2+1≥1，所以y^2/(y^2+1)≤1，所以|y|≤√2/2，所以-√2/2≤y≤√2/2，所以y的值域为[-√2/2,0)。【例4】y=3-sinx/(4-2cosx)【解法1】sin(x-φ)=3-4y/(1+4y^2)，-1≤3-4y/(1+4y^2)≤1，解得-1/3≤y≤1/3，即函数值域为：y∈[-1/3,1/3]。【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cosx,sinx)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值范围就是聚会取值范围。设y=k(x-4)+3代入椭圆方程x^2+y^2=16，得到4(1+k^2)x^2-16kx+16=0，由Δ≥0得-1/3≤k≤1/3，因此函数值域为：y∈[-1/3,1/3]。【例5】已知a>0，x1,x2是方程ax+bx-a=0的两个实根，并且|x1|+|x2|=2，求a的取值范围以及b的最大值。【解析】由韦达定理知：x1x2=-a<0，故两根必一正一负，所以|x1|+|x2|=2就等价于x1-x2=2或者x2-x1=2，因此a=(x1-x2)(x2-x1)/(x1-x2)^2=(x2-x1)/(x1+x2-2x1x2)，又因为|x1|+|x2|=2，所以-2≤x1+x2≤2，所以1-2x2≤x1≤2x2-1，所以-1≤x2≤1，所以a=(x1-x2)(x2-x1)/(x1-x2)^2=(x2-x1)/(x1+x2-2x1x2)∈(0,1]，当a=1时，x1=-1，x2=1，此时b=0，当0<a<1时，x1,x2为同号，不妨设x1,x2>0，则由|x1|+|x2|=2得x1+x2=2，所以b=a(x1+x2-a)=2a-a^2，所以b的最大值为1。即4a2(1-a)≥0，得到a≤1，注意到a>0，因此a的取值范围是0<a≤1。进而推出b2=4a2(1-a)=2a2(2-2a)≤2(a+a+2-2a)/3=2/3，即b的最大值为2/3，当且仅当a=2/3时“=”成立。八、函数的单调性法可以用来确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，并求出函数的值域。【例1】求函数y=x-1-2x的值域。【解析】因为1-2x随着x的增大而减小，-1-2x随着x的增大而增大，所以函数y=x-1-2x在定义域(-∞,]上是单调递增函数。因此，y≤(1-2(0))/2=-1/2，即函数y=x-1-2x的值域为(-∞,-1/2]。【例2】求函数y=x+1/x在区间x∈(1,∞)上的值域。【解析】任取x1,x2∈(1,∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1/x1-1/x2)=(x1-x2)/x1x2>0，因此函数y=x+1/x在区间x∈(1,∞)上是单调递增函数。又因为当x趋近于1时，y趋近于2，因此函数y=x+1/x在区间x∈(1,∞)上的值域为[2,∞)。【例4】求函数f(x)=1+x+1-x的值域。【解析】因为1+x≥1，1-x≥-1，所以f(x)≥0。又因为1+x和1-x在定义域内的单调性不一致，因此构造相关函数g(x)=1+x-1-x，易知g(x)在定义域内单调递增。因此，g(max)=g(1)=2，g(min)=g(-1)=-2，所以g(x)≤2。又因为f(x)²+g(x)²=4，所以2≤f(x)≤2。【例5】求函数y=3x+6-8-x的值域。【解析】此题可以看作y=u+v，其中u=3x+6，v=-8-x，易知函数u=3x+6和v=-8-x都是单调递增函数，因此函数y=3x+6-8-x也是单调递增函数。而此函数的定义域为[-2,8]。因此，当x=-2时，y=-2；当x=8时，y=22。因此函数y=3x+6-8-x的值域为[-2,22]。当x=-2时，y取得最小值-10，当x=8时，y取得最大值30，因此原函数的值域为[-10,30]。图像法是一种求函数值域的重要方法，当函数解析式具有某种明显的几何意义或函数的图像易于作出时，可以利用数形结合的方法求得函数值域。例如，对于函数y=|x+3|+|x-5|，可以画出其图像，根据图像可以得出函数的值域为[8,+∞)。又如，对于函数y=(x-2)^2+(x+8)^2，可以将其变形为y=|x-2|+|x+8|，进而将其看成数轴上点P(x)到定点A(2)、B(-8)间距离之和，根据图像可以得出函数的值域为[10,+∞]。基本不等式法是另一种求函数最值的方法，可以利用基本不等式，对于和式的解析式，要求积为定值，对于积的解析式，要求和为定值，有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例如，对于函数y=(x+2k)/(2x+1)，可以利用基本不等式得到y≤2√2k，当且仅当x=k/2√2k时取等号，因此函数的值域为(-∞,2√2k]。再例如，对于函数y=x^2+2k/x，可以利用基本不等式得到y≥2√2k，当且仅当x=±√k时取等号，因此函数的值域为[2√2k,+∞)。解法一：将函数y表示为y=x^2+2/(x+1)，则有y=x^2+1+1/(x+1)>=2，因此y属于[2,+∞)。解法二：令t=x^2+1，则y=t+1/t(t>=1)，即方程f(t)=t^2-ty+1在区间[1,+∞)上有解。所以t1/t2=1。从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1)≤0，即y≥2。对于第二段，可以改写为：将函数y表示为y=x^2+2/(x+1)，可以将其转化为y=t+1/t的形式，其中t=x^2+1。由于t>=1，因此y>=2。又因为f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，且f(1)≤0，因此y属于[2,+∞)。对于第三段，可以改写为：将函数y表示为y=2x^2+3/x，可以将其化简为y=2x^2+3x^(-1)>=3*sqrt(6)。当且仅当2x=1/sqrt(6)时，y取到最小值，最小值为3*sqrt(6)。对于第四段，可以改写为：将函数y表示为y=14πcosxsinx^2/(x∈(0,+∞))，可以将其化简为y=(secx+4cscx)^2-17。由于y>0，因此y^2=(secx+4cscx)^2>=17。又因为(secx+4