电磁场电磁波教案

电磁场电磁波教案第1页，课件共47页，创作于2023年2月1标量（1）标量：只有大小没有方向的物理量。用斜体字母表示，如A。

（2）恒力作功W=F·S力F和位移S都是矢量，而功W是标量，F和S进行了一次点乘。（3）标量还可能是复数，如交流电路中的复数电压U，复数电流I等，人们把相位信息巧妙的存放在复数的幅角上，公式推导和计算都很方便。a一部分标量是算数量：如质量m、体积v、直流电阻R均大于等于0。b另一部分标量是代数量：电量Q、静电位φ

、磁通量Ψ等可正可负；电量Q正负可描述带正电还是带负电；磁通量Ψ的正负可描述磁力线的穿进和穿出；忽略力F的方向属性后，从它的正负依然可甄别是吸力还是斥力；规定了参考方向以后，电流强度I的正负可描述电流的瞬时方向等等。在研究的问题中，如果只存在两种对立的广义方向，则使用标量进行描述和处理是合理的。1-1标量与矢量2023/7/162第2页，课件共47页，创作于2023年2月2矢量：既有大小又有方向且满足平行四边形合成法则的物理量。例：物体的位移s，速度v，加速度a，角速度，力F，电场强度E等。3标量场与矢量场场是物质的存在形态，在空间同一点上，允许同时存在多种场，或者一种场的多种模式，这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。标量场：标量的空间分布构成标量场。矢量场：矢量的空间分布构成矢量场。或者说：如果在空间区域Ω上，每一点都存在一确定的物理量A，则场域上存在由场量A构成的场，如果A是标量，我们就说Ω上存在一标量场；如果A是矢量，则说明场域Ω上存在一矢量场。用加粗的斜体字母表示，如A。手写体为斜体字母加箭头，如。2023/7/163第3页，课件共47页，创作于2023年2月4按时空变化规律的几种典型场（2）如果A=A(t)，即场量A仅随时间t变化，而在空间上呈现均匀分布，这种场被称为均匀场。5常矢量：若矢量的大小及方向均与空间坐标无关，这种矢量称为常矢量。否则，称为变矢量。（1）如果A=A(x,y,z)，即场量A不随时间t变化，人们把这种场称为静态场或恒定场。

例如，房间的温度场T(x,y,z)一般是均匀场，因为尽管在一昼夜中温度是变化的，但同一时刻t房间内任意两点间的温差为0；换言之，不同点上的温度变化是同步的，在均匀情况下，观测不到波动现象，只能观测到整个场域在作同步的振动。（3）均匀平面波（4）时变场例如：地球内部密度分布，点电荷的静电位φ和电场强度E。2023/7/164第4页，课件共47页，创作于2023年2月1-2矢量的代数运算2.加法：结合律：

交换率：3.矢量与标量相乘：与大小方向均相同：1.2023/7/165第5页，课件共47页，创作于2023年2月1-3矢量的标积2.矢量的模：矢量A的大小定义为A的模，以或A表示。3.单位矢量：模为1的矢量。则：任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积。1.两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号“”表示。若矢量A的坐标分量为，矢量B的坐标分量为，两个矢量的标积是一个标量，且满足交换律，即：则矢量A与矢量B的标积的代数定义为：则定义：为矢量A的单位矢量，即的模为1，方向与A相同。2023/7/166第6页，课件共47页，创作于2023年2月则矢量A为坐标轴上投影的合成矢量，即

或者其中，为与轴的夹角称为A矢量的方向余弦。分别表示x轴、y轴、z轴方向上的单位矢量，4.A的方向余弦：若，，则矢量A在三个坐标轴上的投影分别为，2023/7/167第7页，课件共47页，创作于2023年2月5.矢量标积的几何意义：由

可得：，，令与x轴夹角为，则，设是矢量B在矢量A方向上的投影大小标积A·B等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小的乘积，或者说等于矢量B的模与矢量A在矢量B的方向上的投影大小的乘积。是矢量A在矢量B方向上的投影大小

