利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围

PAGE6-利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围：例1已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；练习1.设函数在及时取得极值（1）求a,b的值,(2)若对于任意的［0,3］都有成立,求c的取值范围答案：1.解:(1)a=-3,b=4(2)9+8c<c2,解得c<-1或c>9（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。例2.已知函数(1)时，求函数的单调区间和极值，(2)若函数在［1，4］是减函数，求实数的取值范围解得：(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是（，极小值是（2）由得依题意所以即又在［1，4］上是减函数，故（4）min=所以练习1.已知（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围。（2）求证：解：（1）(2)构造函数且则由（1）知当a=-1时，故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)<h(0)=0即(3)恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性例3.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．解法：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．例4.设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。解(1)若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减(2)在两边取对数,得,由于所以(1)2.已知函数（），其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．参考答案1.（1解：当所以曲线处的切线斜率为1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设，所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得w.w.w.k.综上，m的取值范围是2.（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解些不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．当时