高考数学第一轮总复习直线和平面所成的角与二面角课件-A3演示文稿设计与制作【继续教育专业】

高考数学第一轮总复习直线和平面所成的角与二面角课件-A3演示文稿设计与制作【继续教育专业】高考数学第一轮总复习.直线和平面所成的角与二面角课件-A3演示文稿设计与制作第九章

直线、平面、简单几何体39.7直线和平面所成的角与二面角考点搜索●直线和平面所成的角的概念与计算●二面角、二面角的平面角的概念，平面角大小的计算高考高考猜想1.利用几何或向量方法求直线和平面所成的角、二面角的平面角.2.转化角的条件，探求角的范围.4

1.一个平面的斜线和它在这个平面内的①_____的夹角，叫做斜线和平面所成的角；如果直线和平面垂直，则直线和平面所成的角为②____;如果直线在平面内或与平面平行，则直线和平面所成的角为③____.2.从一条直线出发的④__________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的⑤____，每个半平面叫做二面角的⑥____.射影90°0°两个半平面棱面5棱为l，两个平面分别为α、β的二面角记为⑦________.3.一个平面垂直于二面角α-l-β的棱且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α-l-β的⑧_______.4.从二面角α-l-β的棱上任取一点O，分别在二面角的两个面α、β内作⑨__________的射线OA、OB,则⑩_____为二面角的平面角.α-l-β平面角垂直于棱∠AOB6感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料5.从二面角α-l-β的一个面α内取一点P，过点P作β的垂线，垂足为A，过点A作棱l的垂线，垂足为B，则_____为二面角的平面角(或其补角).

6.平面角是_____的二面角叫做直二面角.7.直线和平面所成的角的取值范围是______;二面角的平面角的取值范围______.11121314∠PBA直角[0,π]10

8.平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中

__________.

盘点指南：①射影；②90°;③0°;④两个半平面;⑤棱；⑥面；⑦α-l-β;⑧平面角；⑨垂直于棱;⑩∠AOB;

∠PBA;

直角;

［0，

］;

［0，π］;

最小的角151112131415最小的角11若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.

解：依题意，∠B1AB=60°，如图，BB1=1×tan60°=，故选D.D12

平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为()A.30°B.60°C.90°D.150°

解：本题易误选D，因为斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90°.C13在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°

解：折起后的△BCD为正三角形，故选C.

C141.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.(1)求证:平面AEF⊥平面PAB;(2)设AB=BC，求直线AC与平面AEF所成的角的大小.题型1求直线和平面所成的角第一课时15

解法1：(1)证明：连结PE.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DE.又CE=ED，PD=AD=BC，所以Rt△BCE≌Rt△PDE，所以PE=BE.因为F为PB的中点，所以EF⊥PB.由三垂线定理，得PA⊥AB.16所以在Rt△PAB中，PF=AF.又PE=BE=AE，所以△EFP≌△EFA，所以EF⊥FA.因为PB、FA为平面PAB内两相交直线，所以EF⊥平面PAB，故平面AEF⊥平面PAB.17(2)不妨设BC=1，则AD=PD=1，AB=2，PA=2，AC=3.所以△PAB为等腰直角三角形,且PB=2.因为F为斜边PB的中点，所以BF=1，且AF⊥PB.又EF⊥PB，所以PB⊥平面AEF.连结BE，交AC于G.作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF，18所以∠GAH为AC与平面AEF所成的角.由△EGC∽△BGA可知，EG=GB，所以EG=EB，从而AG=AC=.由△EGH∽△EBF可知，GH=BF=.所以在Rt△AHG中，所以AC与平面AEF所成的角为arcsin.19

解法2：以D为坐标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.(1)设点A(0，1，0)，点E(a，0，0)(a＞0)，则点C(2a，0，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，