显然：2023/7/168xyzAOBθ第8页，课件共47页，创作于2023年2月两个矢量的矢积仍然是一个矢量

注意：矢量的矢积运算不满足交换律1.矢量的矢积又称为叉积或外积，以叉号“×”表示。在直角坐标系中若矢量A和矢量B分别为则矢量A与矢量B矢积的代数定义可用行列式表示为1-4矢量的矢积2023/7/169第9页，课件共47页，创作于2023年2月2.矢量矢积的几何意义：，矢量，若矢量A与矢量B之间的设矢量夹角为θ，则有2023/7/1610xyzAOBθA×B

显然：可见，矢量（A×B）的方向与矢量A及矢量B垂直，且由若矢量A旋转到矢量B，并与矢量（A×B）构成右旋关系，矢量（A×B）的大小为。第10页，课件共47页，创作于2023年2月5.标量场的方向导数与梯度方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

例如标量场

在

P点沿

l方向上的方向导数定义为Pl2023/7/1611第11页，课件共47页，创作于2023年2月2023/7/1612梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方

向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，方向导数可写为若矢量l的方向余弦为

，则上式变为若令（）为矢量G的三个坐标分量，即而矢量l的单位矢量为数学关系推导：第12页，课件共47页，创作于2023年2月2023/7/1613那么，标量场Φ沿矢量l方向上的方向导数可以写为矢量G称为标量Φ的梯度，以gradΦ表示，即

由此可见，标量场Φ的梯度是一个矢量场。由式可见，当的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。因此，标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。第13页，课件共47页，创作于2023年2月在直角坐标系中，标量场

的梯度可表示为式中grad

是英文字母

gradient的缩写。若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为2023/7/1614第14页，课件共47页，创作于2023年2月梯度运算规则:例1-4-1

已知标量场，求（2,1,3）处方向导数的最大值。解：根据梯度的定义，求得该标量场的梯度为：那么，在（2,1,3）处的梯度为，其模为因此，在（2,1,3）处方向导数的最大值为。第15页，课件共47页，创作于2023年2月例1-4-2

计算及。这里为空间点与点之间的距离，，如图。点的坐标为,点的坐标为，表示对运算，表示对运算。xyzO解：令点的位置矢量为，点的位置矢量为，则再令则由题意第16页，课件共47页，创作于2023年2月则又同理则第17页，课件共47页，创作于2023年2月因此同理xyzO注意：上述运算过程及结果在电磁场计算中经常遇到，通常以表示产生电磁场的源坐标，以表示场坐标。图中，表示源点，表示场点。当计算某一分布源在空间某点产生的场强时，为动点，为定点；当计算空间场量的分布特性或者空间某点各个场量之间的关系时，为动点，为定点。第18页，课件共47页，创作于2023年2月通量定义：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面积分称为矢量

A通过该有向曲面

S的通量，以标量

表示，即

6.矢量场的通量与散度通量的正、负、零：通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。

2023/7/1619第19页，课件共47页，创作于2023年2月电学实例：由物理得知，真空中的电场强度

E

通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量

q与真空介电常数

0

之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。

2023/7/1620第20页，课件共47页，创作于2023年2月散度：当闭合面

S

向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA表示，即式中div

是英文字母

divergence的缩写，

V为闭合面

S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量，可以简单的记为通量体密度。直角坐标系中散度可表示为2023/7/1621第21页，课件共47页，创作于2023年2月因此散度可用算符

表示为高斯散度定理或者写为

从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域

V中的场和包围区域

V

的闭合面

S上的场之间的关系。因此，如果已知区域

V中的场，根据高斯定理即可求出边界

S上的场，反之亦然。2023/7/1622第22页，课件共47页，创作于2023年2月散度运算规则:拉普拉斯算子:直角坐标系中因此第23页，课件共47页，创作于2023年2月式中称为拉普拉斯算子。直角坐标系表达式：例1-5-1

