福建省厦门市华夏学院高一数学理上学期期末试题含解析

福建省厦门市华夏学院高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（

）A.9

B．18

C.27

D．36参考答案：B根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．

2.已知函数，则函数f(x)有（

）A．最小值，无最大值

B．最大值，无最小值C．最小值1，无最大值

D．最大值1，无最小值参考答案：D3.

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a2－b2=bc，sinC=2sinB，则A=A.30°

B.60°

C.120°

D.150°参考答案：

A4.已知，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：

5.利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形.

以上结论正确的是

(

)

A．①②

B．①

C．③④

D．①②③④参考答案：B6.已知，不等式的解集是(－1,3)，若对于任意，不等式恒成立，则t的取值范围（

）A.(－∞,2] B.(－∞,－2] C.(－∞,－4] D.(－∞,4]参考答案：B【分析】由不等式的解集是，可得b、c的值,代入不等式f（x）+t≤4后变量分离得t≤2x2﹣4x﹣2，x∈[﹣1，0]，设g（x）＝2x2﹣4x﹣2，求g(x)在区间[﹣1，0]上的最小值可得答案．【详解】由不等式的解集是可知-1和3是方程的根，,解得b=4，c=6,,不等式化为，令g（x）＝2x2﹣4x﹣2，，由二次函数图像的性质可知g(x)在上单调递减，则g（x）的最小值为g(0)=-2，故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题.7.已知sinα+cosα=，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，可得2sinαcosα=﹣，α为钝角，从而求得cosα﹣sinα=﹣的值．【解答】解：∵sinα+cosα=，且0＜α＜π，∴1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∴α为钝角，∴cosα﹣sinα=﹣=﹣=﹣=﹣，故选：D．8.若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或参考答案：C【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，由此分别求得、、的值，再根据==，运算求得结果【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，∴=1×1×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣．====2．②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°，则=1×1=1，=1×3=3，=1×3=3，====5．综上可得，则=2或5，故选C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9.化简的结果是（

）A

2cos3

B

2sin3

C-2sin3

D

-2cos3参考答案：B略10.已知向量满足，，且，则与的夹角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据向量数量积以及夹角公式化简求解。【详解】由已知得得：故选：A【点睛】此题考查平面向量的数量积，向量积的两个运用：（1）计算模长，；（2）计算角，。如果两非零向量垂直的等价条件是二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将A，B，C，D，E排成一排,要求在排列中,顺序为“ABC”或“CAB”(可以不相邻),这样的排法有

▲

种.(用数字作答)参考答案：

40

12.已知集合A＝－1,1,3，B＝3，,且BA.则实数的值是__________．参考答案：±113.已知函数，若存在正整数满足：，那么我们把叫做关于的“对整数”，则当时，“对整数”共有_______________个参考答案：214.已知函数f（x）=，满足对任意的实数x1，x2（x1≠x2），都有＞0成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：[2，3）【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）在R上单调递增，再利用函数的单调性的性质可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，满足对任意的实数x1，x2（x1≠x2），都有＞0成立，故函数f（x）在R上单调递增，∴，求得2≤a＜3，故答案为：[2，3）．15.若，则=_________．参考答案：16.函数的最小正周期为为___________.参考答案：17.空间两点（-1,0,3）,

(0,4,-1)间的距离是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（8分）已知集合U=R，A={x|y=}，B={y|y=（）x+1，﹣2≤x≤﹣1}，D={x|x＜a﹣1}．（1）求A∩B；

（2）若D??UA，求a的取值范围．参考答案：考点： 集合的包含关系判断及应用．专题： 计算题；集合．分析： 化简A={x|y=}=；（1）利用集合的运算求A∩B；（2）化简?UA=（﹣∞，2），从而得到a＜3．解答： 解：A={x|y=}=，（1）A∩B=；（2）?UA=（﹣∞，2），故由D??UA知，a﹣1＜2；故a＜3．点评： 本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．19.设全集U=R，集合，

（1）求；（2）若集合=，满足，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）

；6分（2）

12分

20.在锐角△ABC中，角的对边分别为，且满足.

（1）求角B的大小；

（2）设,试求的取值范围.参考答案：解析:(1)因为(2a－c）cosB=bcosC,所以(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinCcosB＋sinBcosC=sin(C＋B)=sinA.而sinA>0,所以cosB=故B=60°

(2)因为,所以=3sinA＋cos2A=3sinA＋1－2sin2A=－2(sinA－)2＋由得,所以,从而故的取值范围是21.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．22.如图，已知PB⊥矩形ABCD所在的平面，E，F分别是BC，PD的中点，∠PAB=45°，AB=1，BC=2．（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）求证：平面PED⊥平面PAD；（3）求三棱锥E﹣PAD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取PA的中点N，连接NB，NF，推导出NFEB是平行四边形，从而EF∥BN，由此能证明EF∥平面PAB．（2）推导出PB⊥AD，PB⊥AB，从而AD⊥平面PAB，进而AD⊥BN，再求出BN⊥PA，从而EF⊥平面PAD，由此能证明平面PED⊥平面PAD．（3）由VE﹣PAD=VP﹣EAD，能求出三棱锥E﹣PAD的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）取PA的中点N，连接NB，NF，又F是PD的中点，∴NF∥AD，NF=．在矩形ABCD中，E是BC的中点，∴BE∥AD，BE=．∴NF∥BE且NF=BE，得NFEB是平行四边形，∴EF∥BN．∵BN?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB…（2）依题意PB⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，∴P