高中数学-2.3　双曲线教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计3.2.1双曲线及其标准方程双曲线是学生学习了椭圆之后，进一步学习用坐标法研究曲线，运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.从知识上讲，它是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究双曲线几何性质的基础；从方法上讲，它是我们研究椭圆的延续.因此本节课有承前启后的作用，是本章重点内容之一.教学目标教学目标：了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，会根据条件求双曲线的标准方程重点:双曲线标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：双曲线标准方程的建立和推导.学科素养：通过对双曲线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对双曲线标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法。提高学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。易错易混点：标准方程中三者的关系与椭圆中三者的关系的区别.一、创设情境问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？关系如何？问题3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？（演示动点轨迹）.若使，就得到另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支.（板书课题）【设计意图】从问题开始.首先设疑，提出新问题，引发学习兴趣.二、阅读教材、自主学习师：双曲线上的点应满足的条件是什么？生：（小于）.师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义.【设计意图】培养学生自主学习意识与能力.1.双曲线的定义.（动画演示）思考问题①定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？②定义中的常数，轨迹是什么？常数呢?2.标准方程的推导.①建系.以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，设是其上任一点.②设点，焦距为，那么焦点，.③限.④代，即.⑤化简整理方程.两边同除以得令（）代入得师：这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的是焦点在轴上，、.【设计意图】求曲线方程时建立坐标系要适当.与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验.类比椭圆焦点在轴上的标准方程，如何得到焦点在轴上双曲线的标准方程？只要将方程中的互换即可.师：双曲线的标准方程有两种形式，下面做一下比较.3.两种标准方程的比较.”①方程用“”号连接；②分母是，（），但大小不定；③；④如果的系数是正的，焦点在轴上，如果地系数是正的，焦点在轴上.【设计意图】反复与椭圆类比，即加强与已有知识的联系，又找出与旧知识的不同之处.同化与顺应.三、例题讲解例1已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,).∴∴.所求双曲线标准方程为.【设计意图】直接应用知识.熟悉标准方程中的关系.例2已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.解：如图，建立平面直角坐标系，使在轴上，且原点与中点重合。设，则,，，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此.所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为【设计意图】让学生体会数学来源于实践，又应用于实践.加强对双曲线标准方程的认识以及建系原则.四、应用新知1、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴，（2）焦点在轴，经过点（3）焦点为，经过点2、求证：双曲线与椭圆的焦点相同.3、已知方程表示双曲线,求的取值范围.4、双曲线的两个焦点分别是，焦距为8，是双曲线上的一点，且，求的值.五、课堂小结双曲线的两类标准方程是焦点在轴上，焦点在轴上,有关系式成立，且.其中的大小关系:可以为.与椭圆对比列表比较如下：椭圆的标准方程：双曲线的标准方程：定义定义标准方程标准方程的关系的关系六、布置作业七、板书设计3.2．1双曲线及其标准方程1、定义2、标准方程的推导3、例1例24、小结学情分析：本节授课的班级是高二56班，是物理历史地理（32人）与政治历史地理（26人）的组合班级，学生层次参差不齐，且政治历史地理组合的学生数学成绩较差，数学学习的主动性较差，不愿动笔算、懒于思考，习惯于听，所以在方程的推导及例题的讲解上力求知识起点低、思维的台阶密，让更多学生听懂课、会做中低档题目。效果分析：由于学生的基础较差，基本知识薄弱与运算能力不足，所以授课的起点必须要低，思路展示更细致，课堂问题的设置跨度小，课堂提问密度大，问题设计阶梯低。从课堂提问及练习反馈效果看，学生能够当堂掌握双曲线的定义与标准方程，以及简单的变式练习。课后需对双曲线的相关知识深入练习。教材分析：学生在经历对椭圆研究学习之后，学习本节课。在课标中，椭圆是研究的重点，它的定义、方程、性质、设而不求等知识与方法都可顺延至以后的双曲线、抛物线的后续内容的学习，对本节课的学习有着深刻的影响。所以，从教材地位看，它作为圆锥曲线的一个重要类型，是椭圆内容与方法的延续，又从属于椭圆，弱于椭圆，不宜过难。以信息技术发挥重要支撑作用的应用数学的发展是当今数学发展的一个重要特征。数学课程中运用信息技术已成为必然选择，双曲线运动轨迹的形成恰好可以借助教育部推行的“网络画板”软件制作动画，让学生经历直观感受到代数推理的跨越，对于定义中“绝对值”所形成的左右支，有更清晰的认识；而标准方程的推导，则需教师在黑板上一步一步的步骤板书，以便学生知晓代数推理的思维过程，知道关键步骤的运算途径。例题是服务于上述两个内容的，例1是求双曲线的标准方程，例2是实际应用求轨迹方程，练习题的选取也是训练定义与标准方程。评测练习：1、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴，（2）已知双曲线经过点（3）与双曲线有公共焦点，且过点2、“”是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、若双曲线的一个焦点坐标是，则A．B．C．D．答案：1、（1）；（2）；（3）2、A3、B课后反思：在本节课的教学过程中，由于内容与椭圆类似，学生对知识的理解和掌握并不困难，但是对“绝对值”这个关键字眼并没有意识到有什么作用，所以，在动画演示是特别强调与的不同，让学生体会二者的差异。在标准方程的推导中，结合椭圆方程建立的五步法建立双曲线的方程，推理过程还可以在压缩一些时间，以便于有时间有针对的练习。在教学中，还有一点必须注意，那就是发挥学生的主观能动性，让学生自己说出推导的方法与步骤，可以用实物投影仪展示学生的推导过程。在例题与练习环节，还可以在增加个练习。课标分析：课标指出：“感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；了解双曲线的定义、几何图形、标准方程；通过对双曲线及其方程的学习，进一步体会数形结合的思想”。数学发展到今天，显现一个突出的特点：数学与人类生活和社会发展发生着越来越紧密的联系，如电厂的冷却塔就是双曲线知识在生活实际的应用，强化应用，让学生体验感受数学是来源于现实世界的。通过类比，学生能由“到两定点的距离的和是定值”联想到“到两定点的距离的差是定值”，引出双曲线的定义，通过标准方程的推导及动画画出双曲线图形，让学生了解几何图形、标准方程，研究双曲线的内容与方法与椭圆类似，但