求空间任一点的位置矢量的散度。解：已知因此第24页，课件共47页，创作于2023年2月环量：矢量场

A沿有向闭合曲线

l的线积分称为矢量场

A

沿该曲线的环量，以

表示，即7.矢量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线

l上，矢量场

A的方向处处与线元

dl

的方向保持一致，则环量

>0；若处处相反，则

<0

。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。2023/7/1625第25页，课件共47页，创作于2023年2月

由物理学得知，真空中磁感应强度

B沿任一闭合有向曲线

l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度

I

与真空磁导率

0

的乘积。即

式中电流

I的正方向与

dl的方向构成

右旋关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。

2023/7/1626第26页，课件共47页，创作于2023年2月旋度：旋度是一个矢量。若以符号

rotA

表示矢量

A

的旋度，则其方向是使矢量

A

具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中

rot

是英文字母

rotation的缩写，en

为最大环量强度的方向上的单位矢量，S为闭合曲线

l

包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量，或简单记为最大环量面密度。

2023/7/1627第27页，课件共47页，创作于2023年2月直角坐标系中旋度可用矩阵表示为

或用算符

表示为

应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。

2023/7/1628第28页，课件共47页，创作于2023年2月斯托克斯旋度定理

同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域

S中的场和包围区域

S

的闭合曲线

l上的场之间的关系。因此，如果已知区域

S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界

l上的场，反之亦然。或者写为2023/7/1629第29页，课件共47页，创作于2023年2月旋度运算规则:例1-6-1

证明，式中为常矢量，为位置矢量。证：令，而，则那么第30页，课件共47页，创作于2023年2月

散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。

8.无散场和无旋场两个重要公式：

左式表明，任一矢量场A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。2023/7/1631

右式表明，任一标量场

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。

第31页，课件共47页，创作于2023年2月两个重要公式：第一式是判别场量是否是旋度场的准则。若，则矢量可以写成的形式。例：矢量能否表示成某矢量场的旋度？说明理由。说明：矢量是无散场。因为任一无散场可以表示成另一矢量场的旋度，因此，可以表示成某矢量场的旋度。解：对矢量求散度。第32页，课件共47页，创作于2023年2月两个重要公式：第二式是判别场量是否是梯度场的准则。若，则矢量可以写成的形式。例：矢量是否为梯度场？说明理由。解：对矢量求旋度。说明：矢量是无旋场。因为任何梯度场一定是无旋场，因此，是梯度场。第33页，课件共47页，创作于2023年2月9.格林定理

设任意两个标量场

及，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，如下图示。

SV,

那么，可以证明该两个标量场

及

满足下列等式根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中S

为包围V的闭合曲面，为标量场

在S表面的外法线en

方向上的偏导数。上两式称为标量第一格林定理。2023/7/1634第34页，课件共47页，创作于2023年2月基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。

设任意两个矢量场P

与Q

，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P及Q满足下列等式式中S

为包围V

的闭合曲面，面元dS

的方向为S

的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。

2023/7/1635第35页，课件共47页，创作于2023年2月基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理。

无论何种格林定理，都是说明区域

V中的场与边界

S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。2023/7/1636第36页，课件共47页，创作于2023年2月10.矢量场的惟一性定理

位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。

已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。2023/7/1637第37页，课件共47页，创作于2023年2月

若矢量场

F(r)

在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域V

中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场

F(r)可以表示为

11.亥姆霍兹定理式中2023/7/1638第38页，课件共47页，创作于2023年2月2023/7/1639（1）无限空间中的矢量场被其散度及旋度惟一的确定，而且它给出了场与源之间的定量关系。（2）已知，梯度场是无旋场，旋度场是无散场。所以，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。（3）如果矢量场的散度及旋度已知，即可求出该矢量场。因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。式中定理表明：亥姆霍兹定理：第39页，课件共47页，创作于2023年2月12.正交曲面坐标系

已知矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为式中

a,b,c

均为常数，A

是常矢量吗？圆柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=