F(a，

，)，所以=(0，

，)，=(2a，1，-1)，

=(2a，0，0).20于是，

，所以EF⊥PB，EF⊥AB.则EF⊥平面PAB，故平面AEF⊥平面PAB.(2)由

，得a=，所以=(，-1，0)，=(，1，-1)，

=(，-，).于是

，所以PB⊥AF.又PB⊥EF，所以PB⊥平面AEF，21

即是平面AEF的一个法向量.因为cos〈，〉=，所以异面直线AC与PB所成的角为arccos.设AC与平面AEF所成的角为θ，则，所以所以θ=arcsin.故AC与平面AEF所成的角是arcsin.22

点评：直线与平面所成的角，其实质就是直线与其在平面上的射影所成的角.找直线在平面上的射影是关键，然后把题中条件转化到某些三角形中去，再利用解三角形的知识求得所求角.如果用向量法来解，则关键是求平面的法向量.23

如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN.

(1)证明：AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成的角的余弦值.24

解法1：(1)证明：由已知l2⊥MN，l2

⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN.

由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB.

又AN为AC在平面ABN内的射影，所以AC⊥NB.

25(2)因为Rt△CNA≌Rt△CNB，所以AC=BC.又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形.在△ABN中，AN=

AB.在Rt△ANC中，因为AC=AB，所以NC=NA，所以NC=NA=NB.26

因此，N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心.

连结BH，则∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中，27解法2：如图，建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1，则有A(-1，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，0).(1)因为MN是l1、l2的公垂线，l2⊥l1，所以l2⊥平面ABN，所以l2平行于z轴，故可设C(0，1，m).于是=(1，1，m)，

=(1，-1，0).因为·=1+(-1)+0=0，所以AC⊥NB.28(2)因为AC=(1，1，m)，BC=(-1，1，m)，所以又已知∠ACB=60°，所以△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C(0，1，).连结MC，作NH⊥MC于H.设H(0，λ，2λ)(λ＞0)，所以

=(0，1-λ，-2λ)，

=(0，1，2).29因为=1-λ-2λ=0，所以λ=.由H(0，

，)，可得=(0，

，-).连结BH，则=(-1，

，).因为所以HN⊥BH.又MC∩BH=H，所以HN⊥平面ABC，则∠NBH为NB与平面ABC所成的角.因为=(-1，1，0)，所以30

2.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=

BC=a，∠VDC=θ(0＜θ＜

).

(1)求证：平面VAB⊥平面VCD;

(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.题型2求直线和平面所成的角的取值范围31

解法1：(1)证明：因为AC=BC=a，所以△ACB是等腰三角形.又D是AB的中点，所以CD⊥AB.因为VC⊥底面ABC，所以VC⊥AB.于是AB⊥平面VCD.而AB平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD.32

(2)如图，过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由(1)知CH⊥平面VAB.连结BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在Rt△CHD中，设∠CBH=φ.在Rt△BHC中，CH=asinφ，所以sinθ=sinφ.因为0＜θ＜

，所以0＜sinθ＜1，则0＜sinφ＜.

33又0≤φ≤，所以0＜φ＜.即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围是(0，).

解法2：(1)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，

，0)，V(0，0，

atanθ).

34

于是=(，

，-atanθ)，=(，

，0)，=(-a，a，0).从而·=(-a，a，0)·(，

，0)，即AB⊥CD.同理，

即AB⊥VD.又CD∩VD=D，所以AB⊥平面VCD.而AB平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD.35

(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=(x，y，z).则由n·=0，n·=0，得.故可取n=(1，1，

cotθ).又=(0，-a，0)，于是.因为0＜θ＜,所以0＜sinθ＜1,则0＜sinφ＜.36又0≤φ≤，所以0＜φ＜.即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为(0，).

点评：求与角有关的取值范围问题，一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题；二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊情况求得最值或范围.37如果BC平面γ，斜线AB与平面γ所成的角为α，∠ABC=θ，AA′⊥平面γ，垂足为A′，∠A′BC=β(β为锐角)，那么()A.cosθ=cosαcosβB.sinθ=sinαsin